二次函數與幾何圖形的綜合有解析（2019年中考數學復習專題）

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二次函數與幾何圖形的綜合有解析（2019 年中考數學復習專題）專題八 二次函數與幾何圖 形的綜合中考備考攻略二次函數與幾何的綜合問題一般作為壓軸題呈現,具有知識點多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關系復雜、綜合性強、解題方法靈活等鮮明特點,同時題型變化多樣,如求線段的長、求圖形的面積、特殊三角形的存在性、特殊四邊形的存在性、相似三角形的存在性等等.1.二次函數與線段的長(1)一般設拋物線上點的橫坐標為 x,縱坐標為拋物線解析式,與之相關的點的橫坐標也為 x,縱坐標為直線解析式,兩點縱坐標之差的絕對值即為線段的長度；(2)建立關于線段長的二次函數,通過求二次函數的最值進而求線段長的最值；(3)線段長之和最小的問題,轉化為對稱點后用兩點之間線段最短解決.2.二次函數與圖形的面積(1)根據二次函數中不同圖形的特點選擇合適的方法解答圖形的面積；(2)通過觀察、分析、概括、總結等方法了解二次函數面積問題的基本類型,并掌握二次函數中面積問題的相關計算,從而體會數形結合思想和轉化思想在二次函數中的應用；(3)利用二次函數的解析式求出相關點的坐標,從而得出相關線段長,利用割補方法求圖形的面積.3.二次函數與特殊三角形(1)判斷等腰三角形,可以對頂點進行分類討論；(2)判斷直角三角形,可以對直角頂點進行分類討論.4.二次函數與特殊四邊形此類題型結合特殊四邊形的判定方法,對對應邊進行分類討論,求平行四邊形存在類問題用平移法解坐標較簡單,其他特殊的平行四邊形結合判斷方法用邊相等、角為直角或對角線的交點坐標突破.5.二次函數與相似三角形結合相似三角形判定 方法, 如果一個角為直角 ,只需兩直角邊之比分別相等,此時要對對應邊分類討論.中考重難點突破二次函數與線段的長例 1 (2018?遂寧中考改編)如圖,已知拋物線y＝ax2＋32x＋4 的對稱軸是直線 x＝3,且與 x 軸相交于 A,B 兩點(B 點在 A 點右側),與 y 軸交于 C 點. (1)求拋物線的解析式和 A,B 兩點的坐標；(2)若 M 是拋物線上任意一點,過點 M 作 y 軸的平行線,交直線 BC 于點 N,當 MN＝3 時,求點 M 的坐標.【解析】(1)由拋物線的對稱軸 x＝ 3,利用二次函數的性質即可得到 a 的值 ,進而可得出拋物線的解析式,再利用拋物線與 x 軸交點的縱坐標為 0 可求出點 A,B 的坐標；(2)根據二次函數圖象上點的坐標特征可求出點 C 的坐標.由點 B,C 的坐標 ,利用待定系數法可得直線 BC 的解析式.設點 M 的橫坐標為 m,可表示點 M 的縱坐標.又由 MN∥y 軸, 可表示出點 N 的橫縱坐標,進而可用m 的代數式表示出 MN 的長,結合 MN＝3 即可得出關于 m 的含絕對值符號的一元二次方程,分類討論即可得出結果.【答案】解：(1)∵拋物線 y＝ax2＋32x ＋4 的對稱軸是直線 x＝3, ∴－322a＝3,解得 a＝－14,∴拋物線的解析式為 y＝－14x2 ＋32x＋4.當 y＝0 時 ,－14x2＋32x ＋4＝0,解得 x1＝－2,x2 ＝8.∴點 A 的坐標為(－2,0),點 B 的坐標為(8,0) ；(2)當 x＝0 時,y＝－14x2＋32x ＋4＝4,∴點 C 的坐標為(0,4).設直線 BC 的解析式為 y＝kx＋b(k≠0).