2018-2019版高中數學 第四講 數學歸納法證明不等式復習課學案 新人教A版選修4-5.docx
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第四講 數學歸納法證明不等式 復習課 學習目標 1.梳理數學歸納法的思想方法，初步形成“歸納—猜想—證明”的思維模式.2.熟練掌握用數學歸納法證明不等式、等式等問題的證明步驟． 1．數學歸納法是用有限個步驟，就能夠處理完無限多個對象的方法． 2．一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數n0的所有正整數n都成立時，可以用以下兩個步驟： (1)證明當n＝n0時命題成立． (2)假設當n＝k(k∈N＋且k≥n0)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立．完成以上兩個步驟，就可以斷定命題對不小于n0的所有正整數都成立，這種證明方法稱為數學歸納法． 3．在數學歸納法的兩個步驟中，第一步是奠基，第二步是假設與遞推，遞推是實現從有限到無限飛躍的關鍵． 4．用數學歸納法證明不等式，關鍵是在假設當n＝k(k∈N＋，k≥n0)時命題成立的條件下，推出當n＝k＋1時命題成立這一步，為完成這步證明，不僅要正確使用歸納假設，還要用到分析法，綜合法，放縮法等相關知識和方法． 類型一 歸納—猜想—證明 例1 已知數列{an}的第一項a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋)． (1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達式； (2)用數學歸納法證明{an}的通項公式． (1)解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10， a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20， 猜想an＝ (2)證明?、佼攏＝2時，a2＝522－2＝5，公式成立． ②假設當n＝k時成立， 即ak＝52k－2(k≥2，k∈N＋)， 當n＝k＋1時，由已知條件和假設有 ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak ＝5＋5＋10＋…＋52k－2 ＝5＋＝52k－1. 故當n＝k＋1時公式也成立． 由①②可知，對n≥2，n∈N＋有an＝52n－2. 所以數列{an}的通項an＝ 反思與感悟 利用數學歸納法解決探索型不等式的思路是：觀察——歸納——猜想——證明．即先通過觀察部分項的特點，進行歸納，判斷并猜想出一般結論，然后用數學歸納法進行證明． 跟蹤訓練1 設f(n)＞0(n∈N＋)，對任意自然數n1和n2總有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f(2)＝4. (1)求f(1)，f(3)的值； (2)猜想f(n)的表達式，并證明你的猜想． 解 (1)由于對任意自然數n1和n2， 總有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)． 取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)f(1)，即f2(1)＝4. ∵f(n)＞0(n∈N＋)， ∴f(1)＝2. 取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23. (2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23， 猜想f(n)＝2n. 證明：①當n＝1時，f(1)＝2成立． ②假設n＝k(k≥1，k∈N＋)時，f(k)＝2k成立． 當n＝k＋1時，f(k＋1)＝f(k)f(1)＝2k2＝2k＋1， 所以當n＝k＋1時，猜想也成立． 由①②知猜想正確，即f(n)＝2n，n∈N＋. 類型二 用數學歸納法證明等式或不等式 例2 求證tanαtan2α＋tan2αtan3α＋…＋tan(n－1)αtannα＝－n(n≥2，n∈N＋)． 證明 (1)當n＝2時， 左邊＝tanαtan2α， 右邊＝－2＝－2 ＝－2 ＝＝ ＝tanαtan2α，等式成立． (2)假設當n＝k(k≥2，k∈N＋)時等式成立，即 tanαtan2α＋tan2αtan3α＋…＋tan(k－1)αtankα＝－k. 