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專題十七 直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系
【母題原題1】【2018浙江，17】已知點(diǎn)P(0，1)，橢圓+y2=m(m>1)上兩點(diǎn)A，B滿足=2，則當(dāng)m=___________時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．
【答案】5
【解析】分析:先根據(jù)條件得到A,B坐標(biāo)間的關(guān)系，代入橢圓方程解得B的縱坐標(biāo)，即得B的橫坐標(biāo)關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)確定最值取法.
詳解：設(shè)，由得
因?yàn)锳,B在橢圓上,所以
，
與對(duì)應(yīng)相減得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值.
點(diǎn)睛：解析幾何中的最值是高考的熱點(diǎn)，在圓錐曲線的綜合問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問(wèn)題的一般思路為在深刻認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個(gè)(或者多個(gè))變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來(lái)使問(wèn)題得以解決.
【母題原題2】【2018浙江，21】如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上．
（Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸；
（Ⅱ）若P是半橢圓x2+=1(x<0)上的動(dòng)點(diǎn)，求△PAB面積的取值范圍．
【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）
詳解：（Ⅰ）設(shè)，，．
因?yàn)椋闹悬c(diǎn)在拋物線上，所以，為方程
即的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
所以．
因此，垂直于軸．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
所以，．
因此，的面積．
因?yàn)?，所以?
因此，面積的取值范圍是．
點(diǎn)睛：求范圍問(wèn)題，一般利用條件轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)一元函數(shù)問(wèn)題，即通過(guò)題意將多元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題，再根據(jù)函數(shù)形式，選用方法求值域，如二次型利用對(duì)稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系，分式型可以利用基本不等式，復(fù)雜性或復(fù)合型可以利用導(dǎo)數(shù)先研究單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定值域.
【母題原題3】【2017浙江，20】如圖，已知拋物線x2=y.點(diǎn)A-12，14，B32，94，拋物線上的點(diǎn)P（x,y）-12＜x＜32,過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q
（I）求直線AP斜率的取值范圍；
（II）求PAPQ的最大值
【答案】（I）（-1，1）；（II）2716.
【解析】試題分析：本題主要考查直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力.滿分15分.
（Ⅰ）由斜率公式可得AP的斜率為x-12，再由-12
4，求△MAB面積S的最小值.
【答案】(1)x2=4y.
(2)32.
【解析】分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程可得p，故拋物線的方程可求出.
（Ⅱ）求出過(guò)Mx0,y0的圓的切線MA,MB的方程后可得A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，它們可用x0,y0及其相應(yīng)的斜率表示，因此SΔMAB也與這三者相關(guān).再利用圓心到直線的距離為半徑得到斜率滿足的方程，利用韋達(dá)定理和x02=4y0消元后可用關(guān)于y0的函數(shù)表示SΔMAB，求出該函數(shù)的最小值即可.
詳解：（Ⅰ）設(shè)拋物線C的方程為x2=2py(p>0)，
則p2=1，∴p=2，所以拋物線C的方程是x2=4y.
（Ⅱ）設(shè)切線y-y0=k(x-x0)，即kx-y+y0-kx0=0，
切線與x軸交點(diǎn)為x0-y0k,0，圓心到切線的
距離為d=-2+y0-kx0k2+1=2，化簡(jiǎn)得(x02-4)k2+2x0(2-y0)k+y02-4y0=0
設(shè)兩切線斜率分別為k1,k2，則k1+k2=-2x0(2-y0)x02-4,k1k2=y02-4y0x02-4,y0>4
S=12x0-y0k1-x0-y0k2?y0=12k1-k2k1k2?y02=2y0x02+y02-4y0y0-4=2y02y0-4
=216y0-4+(y0-4)+8≥32，當(dāng)且僅當(dāng)y0=8時(shí)取等號(hào).
所以切線與x軸圍成的三角形面積S的最小值為32.
3．【騰遠(yuǎn)2018年（浙江卷）紅卷】如圖，直線l:y=kx+m與拋物線E:x2=4y相交于A,B兩點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線E的焦點(diǎn)，若拋物線E上存在點(diǎn)C，使點(diǎn)F恰為ΔABC的重心.
（1）求m的取值范圍；
（2）求ΔOAB面積的最大值.