將 B(8,0),C(0,4)代入 y＝kx＋b,得8k＋b＝0，b＝4，解得 k＝－12， b＝4 ，∴直線 BC 的解析式為 y＝－12x＋4.設點 M 的坐標為 m，－14m2＋32m＋4,則點 N 的坐標為 m，－12m＋4,∴MN ＝－14m2＋32m＋4－－12m＋4＝－14m2＋2m.又∵MN ＝3,∴－14m2＋2m＝3.當－14m2＋2m≥0,即 0≤m≤8 時,－14m2 ＋2m＝3,解得 m1＝2,m2＝6,此時點 M 的坐標為(2,6)或(6,4).同理,當－14m2＋2m＜0,即 m8 或 m0 時,點 M 的坐標為(4－27,7－1)或(4＋27,－7－1).綜上所述,點 M 的坐標為(2,6),(6,4),(4－27,7 －1)或(4＋27,－7－1).1.(2018?安順中考改編) 如圖,已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直線 x＝－1, 且拋物線與 x 軸交于 A,B 兩點,與 y 軸交于點 C,其中 A(1,0),C(0,3).(1)若直線 y＝mx ＋n 經過 B,C 兩點,求直線 BC 和拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸 x＝－1 上找一點 M,使點 M 到點 A 的距離與到點 C 的距離之和最小,求出點 M 的坐標.解：(1)依題意,得－b2a＝－ 1，a＋ b＋c ＝0，c＝3，解得 a＝－1，b＝－2，c＝3，∴拋物線的解析式為 y＝－x2 －2x＋3.令 y＝0,則－x2－2x＋3＝0,解得 x1＝1,x2 ＝－3,∴點 B(－3, 0).把 B(－3,0),C(0,3) 代入 y＝mx＋n,得－3m＋n＝0，n＝3，解得 m＝1，n＝3，∴直線 BC 的解析式為 y＝x＋3；(2)設直線 BC 與 x＝－1 的交點為 M,連接 AM.∵點 A,B 關于拋物線的對稱軸對稱,∴MA＝MB,∴MA＋MC＝MB ＋MC＝BC,∴當點 M 為直線 BC 與 x＝－1 的交點時,MA＋MC 的值最小.把 x＝－1 代入 y＝x＋3,得 y＝2,∴M(－1,2).二次函數與圖形的面積例 2 (2018?達州中考改編)如圖,拋物線經過原點O(0,0),A(1,1),B(72,0).(1)求拋物線的解析式；(2)連接 OA,過點 A 作 AC⊥OA 交拋物線于點 C,連接OC,求△AOC 的面積.【解析】(1)設交點式 y＝axx －72,然后把 A 點坐標代入求出 a,即可得到拋物線的解析式；(2)延長 CA 交 y 軸于點 D,易得 OA＝2,∠DOA＝45°,則可判斷△AOD 為等腰直角三角形 ,由此可求出 D 點坐標,利用待定系數法求出直線 AD 的解析式,再結合拋物線的解析式可得關于 x 的一元二次方程 ,解方程可得點 C 的坐標,利用三角形面積公式及 S△AOC＝S△ COD－S△AOD 進行計算,進而得出△AOC 的面積.【答案】解：(1)設拋物線的解析式為 y＝axx－72.把 A(1,1)代入 y＝axx－72,可得 a＝－25,∴拋物線的解析式為 y＝－25xx－72,即 y＝－25x2 ＋75x；(2)延長 CA 交 y 軸于點 D.∵A(1,1),∠OAC＝90°,∴OA＝2,∠DOA ＝45°,∴△AOD 為等腰直角三角形,∴OD＝2OA＝2,∴D (0,2).由點 A(1,1),D(0,2),得直線 AD 的解析式為 y＝－x＋2.