八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第11章 數(shù)的開方 11.1 平方根與立方根 1 平方根 第1課時(shí) 平方根學(xué)案 （新版）華東師大版.doc

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11．1　平方根與立方根 第1課時(shí)　平方根 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.從實(shí)際問題的需要出發(fā)，引進(jìn)平方根概念，體現(xiàn)從實(shí)際到理論、具體到抽象這樣一個(gè)一般的認(rèn)識(shí)過程，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點(diǎn)； 2.從求二次冪的平方運(yùn)算引出求平方根的運(yùn)算，突出平方運(yùn)算和開平方運(yùn)算的互逆性； 3.使學(xué)生理解數(shù)的平方根的概念，能運(yùn)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的平方根； 4.掌握用平方運(yùn)算求某些數(shù)的平方根的方法． 學(xué)習(xí)過程 一、創(chuàng)設(shè)情境 問題1 要剪出一塊面積為25 cm2的正方形紙片，紙片的邊長(zhǎng)應(yīng)是多少？ 問題2 已知圓的面積是16πcm2，求圓的半徑長(zhǎng)． (學(xué)生探索，回答問題) 二、探究歸納 問題1解 設(shè)正方形紙片的邊長(zhǎng)為xcm，依題意有：x2＝25， 求出滿足x2＝25的x值，就可得正方形紙片的邊長(zhǎng)． 因52＝25，(-5)2＝25，故滿足x2＝25的x的值可以是5，也可以是－5，但正方形邊長(zhǎng)只能取正值．所以x＝5． 答 正方形紙片的邊長(zhǎng)為5cm． 這個(gè)問題實(shí)質(zhì)上就是要找一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)的平方等于25． 問題2解 設(shè)圓的半徑為R cm，依題意有： πR2=16π，即R2=16， 求出滿足R2＝16的R的值即可求出圓的半徑． 因42＝16，(－4)2＝16，故滿足R2＝16的R的值為4或－4，但圓的半徑只能取正值．所以數(shù)R＝4． 答 圓的半徑為4cm． 這個(gè)問題實(shí)質(zhì)上就是要找一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)的平方等于16． 剛才具體的二個(gè)例子，從數(shù)學(xué)意義上都是要解決這樣一個(gè)共同的問題：已知某數(shù)的平方，要求這個(gè)數(shù)．用式子來表示就是如果x2＝a，求x的值． 概括 如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根(square root)（也叫a的二次方根）． 在上述例1問題中，因?yàn)?2＝25，所以5是25的一個(gè)平方根．又因?yàn)?－5)2＝52＝25，所以－5也是25的一個(gè)平方根．這就是說，25的平方根有兩個(gè)：5與－5．　　在上述例2問題中，因?yàn)?2＝16，所以4是16的一個(gè)平方根．又因?yàn)?－4)2＝42＝16，所以－4也是16的一個(gè)平方根．這就是說，16的平方根有兩個(gè)： 4與－4．　　所以，根據(jù)平方根的意義，我們可以利用平方來檢驗(yàn)或?qū)ふ乙粋€(gè)數(shù)的平方根． 三、實(shí)踐應(yīng)用 例1 求100的平方根． 解 因?yàn)?02＝100，(-10)2＝100，除了10和－10以外，任何數(shù)的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－10，也可以說，100的平方根是10. 學(xué)生試一試： (1) 144的平方根是什么？(2) 0的平方根是什么？(3)的平方根是什么？(4)－4有沒有平方根？為什么？請(qǐng)學(xué)生也編三道求平方根的題目，并給出解答．與同學(xué)交流，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 1．平方根的性質(zhì)： 問 正數(shù)的平方根是什么？ 答 如果數(shù)是正數(shù)，它們都有兩個(gè)平方根，這些數(shù)的兩個(gè)平方根都分別是互為相反數(shù)． 問 0的平方根是什么？ 答 0的平方根是0，這是因?yàn)?2＝0．由于任何不為零的數(shù)的平方都不等于零，所以零的平方根只有一個(gè)，它就是零本身． 問 負(fù)數(shù)有平方根嗎？為什么？ 答 負(fù)數(shù)沒有平方根．