【答案】（1）-1203-4?3-2m8-2m≥0，即可求解；
詳解：（1）設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，
由y=kx+mx2=4y，得x2-4kx-4m=0，
由Δ=16k2+16m>0，得k2+m>0①，
則x1+x2=4k,x1x2=-4m，
所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=4k2+2m，
由點(diǎn)F(0,1)為ΔABC的重心可得x1+x2+x33=0y1+y2+y33=1，
則x3=-4ky3=3-4k2-2m，且y3=3-4k2-2m≥0②，
而(-4k)2=4(3-4k2-2m)，即k2=3-2m8，
代入①②得3-2m8+m>03-4?3-2m8-2m≥0，解得-120?-20)的直線l交橢圓C于另一點(diǎn)B，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OM并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)N，ΔABN的面積為k，求k的值.
【答案】(1)x24+y2=1;(2)32.
【解析】分析：（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得橢圓中的b=1，再根據(jù)三角形的面積求出c，根據(jù)a2=b2+c2=4，即可求出橢圓方程，
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A的直線方程為y=kx+1(k>0)，代入到由y=kx+1x2+4y2=4得(4k2+1)c2+8kx=0，可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出M的坐標(biāo)和N的坐標(biāo)，以及|AB和點(diǎn)N到直線AB的距離，根據(jù)三角形的面積求出k的值．
詳解：
（2）由題意設(shè)直線l的方程為y=kx+1(k>0)，設(shè)點(diǎn)B(x0,y0)
由y=kx+1x2+4y2=4得(4k2+1)c2+8kx=0
解得x0=-8k4k2+1,y0=1-4k24k2+1
∴B(-8k4k2+1,1-4k24k2+1),M(-4k4k2+1,14k2+1)，
∴|AB|=(-8k4k2+1)2+(1-4k24k2+1-1)2=8kk2+14k2+1
直線OM斜率kOM=14k2+1-4k4k2+1=-14k，直線OM的方程為y=-14kx，
由y=-14kxx2+4y2=4得N(-4k4k2+1,14k2+1)
點(diǎn)N到直線l：kx-y+1=0的距離為
d=|-4k4k2+1-14k2+1+1|k2+1=|1-4k2+1|k2+1=4k2+1-1k2+1
SΔABN=12|AB|d=128kk2+14k2+1(4k2+1-1)k2+1=4k(4k2+1-1)k2+1
∵SΔABN=k，∴4k(4k2+1-1)k2+1=k，又k>0，
∴4(4k2+1-1)=4k2+1
令t=4k2+1，則t2-4t+4=0，解得t=2
4k2+1=2，∴k2=34，解得k=32或k=-32（舍）
∴k的值為32.
6．【2017年天津卷】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn)， 到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.
（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；
（II）設(shè)上兩點(diǎn)， 關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.
【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ），或.
【解析】試題分析：由于為拋物線焦點(diǎn)， 到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則，又橢圓的離心率為，求出，得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線方程；則，設(shè)直線方程為設(shè)，解出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立解出點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出 所在直線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)的面積為解方程求出，得出直線的方程.
試題解析：（Ⅰ）解：設(shè)的坐標(biāo)為.依題意， ， ， ，解得， ， ，于是.
所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.
（Ⅱ）解：設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)，故.將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，或.由點(diǎn)異于點(diǎn)，可得點(diǎn).由，可得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因?yàn)榈拿娣e為，故，整理得，解得，所以.
所以，直線的方程為，或.
7．【2018年浙江省模擬】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于不同兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，射線與拋物線交于點(diǎn).
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）求面積的最小值.
【答案】（1）；（2）
詳解：（1）設(shè)直線方程為，代入得
設(shè)，則， ， .
∴.
設(shè)，由消去得中點(diǎn)的軌跡方程為
（2）設(shè).
∵，
∴
由點(diǎn)在拋物線上，得.
又∵
∴，點(diǎn)到直線的距離
又 .
所以， 面積
設(shè)，有，故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，因此，當(dāng)時(shí)取到最小值.
所以， 面積的最小值是.
8．【浙江省金華十校2018年4月高考模擬】已知拋物線y2=x和⊙C：(x+1)2+y2=1，過(guò)拋物線上的一點(diǎn)P(x0,y0)(y0≥1)，作⊙C的兩條切線，與y軸分別相交于A，B兩點(diǎn).