令－25x2＋75x＝－x＋2,解得 x1＝1,x2＝5.當 x＝ 5 時,y＝－x＋2＝－3,∴C(5, －3),∴S△AOC ＝S △COD－S△AOD＝12×2×5－12×2×1＝4.2.(2018?眉山中考改編) 如圖,已知拋物線y＝ax2＋bx＋c 經過點 A(0,3),B(1,0),其對稱軸為直線l：x＝ 2,過點 A 作 AC∥x 軸交拋物線于點 C,∠AOB 的平分線交線段 AC 于點 E,點 P 是拋物線上的一個動點 ,設其橫坐標為 m.(1)求拋物線的解析式；(2)若動點 P 在直線 OE 下方的拋物線上 ,連接 PE,PO,當 m 為何值時, 四邊形 AOPE 的面積最大？并求出其最大值.解：(1)由拋物線的對稱性易得 D(3,0),設拋物線的解析式為 y＝a(x －1)(x－3).把 A(0,3)代入 y＝a(x－1)(x－3),得 3＝3a,解得 a＝1,∴拋物線的解析式為 y＝x2 －4x＋3 ；(2)由題意知 P(m,m2－4m＋3).∵OE 平分∠AOB,∠AOB ＝90°,∴∠AOE＝45 °,∴△AOE 是等腰直角三角形 ,∴AE ＝OA＝3,∴E(3,3).易得 OE 的解析式為 y＝x.過點 P 作 PG∥y 軸,交 OE 于點 G,則 G(m,m),∴PG＝m－(m2－4m＋3) ＝－m2＋5m －3.∴S 四邊形 AOPE＝S△AOE ＋S△PO E＝12 ×3×3＋12PG?AE＝92 ＋12 ×(－m2＋5m－3) ×3＝－32m2＋152m＝－32m－522＋758.∵－32 ＜0,∴當 m＝52 時,四邊形 AOPE 的面積最大, 最大值是758.二次函數與特殊三角形例 3 (2018?棗莊中考改編)如圖,已知二次函數y＝ax2＋32x＋c(a≠0)的圖象與 y 軸交于點 A(0,4),與x 軸交于點 B,C,點 C 坐標為(8,0),連接 AB,AC.(1)求二次函數的表達式；(2)若點 N 在 x 軸上運動 ,當以點 A,N,C 為頂點的三角形是等腰三角形時,請寫出此時點 N 的坐標.【解析】(1)根據待定系數法即可得出答案；(2)分別以 A,C 兩點為圓心,AC 長為半徑畫弧,與 x 軸交于三個點,由 AC 的垂直平分線與 x 軸交于一個點,即可求得點 N 的坐標.【答案】解：(1)∵二次函數 y＝ax2＋32x ＋c 的圖象與 y 軸交于點 A(0,4),與 x 軸交于點 C(8,0),∴c＝4，64a ＋12 ＋c ＝0，解得 a＝－ 14，c＝4，∴二次函數的表達式為 y＝－14x2＋32x＋4；(2)∵A(0,4),C(8,0),∴AC＝42＋82 ＝45.①以點 A 為圓心,AC 長為半徑作圓,交 x 軸于點 N,則AN＝AC,故△NAC 是以 NC 為底邊的等腰三角形,此時N 點坐標為(－8,0)；②以點 C 為圓心,AC 長為半徑作圓,交 x 軸于點 N,則CN＝CA,故△ACN 是以 NA 為底邊的等腰三角形,此時N 點坐標為(8 －45,0)或(8＋45,0) ；③作 AC 的垂直平分線,交 x 軸于點 N,則 NA＝NC,故△ANC 是以 AC 為底邊的等腰三角形,此時點 N 為 BC 的中點.令 y＝－14x2＋32x ＋4＝0,解得 x1＝8,x2 ＝－2,此時 N 點坐標為(3,0).綜上所述,點 N 在 x 軸上運動,當以點 A,N,C 為頂點的三角形是等腰三角形時,點 N 的坐標為(－8,0),(8－45,0),(3,0)或(8＋45,0).3.(2018?