2019-2020年中考專題復習：第二十講 多邊形與平行四邊形.doc

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2019-2020年中考專題復習：第二十講 多邊形與平行四邊形 【重點考點例析】 考點一：多邊形內角和、外角和公式 例1 （xx?梅州）若一個多邊形的內角和小于其外角和，則這個多邊形的邊數是（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 思路分析：由于任何一個多邊形的外角和為360，由題意知此多邊形的內角和小于360．又根據多邊形的內角和定理可知任何一個多邊形的內角和必定是180的整數倍，則此多邊形的內角和等于180．由此可以得出這個多邊形的邊數． 解：設邊數為n，根據題意得 （n-2）?180＜360 解之得n＜4． ∵n為正整數，且n≥3， ∴n=3． 故選A． 點評：本題考查多邊形的內角和與外角和、方程的思想．關鍵是記住內角和的公式與外角和的特征，還需要懂得挖掘此題隱含著邊數為正整數這個條件．本題既可用整式方程求解，也可用不等式確定范圍后求解． 對應訓練 1．（xx?長沙）下列多邊形中，內角和與外角和相等的是（　?。? A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．八邊形 1．A 考點二：平面圖形的密鋪 例2 （xx?漳州）用下列一種多邊形不能鋪滿地面的是（　?。? A．正方形 B．正十邊形 C．正六邊形 D．等邊三角形 思路分析：根據平面圖形鑲嵌的條件：判斷一種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點處的幾個角能否構成周角．若能構成360，則說明能夠進行平面鑲嵌；反之則不能，即可得出答案． 解：∵用一種正多邊形鑲嵌，只有正方形，正六邊形，等邊三角形三種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖案． ∴不能鋪滿地面的是正十邊形； 故選B． 點評：此題考查了平面鑲嵌，用到的知識點是只用一種正多邊形能夠鋪滿地面的是正三角形或正四邊形或正六邊形． 對應訓練 2．（xx?呼和浩特）只用下列圖形中的一種，能夠進行平面鑲嵌的是（　?。? A．正十邊形 B．正八邊形 C．正六邊形 D．正五邊形 2．C 考點三：平行四邊形的性質 例3 （xx?益陽）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是（　?。? A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC⊥BD 思路分析：根據平行四邊形的性質，平行四邊形對邊平行以及對邊相等和對角相等分別判斷得出即可． 解：∵在平行四邊形ABCD中， ∴AB∥CD， ∴∠1=∠2，故此選項正確，不合題意； ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，故B，C選項正確，不合題意； 無法得出AC⊥BD，故此選項錯誤，符合題意． 故選D． 點評：此題主要考查了平行四邊形的性質，熟練掌握相關的性質是解題關鍵． 例4 （xx?瀘州）如圖，已知?ABCD中，F(xiàn)是BC邊的中點，連接DF并延長，交AB的延長線于點E．求證：AB=BE． 思路分析：根據平行四邊形性質得出AB=DC，AB∥CD，推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，證△CDF≌△BEF，推出BE=DC即可． 證明：∵F是BC邊的中點， ∴BF=CF， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=DC，AB∥CD， ∴∠C=∠FBE，∠CDF=∠E， ∵在△CDF和△BEF中 ， ∴△CDF≌△BEF（AAS）， ∴BE=DC， ∵AB=DC， ∴AB=BE． 點評：本題考查了平行四邊形性質，全等三角形的性質和判定，平行線的性質的應用，關鍵是推出△CDF≌△BEF 對應訓練 3．（xx?黔西南州）已知?ABCD中，∠A+∠C=200，則∠B的度數是（　?。? A．100 B．160 C．80 D． 60 3．C 4．（xx?長春）在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別是AC、BC、BA延長線上的點，四邊形ADEF為平行四邊形．求證：AD=BF． 4．證明：∵四邊形ADEF為平行四邊形， ∴AD=EF，AD∥EF， ∴∠ACB=∠FEB， ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠B， ∴∠FEB=∠B， ∴EF=BF， ∴AD=BF． 考點四：平行四邊形的判定 例5 （xx?荊門）四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，給出下列四個條件： ①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD 從中任選兩個條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有（　?。? A．3種 B．4種 C．5種 D．6種 思路分析：根據題目所給條件，利用平行四邊形的判定方法分別進行分析即可． 解：①②組合可根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形； ③④組合可根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形； ①③可證明△ADO≌△CBO，進而得到AD=CB，可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形； ①④可證明△ADO≌△CBO，進而得到AD=CB，可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形； 故選：B． 點評：此題主要考查了平行四邊形的判定，關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理． 對應訓練 5．（xx?瀘州）四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是（　?。? A．AB∥DC，AD∥BC B．AB=DC，AD=BC C．AO=CO，BO=DO D．AB∥DC，AD=BC 5．D 【聚焦山東中考】 1．（xx?