由于正數(shù)、零和負(fù)數(shù)的平方都不是負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒有平方根． 請(qǐng)同學(xué)概括數(shù)的平方根的性質(zhì)． 答 一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0有一個(gè)平方根，它是0本身；負(fù)數(shù)沒有平方根． 2.一個(gè)非負(fù)數(shù)a的平方根的表示法． 當(dāng)a＞0時(shí)，a的正的平方根用符號(hào)“”表示，其中a叫做被開方數(shù)，2叫做根指數(shù)，a的負(fù)的平方根用符號(hào)“－”表示，這兩個(gè)平方根合起來可以記作“”．這里，符號(hào)“”，讀作“二次根號(hào)”，“”讀作“二次根號(hào)a”．當(dāng)根指數(shù)是2時(shí)，通常將這個(gè)2省略不寫，如記作，讀作“根號(hào)a”；記作，讀作“正負(fù)根號(hào)a”． 一般地，如果＝a(a≥0)，那么a的平方根可以表示為x=．例如，9的平方根記作，讀作正負(fù)根號(hào)9． 3.開平方． 求一個(gè)數(shù)a(a≥0)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方．開平方運(yùn)算是已知指數(shù)和冪求底數(shù)．平方與開平方互為逆運(yùn)算．一個(gè)數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或者是0，它的平方數(shù)只有一個(gè)，正數(shù)或負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù)，0的平方是0．但一個(gè)正數(shù)的平方根卻有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，0的平方根是0．負(fù)數(shù)沒有平方根．因?yàn)槠椒脚c開平方互為逆運(yùn)算，因此我們可以通過平方運(yùn)算來求一個(gè)數(shù)的平方根，也可以通過平方運(yùn)算來檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是另一個(gè)數(shù)的平方根． 例2 將下列各數(shù)開平方：(1)49， (2)1.69． 分析 開方運(yùn)算就是求平方根，我們可以通過平方運(yùn)算來解決． 解 (1)因?yàn)?，所?9的平方根是，即． (2) 因?yàn)椋?.69的平方根是，即． 例3 下列各數(shù)有平方根嗎？如果有，求出它的平方根；如果沒有，請(qǐng)說明理由． (1)－64；(2)0；(3)(－4)2． 分析 因?yàn)橹挥姓龜?shù)和零才有平方根，所以首先應(yīng)觀察所給出的數(shù)是否為正數(shù)或0． 解 (1)因?yàn)椋?4是負(fù)數(shù)，所以－64沒有平方根； (2)0有一個(gè)平方根，它是0； (3)因?yàn)?，所以有兩個(gè)平方根，且． 四、交流反思 1.一般地，如果＝a，那么叫做a的平方根．(也叫a的二次方根)．用表示．當(dāng)a＞0時(shí)a有兩個(gè)平方根，即，表示a的正的平方根，-表示a的負(fù)的平方根，它們互為相反數(shù)；當(dāng)a＝0時(shí)，a有一個(gè)平方根，就是它本身；負(fù)數(shù)沒有平方根． 2.求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方，平方和開平方運(yùn)算有區(qū)別又有聯(lián)系．區(qū)別在于，平方運(yùn)算中，已知的是底數(shù)和指數(shù)，求的是冪；而在開平方運(yùn)算中，已知的是指數(shù)和冪，求的是底數(shù)．在平方運(yùn)算中的底數(shù)可以是任意數(shù)，平方的結(jié)果是唯一的；在開平方運(yùn)算中，被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，開平方的結(jié)果不一定是唯一的． 3.平方和開平方運(yùn)算又有聯(lián)系，二者互為逆運(yùn)算． 4.求一個(gè)數(shù)的平方根，可以通過平方運(yùn)算來解決． 五、檢測(cè)反饋 1.說出下列各數(shù)的平方根 (1)64；　　(2)0.25；　　(3) ． 2.求下列各數(shù)的平方根(1)；　 (2) 0.36；　(3) 324． 3. 平方根等于本身的數(shù)是 . 4. 已知，y是的正的平方根，求代數(shù)式的值. 答案：1. (1)8； (2) 0.5； (3) 2. (1) ；(2) 0.6；(3) 18 3. 0 4.x＝ 2，y＝5，的值是﹣. 六、學(xué)習(xí)小結(jié) 回憶一下：本節(jié)課你有什么收獲？ 1. 平方根、開平方的定義； 2. 平方根的表示； 3. 平方根的性質(zhì)； 4. 求一個(gè)數(shù)的平方根.