2019版高考數(shù)學(xué) 10.6 幾 何 概 型課件.ppt

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第六節(jié)幾何概型 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 1 幾何概型的定義 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的 成比例 則稱這樣的概率模型為幾何概率模型 簡稱幾何概型 2 幾何概型的特點 無限性 試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果 基本事件 有 個 等可能性 試驗結(jié)果在每一個區(qū)域內(nèi) 分布 長度 面積或體積 無限多 均勻 3 幾何概型的概率公式 P A 2 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 隨機模擬法 2 數(shù)學(xué)思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率 2 相同環(huán)境下兩次隨機模擬得到的概率的估計值是相等的 3 幾何概型中 每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點 該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等 4 在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段 平面圖形 立體圖形 解析 1 正確 由隨機模擬方法及幾何概型可知 該說法正確 2 錯誤 雖然環(huán)境相同 但是因為隨機模擬得到的是某一次的頻率 所以結(jié)果不一定相等 3 正確 由幾何概型的定義知 該說法正確 4 正確 由幾何概型的定義知 該說法正確 答案 1 2 3 4 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修3P140練習(xí)T1改編 有四個游戲盤 將它們水平放穩(wěn)后 在上面扔一顆玻璃小球 若小球落在陰影部分 則可中獎 小明要想增加中獎機會 應(yīng)選擇的游戲盤是 解析 選A 如題干選項中圖 各種情況的概率都是其面積比 中獎的概率依次為 2 必修3P140例4改編 已知A x y 1 x 1 0 y 2 B x y y 若在區(qū)域A中隨機地扔一粒豆子 則該豆子落在區(qū)域B中的概率為 解析 選A 集合A x y 1 x 1 0 y 2 表示的區(qū)域是一正方形 其面積為4 集合B x y y 表示的區(qū)域為圖中陰影部分 其面積為4 12 所以向區(qū)域A內(nèi)隨機地扔一粒豆子 則豆子落在區(qū)域B內(nèi)的概率為 3 真題小試感悟考題試一試 1 2013 陜西高考 如圖 在矩形區(qū)域ABCD的A C兩點處各有一個通信基站 假設(shè)其信號覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF 該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源 基站工作正常 若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點 則該地點無信號的概率是 解析 選A 由題設(shè)可知 矩形ABCD的面積為2 曲邊形DEBF的面積為2 故所求概率為 2 2013 四川高考 節(jié)日前夕 小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈 這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立 且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生 然后每串彩燈在4秒內(nèi)為間隔閃亮 那么這兩串彩燈同時通電后 它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是 解析 選C 由于兩串彩燈第一次閃亮相互獨立且在通電后4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生 所以總的基本事件為如圖所示的正方形的面積 而要求的是第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的基本事件為如圖所示的陰影部分的面積 根據(jù)幾何概型的計算公式可知它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是故選C 3 2013 福建高考 利用計算機產(chǎn)生0 1之間的均勻隨機數(shù)a 則事件 3a 1 0 的概率為 解析 設(shè)事件A 3a 1 0 則a 所以P A 答案 考點1與長度 角度有關(guān)的幾何概型 典例1 1 已知圓C x2 y2 12 直線l 4x 3y 25 圓C上任意一點A到直線l的距離小于2的概率為 2 已知A是圓上固定的一點 在圓上其他位置上任取一點A 則AA 的長度小于半徑的概率為 解題提示 1 可轉(zhuǎn)化為兩平行線間的距離求解 2 可將AA 的長度小于半徑轉(zhuǎn)化為與A A 兩點有關(guān)的角度問題 規(guī)范解答 1 設(shè)直線4x 3y c到圓心的距離為3 則 3 取c 15 則直線4x 3y 15把圓所截得的劣弧的長度和整個圓的周長的比值即是所求的概率 由于圓半徑是2 則可得直線4x 3y 15截得的圓弧所對的圓心角為60 故所求的概率是 答案 2 如圖 滿足AA 的長度小于半徑的點A 位于劣弧上 其中 ABO和 ACO為等邊三角形 可知 BOC 故所求事件的概率P 答案 一題多解 解答本題還可以用如下方法 如例題解析中圖 滿足AA 的長度小于半徑的點A 位于劣弧上 其中 ABO和 ACO為等邊三角形 所以其概率P 答案 互動探究 本例 1 條件變?yōu)?