煙臺）一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內角和為720，那么原多邊形的邊數為（　?。? A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7 1．D 2．（xx?泰安）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點E，與DC交于點F，且點F為邊DC的中點，DG⊥AE，垂足為G，若DG=1，則AE的邊長為（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 2．B 3．（xx?萊蕪）正十二邊形每個內角的度數為 150 ． 3．150 4．（xx?菏澤）如圖，?ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，∠AEB=45，BD=2，將△ABC沿AC所在直線翻折180到其原來所在的同一平面內，若點B的落點記為B′，則DB′的長為 ． 4． 5．（xx?萊蕪）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點E為AB的中點，連結DE． （1）證明DE∥CB； （2）探索AC與AB滿足怎樣的數量關系時，四邊形DCBE是平行四邊形． 5．（1）證明：如圖，連結CE． ∵點E為Rt△ACB的斜邊AB的中點， ∴CE=AB=AE． ∵△ACD是等邊三角形，∴AD=CD． 在△ADE與△CDE中，， ∴△ADE≌△CDE（SSS）， ∴∠ADE=∠CDE=30． ∵∠DCB=150， ∴∠EDC+∠DCB=180． ∴DE∥CB． （2）解：∵∠DCB=150，若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180． ∴∠B=30． 在Rt△ACB中，sinB=，sin30==，AC=AB或AB=2AC． ∴當AC=AB或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形． 6．（xx?日照）如圖，已知四邊形ABDE是平行四邊形，C為邊BD延長線上一點，連結AC、CE，使AB=AC． （1）求證：△BAD≌△AEC； （2）若∠B=30，∠ADC=45，BD=10，求平行四邊形ABDE的面積． 6．解：（1）證明：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB． 又∵四邊形ABDE是平行四邊形 ∴AE∥BD，AE=BD， ∴∠ACB=∠CAE=∠B， 在△DBA和△AEC中 ， ∴△DBA≌△AEC（SAS）； （2）解：如圖，過A作AG⊥BC，垂足為G． 設AG=x， 在Rt△AGD中，∵∠ADC=45， ∴AG=DG=x， 在Rt△AGB中，∵∠B=30， ∴BG=x， 又∵BD=10． ∴BG-DG=BD，即x-x=10， 解得AG=x==5+5， ∴S平行四邊形ABDE=BD?AG=10（5+5）=50+50． 【備考真題過關】 一、選擇題 1．（xx?資陽）一個正多邊形的每個外角都等于36，那么它是（　　） A．正六邊形 B．正八邊形 C．正十邊形 D．正十 1．C 2．（xx?湛江）已知一個多邊形的內角和是540，則這個多邊形是（　?。? A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形 2．B 3．（xx?六盤水）下列圖形中，單獨選用一種圖形不能進行平面鑲嵌的是（　?。? A．正三角形 B．正六邊形 C．正方形 D．正五邊形 3．D 4．（xx?襄陽）如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于點O，且AB=5，△OCD的周長為23，則平行四邊形ABCD的兩條對角線的和是（　　） A．18 B．28 C．36 D．46 4．C 5．（xx?湘西州）如圖，在?ABCD中，E是AD邊上的中點，連接BE，并延長BE交CD延長線于點F，則△EDF與△BCF的周長之比是（　?。? A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 5．A 6．（xx?云南）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，下列結論正確的是（　?。? A．S?ABCD=4S△AOB B．AC=BD C．AC⊥BD D．?ABCD是軸對稱圖形 6．A 7．（xx?無錫）如圖，平行四邊形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60，E在AB上，且AE：EB=1：2，F(xiàn)是BC的中點，過D分別作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，則DP：DQ等于（　?。? A．3：4 B．：2 C．：2 D．2： 7．D 二、填空題 8．（xx?無錫）六邊形的外角和等于 360 度． 8．360 9．（xx?遂寧）若一個多邊形內角和等于1260，則該多邊形邊數是 9 ． 9．9 10．（xx?三明）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，請你添加一個條件，使得四邊形ABCD成為平行四邊形，你添加的條件是 答案不唯一，如：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180或∠C+∠D=180等 ． 10．答案不唯一，如：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180或∠C+∠D=180等 11．（xx?樂山）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=45．直線l與邊AB，AD分別相交于點M，N，則∠1+∠2= 225 ． 11．225 12．（xx?江西）如圖，?ABCD與?DCFE的周長相等，且∠BAD=60，∠F=110，則∠DAE的度數為 25 ． 12．25 13．（xx?安徽）如圖，P為平行四邊形ABCD邊AD上一點，E、F分別為PB、PC的中點，△PEF、△PDC、△PAB的面積分別為S、S1、S2，若S=2，則S1+S2= 8 ． 13．8 14．（xx?荊州）如圖，△ACE是以?ABCD的對角線AC為邊的等邊三角形，點C與點E關于x軸對稱．若E點的坐標是（7，-3），則D點的坐標是 （5，0） ． 