《2020版高中數(shù)學 第三章 變化率與導數(shù) 1 變化的快慢與變化率學案(含解析)北師大版選修1 -1.docx》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2020版高中數(shù)學 第三章 變化率與導數(shù) 1 變化的快慢與變化率學案(含解析)北師大版選修1 -1.docx(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1 變化的快慢與變化率
學習目標 1.了解函數(shù)的平均變化率和瞬時變化率的概念.2.會求物體運動的平均速度并估計瞬時速度.
知識點一 函數(shù)的平均變化率
1.定義:對一般的函數(shù)y=f(x)來說,當自變量x從x1變?yōu)閤2時,函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2),它的平均變化率為.
其中自變量的變化x2-x1稱作自變量的改變量,記作Δx,函數(shù)值的變化f(x2)-f(x1)稱作函數(shù)值的改變量,記作Δy.這樣,函數(shù)的平均變化率就可以表示為函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比,即=.
2.作用:刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1,x2]上變化的快慢.
知識點二 瞬時變化率
1.定義:對于一般的函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過程中,若設Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),則函數(shù)的平均變化率是==.而當Δx趨于0時,平均變化率就趨于函數(shù)在x0點的瞬時變化率.
2.作用:刻畫函數(shù)在一點處變化的快慢.
對于函數(shù)y=f(x),當x從x1變?yōu)閤2時,函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2),若記Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),則
1.Δx可正,可負,可為零.( )
2.函數(shù)y=f(x)的平均變化率為==.( √ )
3.函數(shù)y=f(x)的平均變化率為==.( √ )
4.當Δx趨于0時,就趨于函數(shù)在x1處的瞬時變化率.( √ )
題型一 函數(shù)的平均變化率
例1 求函數(shù)y=f(x)=x2在x分別從1到1+Δx,2到2+Δx,3到3+Δx的平均變化率,當Δx都為時,哪一點附近的平均變化率最大?
考點 平均變化率的概念
題點 求平均變化率
解 在x=1附近的平均變化率為
k1==
=2+Δx;
在x=2附近的平均變化率為
k2==
=4+Δx;
在x=3附近的平均變化率為
k3==
=6+Δx.
當Δx=時,k1=2+=,
k2=4+=,k3=6+=.
由于k1
0)豎直上拋的物體,t秒時的高度s與t的函數(shù)關系為s=v0t-gt2,求物體在t0時刻處的瞬時速度.
考點 瞬時變化率的概念
題點 瞬時速度
解 因為Δs=v0(t0+Δt)-g(t0+Δt)2-
=(v0-gt0)Δt-g(Δt)2,
所以=v0-gt0-gΔt.
當Δt趨于0時,趨于v0-gt0,
故物體在t0時刻處的瞬時速度為v0-gt0.
反思感悟 1.求瞬時速度的步驟
(1)求位移改變量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).
(2)求平均速度v=.
(3)當Δt趨于0時,平均速度趨于瞬時速度.
2.求當Δx無限趨近于0時,的值
(1)在表達式中,可把Δx作為一個數(shù)來參加運算.
(2)求出的表達式后,Δx無限趨近于0,就是令Δx=0,求出結(jié)果即可.
跟蹤訓練2 一質(zhì)點M按運動方程s(t)=at2+1做直線運動(位移單位:m,時間單位:s),若質(zhì)點M在t=2s時的瞬時速度為8m/s,求常數(shù)a的值.
考點 瞬時變化率的概念
題點 瞬時速度
解 質(zhì)點M在t=2時的瞬時速度即為函數(shù)s(t)在t=2處的瞬時變化率.
∵質(zhì)點M在t=2附近的平均變化率
===4a+aΔt,
當Δt趨于0時,趨于4a,
∴4a=8,得a=2.
1.已知函數(shù)f(x),當自變量由x0變化到x1時,函數(shù)值的增量與相應的自變量的增量之比是函數(shù)( )
A.在x0處的變化率
B.在區(qū)間[x0,x1]上的平均變化率
C.在x1處的變化率
D.以上結(jié)論都不對
考點 平均變化率的概念
題點 平均變化率概念的理解
答案 B
解析?。?,由平均變化率的定義可知,故選B.
2.一物體的運動方程是s(t)=3+2t,則在[2,2.1]這段時間內(nèi)的平均速度是( )
A.0.4 B.2
C.0.3 D.0.2
考點 平均變化率的概念
題點 求平均速度
答案 B
解析 ==2.
3.物體運動時位移s與時間t的函數(shù)關系是s(t)=-4t2+16t,此物體在某一時刻的瞬時速度為零,則相應的時刻為( )
A.t=1 B.t=2
C.t=3 D.t=4
考點 瞬時變化率的概念
題點 瞬時速度
答案 B
解析 設此物體在t0時刻的瞬時速度為0,
==-8t0+16-4Δt,
當Δt趨于0時,趨于-8t0+16,
令-8t0+16=0,解得t0=2.
4.球的半徑從1增加到2時,球的體積平均膨脹率為________.
考點 平均變化率的概念
題點 平均變化率的應用
答案
解析 ∵Δy=π23-π13=,
∴球的體積平均膨脹率為=.
5.設函數(shù)f(x)=3x2+2在x0=1,2,3附近Δx取時的平均變化率分別為k1,k2,k3,比較k1,k2,k3的大小.
考點 平均變化率的概念
題點 求平均變化率
解 函數(shù)在[x0,x0+Δx]上的平均變化率為6x0+3Δx.
當x0=1,Δx=時,函數(shù)在[1,1.5]上的平均變化率為
k1=61+30.5=7.5;
當x0=2,Δx=時,函數(shù)在[2,2.5]上的平均變化率為
k2=62+30.5=13.5;
當x0=3,Δx=時,函數(shù)在[3,3.5]上的平均變化率為
k3=63+30.5=19.5,所以k1k2
C.k1=k2 D.無法確定
考點 平均變化率的概念
題點 平均變化率概念的理解
答案 D
解析 k1==2x0+Δx,k2==2x0-Δx,而Δx可正可負,故k1,k2大小關系不確定.
7.如果函數(shù)y=f(x)=ax+b在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為3,則( )
A.a(chǎn)=-3 B.a(chǎn)=3
C.a(chǎn)=2 D.a(chǎn)的值不能確定
考點 平均變化率的概念
題點 平均變化率的應用
答案 B
解析?。剑絘=3.
8.一個物體的運動方程是s=2t2+at+1,該物體在t=1時的瞬時速度為3,則a等于( )
A.-1 B.0
C.1 D.7
考點 瞬時變化率的概念
題點 瞬時速度
答案 A
解析 =
=
=a+4+2Δt,
當Δt趨于0時,a+4+2Δt趨于a+4,
由題意知a+4=3,得a=-1.
二、填空題
9.汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖像如圖所示,在時間段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分別為1,2,3,則三者的大小關系為________________.
考點 平均變化率的概念
題點 平均變化率的應用
答案 1<2<3
解析 1=kOA,2=kAB,3=kBC,
由圖像知,kOA0)上的平均變化率不大于-1,求Δx的取值范圍.
考點 平均變化率的概念
題點 平均變化率的應用
解 ∵函數(shù)f(x)在[2,2+Δx]上的平均變化率為
=
=
=-3-Δx,
∴由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2.
又∵Δx>0,∴Δx的取值范圍是(0,+∞).
15.物體的運動方程是s=(位移單位:m,時間單位:s),求物體在t=1s時的瞬時速度.
解 ∵Δs=-=-,
==
=,
當Δt趨于0時,趨于.
∴物體在t=1s時的瞬時速度為m/s.
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