當n＝k＋1時， tanαtan2α＋tan2αtan3α＋…＋tan(k－1)αtankα＋tankαtan(k＋1)α ＝－k＋tankαtan(k＋1)α ＝－k ＝[1＋tan(k＋1)αtan α]－k ＝[tan(k＋1)α－tan α]－k ＝－(k＋1)， 所以當n＝k＋1時，等式也成立． 由(1)和(2)知，當n≥2，n∈N＋時等式恒成立． 反思與感悟 歸納法是證明有關正整數n的命題的一種方法，應用廣泛．用數學歸納法證明一個命題必須分兩個步驟：(1)論證命題的起始正確性，是歸納的基礎；(2)推證命題正確的可傳遞性，是遞推的依據．兩步缺一不可，證明步驟與格式的規(guī)范是數學歸納法的一個特征． 跟蹤訓練2 用數學歸納法證明：當n∈N＋時，(2cosx－1)(2cos2x－1)…(2cos2n－1x－1)＝. 證明 (1)當n＝1時，左邊＝2cosx－1， 右邊＝＝＝2cosx－1， 即左邊＝右邊，∴命題成立． (2)假設當n＝k(k≥1，k∈N＋)時，命題成立， 即(2cosx－1)(2cos2x－1)…(2cos2k－1x－1)＝. 當n＝k＋1時， 左邊＝(2cosx－1)(2cos2x－1)…(2cos2k－1x－1)(2cos2kx－1) ＝(2cos2kx－1) ＝ ＝. ∴當n＝k＋1時命題成立． 由(1)(2)可知，當n∈N＋時命題成立． 例3 用數學歸納法證明＋＋＋…＋>，其中n≥2，n∈N＋. 證明 (1)當n＝2時，左邊＝，右邊＝0，結論成立； (2)假設當n＝k(k≥2，k∈N＋)時，結論成立， 即＋＋＋…＋>， 則當n＝k＋1時， 左邊＝＋＋＋…＋＋＋…＋>＋＋…＋>＋＝， 即當n＝k＋1時，結論成立． 由(1)(2)可知，＋＋＋…＋>，n≥2，n∈N＋. 反思與感悟 用數學歸納法證明不等式，除了注意數學歸納法規(guī)范的格式外，還要注意靈活利用問題的其他條件及相關知識． 跟蹤訓練3 求證：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N＋)． 證明 (1)當n＝2時， 左邊＝＋＋＋＞，不等式成立． (2)假設當n＝k(k≥2，k∈N＋)時，命題成立， 即＋＋…＋＞. 當n＝k＋1時， ＋＋…＋＋＋＋ ＝＋＋…＋＋ ＞＋ ＞＋＝. 所以當n＝k＋1時，不等式也成立． 由(1)(2)可知，原不等式對一切n≥2，n∈N＋均成立． 類型三 用數學歸納法證明整除問題 例4 用數學歸納法證明：n(n＋1)(2n＋1)能被6整除． 證明 (1)當n＝1時，123顯然能被6整除． (2)假設當n＝k(k≥1，k∈N＋)時，命題成立， 即k(k＋1)(2k＋1)＝2k3＋3k2＋k能被6整除． 當n＝k＋1時， (k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1)． 因為2k3＋3k2＋k,6(k2＋2k＋1)都能被6整除， 所以2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1)能被6整除， 即當n＝k＋1時命題成立． 由(1)和(2)知，對任意n∈N＋原命題成立． 反思與感悟 用數學歸納法證明整除問題的關鍵點 (1)用數學歸納法證明整除問題的關鍵是利用增項、減項、拆項、并項、因式分解等恒等變形的方法去湊假設、湊結論，從而利用歸納假設使問題獲證． (2)與n有關的整除問題一般都用數學歸納法證明，其中關鍵問題是從n＝k＋1時的表達式中分解出n＝k時的表達式與一個含除式的因式或幾個含除式的因式． 跟蹤訓練4 設x∈N＋，n∈N＋， 求證：xn＋2＋(x＋1)2n＋1能被x2＋x＋1整除． 證明 (1)當n＝1時，x3＋(x＋1)3＝[x＋(x＋1)][x2－x(x＋1)＋(x＋1)2]＝(2x＋1)(x2＋x＋1)，結論成立． (2)假設當n＝k(k≥1，k∈N＋)時，結論成立，即xk＋2＋(x＋1)2k＋1能被x2＋x＋1整除， 那么當n＝k＋1時， x(k＋1)＋2＋(x＋1)2(k＋1)＋1 ＝xxk＋2＋(x＋1)2(x＋1)2k＋1 ＝x[xk＋2＋(x＋1)2k＋1]＋(x＋1)2(x＋1)2k＋1－x(x＋1)2k＋1 ＝x[xk＋2＋(x＋1)2k＋1]＋(x2＋x＋1)(x＋1)2k＋1. 由假設知，xk＋2＋(x＋1)2k＋1及x2＋x＋1均能被x2＋x＋1整除，故x(k＋1)＋2＋(x＋1)2(k＋1)＋1能被x2＋x＋1整除，即當n＝k＋1時，結論也成立． 由(1)(2)知，原結論成立． 1．某同學回答“用數學歸納法證明
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