蘭州中考) 如圖,拋物線 y＝ax2 ＋bx－4 經過A(－3,0),B(5, －4)兩點,與 y 軸交于點 C,連接 AB,AC,BC.(1)求拋物線的表達式；(2)求證：AB 平分∠CAO；(3)拋物線的對稱軸上是否存在點 M,使得△ABM 是以AB 為直角邊 的直角三角形？若存在,求出點 M 的坐標；若不存在,請說明理由.(1)解：將 A(－3,0),B(5, －4)代入 y＝ax2＋bx－ 4,得9a－ 3b－4＝0，25a＋5b－4＝－4 ，解得a＝16，b＝－56，∴拋物線的表達式為 y＝16x2 －56x－4；(2)證明：∵AO＝ 3,OC＝4,∴AC＝5.取 D(2,0),則 AD＝ AC＝5.由兩點間的距離公式可知 BD＝（5 －2）2＋（－4－0）2 ＝5.∵C(0,－4),B(5, －4),∴BC＝5.∴AD＝AC＝BD＝BC.∴四邊形 ACBD 是菱形 ,∴∠CAB＝∠BAD,∴AB 平分∠CAO；(3)解：如圖,拋物線的對稱軸交 x 軸與點 E,交 BC 與點F,過點 A,B 分別作 M′A⊥AB,MB⊥AB,交對稱軸于點M′,M.拋物線的對稱軸為 x＝52,AE＝ 115.∵A(－3,0),B(5, －4), ∴tan ∠EAB ＝12.∵∠M′AB＝90° ,∴tan ∠M′AE＝2.∴M′E＝2AE＝11,∴M′52，11.同理,tan ∠MBF ＝2.又∵BF＝52, ∴FM＝5,∴M52，－9.綜上所述,拋物線的對稱軸上存在點 M52，11 或52，－ 9,使得△ABM 是以 AB 為直角邊的直角三角形.二次函數與四邊形例 4 (2018?河南中考改編)如圖,拋物線y＝ax2＋6x＋c 交 x 軸 于 A,B 兩點,交 y 軸于點 C,直線y＝x－5 經過點 B,C.(1)求拋物線的解析式；(2)過點 A 的直線交直線 BC 于點 M,當 AM⊥BC 時,過拋物線上一動點 P(不與點 B,C 重合),作直線 AM 的平行線交直線 BC 于點 Q,若以點 A,M,P,Q 為頂點的四邊形是平行四邊形,求點 P 的橫坐標； 【解析】(1)利用直線 BC 的解析式確定點 B,C 的坐標 ,然后利用待定系數法求拋物線的解析式；(2)先利用拋物線的解析式求出 A 點坐標 ,再判斷△OCB 為等腰直角三角形,繼而得到∠OBC＝∠OCB＝45°,則△AMB 為等腰直角三 角形,進而求出點 M 的坐標,根據拋物線和直線 BC 的解析式設點 P,Q 的坐標,根據平行四邊形的對角線互相平分, 即可列出等式方程,解方程即可得到點 P 的橫坐標.【答案】解：(1)當 x＝0 時,y ＝－5,則 C(0,－5).當 y＝0 時 ,y＝x －5＝0,解得 x＝5, 則 B(5,0).把 B(5,0),C(0,－5)代入 y＝ax2＋6x＋c,得25a＋30＋c＝0， c＝－5，解得 a＝－ 1，c＝－5 ，∴拋物線的解析式為 y＝－x2 ＋6x－5 ；(2)令 y＝－ x2＋6x－5＝0,解得 x1＝1,x2 ＝5,∴A(1,0).∵B(5,0),C(0,－5),∠BAC＝90°,∴△ OCB 為等腰直角三角形,∴∠OBC＝∠OCB ＝45°.又∵AM⊥BC,∴△AMB 為等腰直角三角形,∴AM＝22AB＝22×4＝22.∵以點 A,M,P,Q 為頂點的四邊形是平行四邊形,∴AM∥PQ,∴PQ＝AM ＝22,PQ ⊥BC.作 PD⊥x 軸交直線 BC 于點 D,則∠PDQ＝45°,∴PD＝2PQ ＝2× 22＝4.設 P(m,－m2＋6m－5),則 D(m,m－5).