已知圓O x2 y2 12 設(shè)M為此圓周上一定點 在圓周上等可能地任取一點N 連接MN 求弦MN的長超過2的概率 解析 如圖 在圖上過圓心O作OM 直徑CD 則 MD MC 2 當(dāng)N點不在半圓弧CMD上時 MN 2 所以P MN 2 規(guī)律方法 1 與長度有關(guān)的幾何概型如果試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示 則其概率的計算公式為 2 與角度有關(guān)的幾何概型當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動 扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時 應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率 且不可用線段的長度代替 這是兩種不同的度量手段 變式訓(xùn)練 1 2015 淄博模擬 設(shè)P在 0 5 上隨機地取值 則關(guān)于x的方程x2 px 1 0有實數(shù)根的概率為 2 如圖 四邊形ABCD為矩形 AB BC 1 以A為圓心 1為半徑作四分之一個圓弧DE 在 DAB內(nèi)任作射線AP 則射線AP與線段BC有公共點的概率為 解析 1 選C 方程有實根 則 p2 4 0 解得p 2或p 2 舍去 所以所求概率為 2 因為在 DAB內(nèi)任作射線AP 則等可能基本事件為 DAB內(nèi)作射線AP 所以它的所有等可能事件所在的區(qū)域H是 DAB 當(dāng)射線AP與線段BC有公共點時 射線AP落在 CAB內(nèi) 區(qū)域h為 CAB 所以射線AP與線段BC有公共點的概率為答案 加固訓(xùn)練 在Rt ABC中 BAC 90 AB 1 BC 2 在BC邊上任取一點M 則 AMB 90 的概率為 解析 如圖 在Rt ABC中 作AD BC D為垂足 由題意可得BD 且點M在BD上時 滿足 AMB 90 故所求概率P 答案 考點2與面積 體積有關(guān)的幾何概型 典例2 1 在Rt ABC中 A為直角 且AB 3 BC 5 若在 ABC內(nèi)任取一點 則該點到三個頂點A B C的距離均不小于1的概率是 2 2015 煙臺模擬 在棱長為2的正方體ABCD A1B1C1D1中 點O為底面ABCD的中心 在正方體ABCD A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P 則點P到點O的距離大于1的概率為 解題提示 1 應(yīng)先考慮到三個頂點距離有一個小于1的點圍成的圖形的面積等于多少 2 點P到點O的距離大于1的點位于以O(shè)為球心 以1為半徑的半球的外部 規(guī)范解答 1 選D 如圖所示 在Rt ABC中 AC 4 故Rt ABC的面積為 AB AC 3 4 6 在Rt ABC內(nèi)任取一點 該點到三個頂點的距離均不小于1 則該點應(yīng)在圖中的陰影部分內(nèi) 陰影部分的面積為6 12 6 由幾何概型的概率計算公式可知 該點到三個頂點的距離均不小于1的概率為 2 選B 點P到點O的距離大于1的點位于以O(shè)為球心 以1為半徑的半球的外部 記點P到點O的距離大于1為事件A 則 規(guī)律方法 解決與面積有關(guān)的幾何概型的方法求解與面積有關(guān)的幾何概型時 關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的幾何元素 必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量 把變量看成點的坐標(biāo) 找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形 以便求解 變式訓(xùn)練 1 2015 蘭州模擬 如圖 矩形ABCD內(nèi)的陰影部分是由曲線f x 2x2 2x與直線y 2x圍成的 現(xiàn)向矩形ABCD內(nèi)隨機投擲一點 則該點落在陰影部分的概率為 解析 因為f x 2x2 2x與y 2x的交點為 0 0 和 2 4 曲線f x 2x2 2x與x軸的交點為 0 0 1 0 其頂點為所以矩形ABCD的面積為 4 2 9 陰影部分面積為所以該點落在陰影部分的概率為答案 2 2015 哈爾濱模擬 在體積為V的三棱錐S ABC的棱AB上任取一點P 則三棱錐S APC的體積大于的概率是 解析 如圖 三棱錐S ABC的高與三棱錐S APC的高相同 作PM