（Ⅰ）若切線PB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求直線PB斜率；
（Ⅱ）求面積ΔABP的最小值.
【答案】（Ⅰ）k=43；（Ⅱ）23.
【解析】試題分析：
（Ⅰ）由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)切線PB的方程為：kx-y-14k=0.利用圓心到直線的距離等于半徑解方程可得k=43，結(jié)合圖形可知直線PB斜率k=43.
（Ⅱ）設(shè)切線方程為y=kx+m，由點(diǎn)P在直線上，則k=y0-mx0，直線與圓相切，則m2-2km-1=0，據(jù)此可得(x0+2)m2-2y0m-x0=0，則m1+m2=2y0x0+2，m1m2=-x0x0+2，而AB=m1-m2=2x02+3x0(x0+2)2，SΔABP=12ABx0=x02(x02+3x0)(x0+2)2(x0≥1).令g(x)=x2(x2+3x)(x+2)2(x≥1)，則g(x)=x2(2x2+11x+18)(x+2)3>0，故g(x)min=g(1)=49，SΔABP的最小值為23.
試題解析：
（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)為F14,0，設(shè)切線PB的斜率為k，
則切線PB的方程為：y=kx-14，即kx-y-14k=0.
∴k?(-1)-1?0-14kk2+1=1，解得：k=43.
∵P(x0,y0)(y0≥1)，∴k=43.
（Ⅱ）設(shè)切線方程為y=kx+m，由點(diǎn)P在直線上得：k=y0-mx0①
圓心C到切線的距離-k+mk2+1=1，整理得：m2-2km-1=0②
將①代入②得：(x0+2)m2-2y0m-x0=0③
設(shè)方程的兩個(gè)根分別為m1，m2，由韋達(dá)定理得：m1+m2=2y0x0+2，m1m2=-x0x0+2，
從而AB=m1-m2=(m1+m2)2-4m1m2 =2x02+3x0(x0+2)2，
SΔABP=12ABx0=x0x02+3x0(x0+2)2 =x02(x02+3x0)(x0+2)2(x0≥1).
記函數(shù)g(x)=x2(x2+3x)(x+2)2(x≥1)，則g(x)=x2(2x2+11x+18)(x+2)3>0，
g(x)min=g(1)=49，SΔABP的最小值為23，當(dāng)x0=1取得等號(hào).
9．【2018屆浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)高三上學(xué)期期末】如圖，已知橢圓E：x24+y23=1???的左、右頂點(diǎn)分別為A,B，M,N是橢圓E上異于A,B的兩點(diǎn)，直線AM,BN交于點(diǎn)P(4,t)，且P位于第一象限．
（Ⅰ）若直線MN與x軸垂直，求實(shí)數(shù)t的值；
（Ⅱ）記ΔPMN,ΔPAB的面積分別是S1(t),S2(t)，求S1(t)S2(t)的最小值．
【答案】（Ⅰ）t=3；（Ⅱ）t=3時(shí)，(S1(t)S2(t))min=34.
【解析】試題分析：（Ⅰ）第一問(wèn)，聯(lián)立直線AM和BN的方程得到它們的交點(diǎn)P的坐標(biāo)P(4x0,2y0x0)，由題得4x0=4，得到x0,y0的值，得到t的值. (Ⅱ)第二問(wèn)，先算出S1(t),S2(t)的表達(dá)式，再得到S1(t)S2(t)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)或二次函數(shù)求它的最小值.
(Ⅱ)直線AM的方程為y=t6(x+2)，代入橢圓的方程并整理得：
(t2+27)x2+4t2x+(4t2-108)=0 解得M(54-2t2t2+27,18tt2+27)
直線NB的方程為y=t2(x-2)，代入橢圓的方程并整理得：
(t2+3)x2-4t2x+4t2-12=0 解得N(2t2-6t2+3,-6tt2+3)
所以S1(t)S2(t)=|PM|?|PN||PA|?|PB|=|yM-yPyA-yP|?|yN-yP||yB-yP|=|18tt2+27-t-t|?|-6tt2+3-t-t|
=t2+9t2+27?t2+9t2+3 =1-108(1t2+9)2+121t2+9+1
當(dāng)1t2+9=118，即t=3時(shí)，(S1(t)S2(t))min=34.