當點 P 在直線 BC 上方時,PD＝－m2 ＋6m－5－(m－5)＝－m2＋5m＝4,解得 m1＝1( 舍去),m2 ＝4；當點 P 在直線 BC 下方時,PD＝m－5－(－m2＋6m －5)＝m2－5m＝4,解得 m3＝5＋412,m4 ＝5－412.綜上所述,點 P 的橫坐標為 4,5＋412 或 5－412.4.(2018?濟寧中考改編) 如圖,已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經過點 A(3,0),B(－1,0),C(0,－3).(1)求該拋物線的解析式；(2)若點 Q 在 x 軸上,點 P 在拋物線上,是否存在以點 B ,C,Q,P 為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在,求點 P的坐標；若不存在,請說明理由. 解：(1)把 A(3,0),B(－1,0),C(0, －3) 代入 y＝ax2＋bx＋c,得9a＋ 3b＋c＝0，a－b＋c＝0，c＝－3，解得a＝1，b＝－ 2，c＝－3，∴該拋物線的解析式為 y＝x2 －2x－3 ；(2)存在以點 B,C,Q,P 為頂點的四邊形是平行四邊形.設直線 BC 的解析式為 y＝kx－3,把 B(－1,0)代入,得－k－3＝0,即 k＝－3,∴直線 BC 的解析式為 y＝－3x－3.設 Q(x,0),P(m,m2－2m－3).當四邊形 BCQP 為平行四邊形時 ,BC∥PQ,且 BC＝PQ.由 B(－1,0),C(0, － 3),得點 P 的縱坐標為 3,即m2－2m－3＝3, 解得 m＝1±7,此時 P(1＋7,3)或 P(1－7,3)；當四邊形 BCPQ 為平行四邊形或四邊形是以 BC 為對角線的平行四邊形時,點 P 的縱坐標為－ 3,即m2－2m－3＝－3,解得 m＝0 或 m＝2, 此時 P(2,－3).綜上所述,存在以點 B,C,Q,P 為頂點的四邊形是平行四邊形,P 的坐標為(1＋7,3) 或(1 －7,3),(2,－3).二次函數與相似三角形例 5 (2018?德州中考改編)如圖,在平面直角坐標系中, 直線 y＝x－1 與拋物線 y＝－x2＋bx ＋c 交于 A,B兩點,其中 A(m,0),B(4,n),該拋物線與 y 軸交于點 C,與x 軸交于另一點 D.(1)求 m,n 的值及該拋物線的解析式；(2)連接 BD,CD,在線段 CD 上是否存在點 Q,使得以A,D,Q 為頂點的三角形與 △ABD 相似？若存在,請求出點 Q 的坐標；若不存在, 請說明理由.【解析】(1)把點 A,B 的坐標代入 y＝x－1 求出 m 與n 的值,確定點 A,B 的坐標,然后代入 y＝－x2＋bx＋c求出 b 與 c 的值即可；(2)由點 C,D 的坐標易得直線 BC 的解析式為 y＝x－5,再由直線 AB 的解析式易得 AB∥CD,因此∠ADC ＝ ∠BAD. 分類討論：當 △DAQ∽△ABD 或△DQA∽△ABD 時, 根據對應邊成比例求出 DQ 的長,即可求出點 Q 的坐標.【答案】解：(1)把點 A(m,0),B(4,n)代入 y＝x－1,得m＝ 1,n＝3,∴A(1,0),B(4,3).∵y＝－x2＋bx＋c 經過 A,B 兩點,∴－1＋b＋c＝0，－16＋4b＋c＝3，解得b＝6，c＝－5，∴該拋物線的解析式為 y＝－x2 ＋ 6x－5 ；(2)在線段 CD 上存在點 Q,使得以 A,D,Q 為頂點的三角形與△ABD 相似.由(1)中結果可知 C(0,－5),D(5,0),∴直線 CD 的解析式為 y＝x－5.