AC于M BN AC于N 則PM BN分別為 APC與 ABC的高 所以又所以時 滿足條件 設(shè)則P在BD上 所求的概率P 答案 加固訓(xùn)練 如圖 正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1 在正方體內(nèi)隨機取點M 則使四棱錐M ABCD的體積小于的概率為 解析 過M作平面RS 平面AC 則兩平面間的距離是四棱錐M ABCD的高 顯然M在平面RS上任意位置時 四棱錐M ABCD的體積都相等 若此時四棱錐M ABCD的體積等于 只要M在截面以下即可小于 當(dāng)VM ABCD 時 即 1 1 h 解得h 即點M到底面ABCD的距離 所以所求概率P 答案 考點3幾何概型與其他知識的交匯問題知 考情幾何概型是近幾年高考的熱點之一 常見的命題角度有 與三角形 矩形 圓等平面圖形面積有關(guān)的問題 與隨機模擬有關(guān)的概率問題 與線性規(guī)劃知識交匯命題的問題 與定積分交匯命題的問題 明 角度命題角度1 幾何概型與定積分交匯問題 典例3 2014 遼寧高考 正方形的四個頂點A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 分別在拋物線y x2和y x2上 如圖所示 若將一個質(zhì)點隨機投入正方形ABCD中 則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是 解題提示 可依據(jù)定積分的幾何意義 求出陰影部分的面積 再利用幾何概型概率公式求解 規(guī)范解答 陰影部分面積S陰等于正方形面積S減去其內(nèi)部的非陰影部分的面積S1 由對稱性可知 根據(jù)幾何概型知 質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是P 答案 命題角度2 幾何概型與不等式 組 交匯問題 典例4 2014 湖北高考 由不等式組確定的平面區(qū)域記為 1 不等式組確定的平面區(qū)域記為 2 在 1中隨機取一點 則該點恰好在 2內(nèi)的概率為 解題提示 首先根據(jù)給出的不等式組表示出平面區(qū)域 然后利用面積型的幾何概型概率公式求解 規(guī)范解答 選D 依題意 不等式組表示的平面區(qū)域如圖 由幾何概型概率公式知 該點落在 2內(nèi)的概率為P 悟 技法兩種常見幾何概型的解決方法 1 線型幾何概型 當(dāng)基本事件只受一個連續(xù)的變量控制時 一般是把這個變量看成一條線段或角 這樣基本事件就構(gòu)成了 即可借助于線段 或角度 的度量比來求解 2 面型幾何概型 當(dāng)基本事件受兩個連續(xù)的變量控制時 一般是把這兩個變量分別作為一個點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo) 這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域 進(jìn)而轉(zhuǎn)化為面積的度量來解決 通 一類1 2015 成都模擬 如圖所示 半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域 在圓中隨機扔一粒豆子 它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是 則陰影部分的面積是 A B C 2 D 3 解析 選D 設(shè)陰影部分的面積為S1 圓的面積S 32 9 由幾何概型的概率計算公式得得S1 3 2 2015 玉溪模擬 若任取x y 0 1 則點P x y 滿足y 的概率為 解析 選A 由題意可得 x y 0 1 所對應(yīng)區(qū)域為邊長為1的正方形 面積為1 記 點P x y 滿足y 為事件A 則A包含的區(qū)域由確定的區(qū)域的面積為所以P A 3 2015 威海模擬 若不等式組表示的平面區(qū)域為M x 4 2 y2 1表示的平面區(qū)域為N 現(xiàn)隨機向區(qū)域內(nèi)拋一粒豆子 則該豆子落在平面區(qū)域N內(nèi)的概率是 解析 如圖所示 答案 自我糾錯28求幾何概型的概率 典例 在等腰直角 ABC中 過直角頂點C在 ACB內(nèi)作一條射線CD與線段AB交于點D 求AD AC的概率 解題過程 錯解分析 分析以上解題過程 你知道錯在哪里嗎 提示 解題過程中出現(xiàn)錯誤的原因是不能準(zhǔn)確找出事件的幾何度量 選錯幾何度量導(dǎo)致錯解 規(guī)避策略 1 處理幾何概型問題的關(guān)鍵 幾何概型試驗所包含的基本事件無法一一列舉出來 如何將某一事件所包含的基本事件用 長度 角度 面積 體積 等表示出來是關(guān)鍵 2 正確認(rèn)識測度 當(dāng)基本事件只受一個連續(xù)的變量控制即值域大小有關(guān)時 應(yīng)用長度 當(dāng)基本事件受兩個連續(xù)的變量控制即與形狀的大小有關(guān)時 應(yīng)用面積 自我矯正 射線CD在 ACB內(nèi)是均勻分布的 故 ACB 90 可看成試驗的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域 在線段AB上取一點E 使AE AC 則 ACE 67 5 可看成事件構(gòu)成的區(qū)域 所以滿足條件的概率為