14．（5，0） 15．（xx?十堰）如圖，?ABCD中，∠ABC=60，E、F分別在CD和BC的延長線上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，則AB的長是 1 ． 15．1 三、解答題 16．（xx?大連）如圖，?ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，且AE=CF．求證：BE=DF． 16．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AE=CF， ∴DE=BF，DE∥BF， ∴四邊形DEBF是平行四邊形， ∴BE=DF． 17．（xx?郴州）如圖，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求證：四邊形DEBF是平行四邊形． 17．證明：∵BE∥DF， ∴∠BEC=∠DFA， 在△ADF和△CBE中， ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴BE=DF， 又∵BE∥DF， ∴四邊形DEBF是平行四邊形． 18．（xx?廣安）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE∥CF，求證：△ABE≌△CDF． 18．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AE∥CF，AD=BC，AB=CD， ∵AE∥CF， ∴四邊形AECF是平行四邊形， ∴AE=CF，AF=CF， ∴BE=DE， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SSS）． 19．（xx?鞍山）如圖，E，F(xiàn)是四邊形ABCD的對角線AC上兩點，AF=CE，DF=BE，DF∥BE． 求證： （1）△AFD≌△CEB； （2）四邊形ABCD是平行四邊形． 19．證明：（1）∵DF∥BE， ∴∠DFE=∠BEF． 又∵AF=CE，DF=BE， ∴△AFD≌△CEB（SAS）． （2）由（1）知△AFD≌△CEB， ∴∠DAC=∠BCA，AD=BC， ∴AD∥BC． ∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）． 20．（xx?臺州）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，AB上，DE=BF，把平行四邊形沿直線EF折疊，使得點B，C分別落在B′，C′處，線段EC′與線段AF交于點G，連接DG，B′G． 求證：（1）∠1=∠2； （2）DG=B′G． 20．證明：（1）∵在平行四邊形ABCD中，DC∥AB， ∴∠2=∠FEC， 由折疊得：∠1=∠FEC， ∴∠1=∠2； （2）∵∠1=∠2， ∴EG=GF， ∵AB∥DC， ∴∠DEG=∠EGF， 由折疊得：EC′∥B′F， ∴∠B′FG=∠EGF， ∵DE=BF=B′F， ∴DE=B′F， ∴△DEG≌△B′FG， ∴DG=B′G． 21．（xx?重慶）已知，如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE=CD，點F為CE的中點，點G為CD上的一點，連接DF、EG、AG，∠1=∠2． （1）若CF=2，AE=3，求BE的長； （2）求證：∠CEG=∠AGE． 21．（1）解：∵CE=CD，點F為CE的中點，CF=2， ∴DC=CE=2CF=4， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD=4， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB=90， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE==； （2）證明：如圖，過G作GM⊥AE于M， ∵AE⊥BE， ∴GM∥BC∥AD， ∵在△DCF和△ECG中， ， ∴△DCF≌△ECG（AAS）， ∴CG=CF， ∵CE=CD，CE=2CF， ∴CD=2CG 即G為CD中點， ∵AD∥GM∥BC， ∴M為AE中點， ∵GM⊥AE， ∴AM=EM， ∴∠AGE=2∠MGE， ∵GM∥BC， ∴∠EGM=∠CEG， ∴∠CEG=∠AGE． 22．（xx?北京）如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD的中點，延長BC到點E，使CE=BC，連接DE，CF． （1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形； （2）若AB=4，AD=6，∠B=60，求DE的長． 22．（1）證明：在?ABCD中，AD∥BC，且AD=BC． ∵F是AD的中點， ∴DF=AD． 又∵CE=BC， ∴DF=CE，且DF∥CE， ∴四邊形CEDF是平行四邊形； （2）解：如圖，過點D作DH⊥BE于點H． 在?ABCD中，∵∠B=60， ∴∠DCE=60． ∵AB=4， ∴CD=AB=4， ∴CH=2，DH=2． 在?CEDF中，CE=DF=AD=3，則EH=1． ∴在Rt△DHE中，根據勾股定理知DE=． 23．（xx?蘭州）如圖1，在△OAB中，∠OAB=90，∠AOB=30，OB=8．以OB為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點，連接AD并延長交OC于E． （1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形； （2）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點C與點A重合，折痕為FG，求OG的長． 23．（1）證明：∵Rt△OAB中，D為OB的中點， ∴DO=DA， ∴∠DAO=∠DOA=30，∠EOA=90， ∴∠AEO=60， 又∵△OBC為等邊三角形， ∴∠BCO=∠AEO=60， ∴BC∥AE， ∵∠BAO=∠COA=90， ∴CO∥AB， ∴四邊形ABCE是平行四邊形； （2）解：設OG=x，由折疊可得：AG=GC=8-x， 在Rt△ABO中， ∵∠OAB=90，∠AOB=30，BO=8， ∴AO=BO?cos30=8=4， 在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2， x2+（4）2=（8-x）2， 解得：x=1， ∴OG=1．