又∵直線 AB 的解析式為 y＝x－1,∴AB∥CD,∴∠BAD＝∠ADC.設 Q(x,x－5)(0≤x5).當△ABD∽△DAQ 時,ABDA＝ADDQ,即 324＝4DQ, 解得 DQ＝823,由兩點間的距離公式,得(x－5)2 ＋(x－5)2＝8232,解得x＝73 或 x＝233(舍去),此時 Q73，－83；當△ABD∽△DQA 時,ABDQ ＝ADDA＝1, 即 DQ＝32,∴(x－ 5)2＋(x－5)2＝(32)2,解得 x＝ 2 或 x＝8( 舍去), 此時 Q(2,－3).綜上所述,點 Q 的坐標為 (2,－3) 或 73，－83.5.(2018?深圳中考改編) 已知頂點為 A 的拋物線y＝ax－122－2 經過點 B－32 ，2.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖, 直線 AB 與 x 軸相交于點 M,與 y 軸相交于點 E,拋物線與 y 軸相交于點 F,在直線 AB 上有一點 P,若∠OPM＝∠MAF,求△POE 的面積.解：(1)把點B－32 ，2 代入 y＝ax－122 －2,解得 a＝1,∴拋物線的解析式為 y＝x －122－2,即 y＝x2－x－74；(2)由(1) 中結果得 A12，－2,F0，－74.設直線 AB 的解析式為 y＝kx＋b,由點 A,B 的坐標,得－2 ＝12k＋b，2＝－32k＋b，解得k＝－2，b＝－1，∴直線 AB 的解析式為 y＝－2x－1,∴OE＝1,FE＝34.若∠OPM＝∠MAF,則當 OP∥AF 時,△OPE ∽△FAE,∴OPFA＝OEFE＝134＝43,∴OP＝43FA＝43×12－02 ＋－2＋742＝53.設點 P(t,－2t－1),則 OP＝t2＋（－2t－1）2 ＝53,即(15t＋2)(3t＋2)＝0,解得 t1＝－215,t2＝－23.由對稱性知,當 t1＝215 時, 也滿足∠OPM ＝∠MAF,∴t1,t2 的值都滿足條件.∵S△POE＝12OE?|t|,∴當 t＝－215 時 ,S△OPE＝12×1×215＝115 ；當 t＝－23 時,S△OPE＝12×1×23＝13.綜上所述,△POE 的面積為 115 或 13.中考專題過關1.(2018?自貢中考改編) 如圖,拋物線 y＝ax2 ＋bx－3過 A(1,0),B(－3,0)兩點,直線 AD 交拋物線于點 D,點 D的橫坐標為－2,點 P(m,n)是線段 AD 上的動點.(1)求直線 AD 及拋物線的解析式；(2)過點 P 的直線垂直于 x 軸,交拋物線于點 Q,求線段PQ 的長度 l 與 m 的關系式,m 為何值時 ,PQ 最長？解：(1)把(1,0),(－3,0)代入 y＝ax2＋bx －3, 得a＋b－3＝ 0，9a－3b －3＝0，解得 a＝1，b＝2 ，∴拋物線的解析式為 y＝x2 ＋2x－3.當 x＝－2 時,y＝( －2)2＋2×(－2)－3 ＝－3,即 D(－2,－3).設直線 AD 的解析式為 y＝kx＋b′ .將 A(1,0),D(－2,－3) 代入,得k＋ b′＝0，－2k＋b′＝－3，解得k＝ 1，b′＝－1，∴直線 AD 的解析式為 y＝x－1 ；(2)由(1) 可得 P(m,m－1),Q(m,m2 ＋ 2m－3),∴l(xiāng)＝(m －1)－(m2＋2m－3),即 l＝－m2－m＋2( －2≤m≤1),配方,得 l＝－m＋122 ＋94,∴當 m＝－12 時,PQ 最長.2.(2018?