10．【2018屆浙江省嵊州市高三上期末】如圖，已知拋物線，點(diǎn)， ，拋物線上的點(diǎn) ，直線與軸相交于點(diǎn)，記， 的面積分別是， .
（1）若，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；
（2）求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
試題分析：（1）由斜率公式可得， .由，得即，得；（2）設(shè)直線： ，則，聯(lián)立，消去得，則， ，由弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線距離公式可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.
試題解析：（1）因?yàn)椋?
.
由，得
即，得
（2）設(shè)直線： ，則，由，知.
聯(lián)立，消去得，則， .
所以 ，
，
點(diǎn)到直線的距離 .
所以
故當(dāng)時(shí)， 有最小值.
方法2：設(shè)（），則，所以直線： ，則.
又直線： ， .
則點(diǎn)到直線的距離為，
點(diǎn)到直線的距離為
所以 .
故當(dāng)時(shí)， 有最小值.
11．【2018屆浙江省杭州市高三上期末】已知橢圓，直線，設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn).
（Ⅰ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）若直線的斜率成正等比數(shù)列（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的面積的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）或.（Ⅱ）
【解析】試題分析：(1)由直線與橢圓交于兩點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓方程，解得，根據(jù)，求出實(shí)數(shù)的取值范圍(2) 設(shè)， ，由直線的斜率成正等比數(shù)列，得，計(jì)算得，再由點(diǎn)到直線的距離算出，算出面積表達(dá)式 ，計(jì)算出范圍
解析：（Ⅰ）聯(lián)立方程和，得
，
所以，所以，
所以，即，
解得或.
（Ⅱ）設(shè)， ，則， ，
設(shè)直線的斜率，因?yàn)橹本€的斜率成等比數(shù)列，
所以，即，
化簡(jiǎn)，得，即.
因?yàn)椋?
原點(diǎn)到直線的距離，
所以 ，
當(dāng)時(shí)，直線或的斜率不存在，等號(hào)取不到，
所以.
12.【河南省周口市2016-2017學(xué)年高二下學(xué)期期末】已知拋物線C1：x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)為F，拋物線上存在一點(diǎn)G到焦點(diǎn)的距離為3，且點(diǎn)G在圓C：x2+y2=9上．
（1）求拋物線C1的方程；
（2）已知橢圓C2：x2m2+y2n2=1(m>n>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線C1的焦點(diǎn)重合，且離心率為12．直線l：y=kx-4交橢圓C2于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，若原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓的外部，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【答案】（1）y2=8x；（2）(-233,-12)∪(12,233)
【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)G 的坐標(biāo)為（x0，y0），利用已知條件列出x0，y0，p的方程組，求出p即可得到拋物線方程．
試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(x0,y0)．
由題可知，{x0+p2=3x02+y02=9y02=2px0，解得x0=1,y0=22,p=4，
∴拋物線C1的方程為y2=8x；
（2）由（1）得，拋物線C1的焦點(diǎn)F(2,0)，
∵橢圓C2的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線C1的焦點(diǎn)重合，
∴橢圓C2的半焦距c=2，
即m2-n2=c2=4，又橢圓C2的離心率為12，
∴2m=12，即m=4,n=23，
∴橢圓C2的方程為x216+y212=1，
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，
由{y=kx-4x216+y212=1，得(4k2+3)x2-32kx+16=0，
由韋達(dá)定理，得x1+x2=32k4k2+3,x1x2=164k2+3，
由Δ>0，得(-32k)2-416(4k2+3)>0，
解得k>12或k<-12，①
∵原點(diǎn)O在以線段AB的圓的外部，則OAOB>0，
∴OAOB=(x1,y1)(x2,y2)=y1y2+x1x2=(kx1-4)(kx2-4)+x1x2=(k2+1)x1x2-4k(x1+x2)+16
=(k2+1)164k2+3-4k32k4k2+3+16=16(4-3k2)4k2+3>0，
即-233
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直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系
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17
直線
橢圓
拋物線
位置
關(guān)系
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（浙江專版）2018年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題17 直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系.doc
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