中考改編) 如圖,在平面直角坐標系中 ,拋物線y＝ax2＋bx－5 交 y 軸于點 A,交 x 軸于點 B(－5,0)和點 C(1,0).(1)求該拋物線的解析式；(2)若點 P 是直線 AB 下方的拋物線上一動點,當點 P 運動到某一位置時,△ABP 的面積最大,求出此時點 P 的坐標和△ABP 的最大面積.解：(1)∵拋物線 y＝ax2＋bx －5 交 y 軸于點 A,交 x 軸于點 B(－5,0)和點 C(1,0),∴25a－5b－5＝0，a＋b－5＝0，解得 a＝1 ，b＝4，∴該拋物線的解析式為 y＝x2 ＋4x－5 ；(2)設點 P 的坐標為(p,p2＋4p－5),如圖.由點 A(0,－5),B(－5,0) 得直線 AB 的解析式為y＝－x－5.當 x＝ p 時,y＝－p－5.∵OB＝5,∴S△ABP＝（－p－5）－（p2＋4p－5 ）2?5＝－52p＋522 －254.∵點 P 是直線 AB 下方的拋物線上一動點,∴－5＜p＜0,∴當 p＝－52 時,S 取得最大值,此時 S＝ 1258,點 P 的坐標是－52，－354,即當點 P 的坐標為－ 52，－354 時,△ABP 的面積最大,此時△ABP 的面積是 1258.3.(2018?泰安中考改編) 如圖,在平面直角坐標系中 ,二次函數 y＝ax2＋ bx＋c 交 x 軸于點 A(－4,0),B(2,0), 交y 軸于點 C(0,6),在 y 軸上有一點 E(0,－2),連接 AE.(1)求二次函數的表達式；(2)拋物線對稱軸上是否存在點 P,使 △AEP 為等腰三角形？若存在,請求出所有 P 點坐標；若不存在 ,請說明理由.解：(1)∵二次函 數 y＝ax2＋bx＋c 經過點 A(－4,0),B(2,0),C(0,6),∴16a－4b＋c＝0 ，4a＋2b＋c ＝0，c＝6 ，解得a＝－34 ，b＝－32，c＝6 ，∴二次函數的表達式為 y＝－34x2－32x＋6；(2)在拋物線對稱軸上存在點 P,使△ AEP 為等腰三角形.∵拋物線 y＝－34x2 －32x＋6 的對稱軸為 x＝－1, ∴設 P(－1,n).又∵E(0,－2),A(－4,0),∴PA＝9＋n2,PE＝1＋（n＋2）2,AE＝ 16＋4＝25.當 PA＝PE 時,9＋n2＝1＋（n＋2）2,解得 n＝1,此時 P(－1,1) ；當 PA＝AE 時,9＋n2＝25,解得 n＝±11,此時 P(－1,±11)；當 PE＝AE 時,1＋（n＋2 ）2＝25,解得 n＝－2±19,此時 P (－1,－2±19).綜上所述,點 P 的坐標為 (－1,1),(－1, ±11)或(－1,－2±19).4.(2018?上海中考) 如圖,在平面直角坐標系 xOy 中,已知拋物線 y＝－12x2 ＋bx＋c 經過點 A(－1,0) 和點B0，52,頂點為 C,點 D 在其對稱軸上且位于點 C 下方,將線段 DC 繞點 D 按順時針方向旋轉 90°,點 C 落在拋物線上的點 P 處 .(1)求這條拋物線的表達式；(2)求線段 CD 的長；(3)將拋物線平移,使其頂點 C 移到原點 O 的位置,這時點 P 落在點 E 的位置,如果 點 M 在 y 軸上,且以 O,D,E,M為頂點的四邊形面積為 8,求點 M 的坐標.解：(1)把 A(－1,0),B0，52 代入 y＝－12x2＋bx＋c,得－12 －b＋c＝0 ，c＝52，解得 b＝2，c＝52，∴這條拋物線的表達式為 y＝－12x2＋2x ＋52；(2)∵y＝－ 12(x－2)2＋92,∴C2，92,拋物線的對稱軸為直線 x＝2.如圖,設 CD＝t, 則 D2，92－t.由題意,得∠PDC＝90 °,DP＝DC＝ t,∴P2＋t， 92－t.把 P2＋t ，92－t 代入 y＝－12x2＋2x＋52,可得t1＝0(舍去),t2＝2.∴線段 CD 的長為 2；(3)由(2) 易知 P4，52,D2，52.∴平移后,E 點坐標為(2,－2).設 M(0,m),則 12?|m|＋52＋2?2＝8,∴m ＝±72,∴點 M 的坐標為 0，72 或 0，－ 72.5.(2018?綿陽中考改編) 如圖,已知拋物線y＝ax2＋bx(a≠0)過點 A(3,－3)和點 B(33,0).過點 A 作直線 AC∥x 軸, 交 y 軸于點 C.(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上取一點 P,過點 P 作直線 AC 的垂線,垂足為點 D.連接 OA,使得以 A,D,P 為頂點的三角形與△AOC 相似,求出對應點 P 的坐標.解：(1)把點 A(3,－3),B(33,0)代入 y＝ax2＋bx,得3a＋ 3b＝－3，27a＋33b＝0，解得 a＝12，b＝－332.∴拋物線的解析式為 y＝12x2 －332x；(2)設 P 點坐標為 x，12x2 －332x.①若點 P 在直線 AD 上方, 則AD＝x－3,PD＝12x2 －332x ＋3.當△OCA∽△ADP 時,OCAD＝CADP,即 3x－3＝312x2－332x＋3,∴x＝ 833 或 x＝3( 舍去), 此時 P833，－43；當△OCA∽△PDA 時,OCPD＝CADA,即 312x2－332x＋3＝3x －3,∴x＝ 43 或 x＝3( 舍去), 此時 P(43,6)；②若 P 在直線 AD 下方, 同理可得點 P 的坐標為433，－103.綜上所述,點 P 的坐標為 833，－43,(43,6)或433，－103.6.如圖,在 ⊙C 的內接△AOB 中,AB ＝AO＝4,tan ∠AOB＝34,拋物線 y＝ax2＋bx 經過點 A(4,0),(－2,6).(1)求拋物線的函數解析式；(2)直線 m 與⊙C 相切于點 A,交 y 軸于點 D.動點 P 在線段 OB 上,從點 O 出發(fā)向點 B 運動；同時動點 Q 在線段 DA 上, 從點 D 出發(fā)向點 A 運動；點 P 的速度為每秒 1 個單位長度,點 Q 的速度為每秒 2 個單位長度.當 PQ⊥AD 時,求運動時間 t 的值.解：(1)∵拋物線 y＝ax2＋bx 經過點 A(4,0),(－2,6),∴16a＋4b＝0，4a－2b＝6，解得 a＝12，b＝－2.∴拋物線的解析式為 y＝12x2 －2x.(2)連接 AC 交 OB 于點 E,由垂徑定理得 AC⊥OB.∵AD 為⊙C 的切線,∴AC⊥AD.∴AD∥OB.∴∠AOB＝∠OAD.∵tan ∠AOB＝34,∴tan ∠OAD＝34.∴OD＝OA tan ∠OAD＝4×34＝3.當 PQ⊥AD 時,OP＝t,DQ ＝2t.過點 O 作 OF⊥AD 于點 F,則四邊形 OFQP 是矩形.∴DF＝DQ －FQ ＝DQ－OP＝2t －t ＝t.∵∠DOF＋∠AOF＝∠OAF ＋∠AOF ＝90°,∴∠DOF＝∠OAF.∴tan ∠DOF＝DFOF＝tan ∠OAD ＝34.∴OF＝43DF.在 Rt△ODF 中,OD＝3,OF ＝43DF,OD2＝OF2 ＋DF2,∴32 ＝( DF)2＋DF2.∴DF＝1.8.∴t＝1.8(s).