2019春九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第24章 圓 24.4 直線與圓的位置關(guān)系課時(shí)作業(yè) （新版）滬科版.doc
24.4 直線與圓的位置關(guān)系
第1課時(shí) 直線與圓的位置關(guān)系
知識(shí)要點(diǎn)基礎(chǔ)練
知識(shí)點(diǎn) 直線與圓的位置關(guān)系
1.已知☉O的半徑為5 cm,圓心O到直線l的距離為5 cm,則直線l與☉O的位置關(guān)系為 (B)
A.相交 B.相切 C.相離 D.無法確定
2.已知☉O的半徑為3,圓心O到直線l的距離為4,則直線l與☉O的位置關(guān)系是 (C)
A.相交 B.相切 C.相離 D.不能確定
3.如果一條直線與圓有公共點(diǎn),那么該直線與圓的位置關(guān)系是 (D)
A.相交 B.相離 C.相切 D.相交或相切
4.如圖,∠O=30,C為OB上一點(diǎn),且OC=6,以C為圓心,半徑為3的圓與OA的位置關(guān)系是 相切 .
5.Rt△ABC的斜邊AB=6厘米,直角邊AC=3厘米,以C為圓心,2厘米為半徑的圓和AB的位置關(guān)系是 相離 ,以4厘米為半徑的圓和AB的位置關(guān)系是 相交 .
綜合能力提升練
6.☉O的半徑為6,☉O的一條弦AB長為33,以3為半徑的同心圓與AB的位置關(guān)系是 (A)
A.相離 B.相切 C.相交 D.無法確定
7.如圖,已知∠BAC=45,一動(dòng)點(diǎn)O在射線AB上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)O與點(diǎn)A不重合),設(shè)OA=x,如果半徑為1的圓O與射線AC有公共點(diǎn),那么x的取值范圍是 (A)
A.02
8.
如圖,直線l與☉O相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)O到直線l的距離為3,AB=8.
(1)求☉O的直徑;
(2)☉O滿足什么條件時(shí),它與直線l不相交?
解:(1)作OC⊥AB于點(diǎn)C,連接OA.由已知可得OC=3,
AC=12AB=4,
根據(jù)勾股定理得OA=OC2+AC2=5,故☉O的直徑為10.
(2)當(dāng)☉O的半徑r≤3時(shí),它與直線l不相交.
9.(教材改編)如圖,△ABC中,∠C=90,∠B=60,點(diǎn)O在AB上,AO=x,☉O的半徑為1.問當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí),AC與☉O相離、相切、相交?
解:過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D.∵∠C=90,∠B=60,∴∠A=30,∵AO=x,∴OD=12AO=12x.(1)若☉O與AC相離,則有OD大于r,即12x>1,解得x>2;(2)若☉O與AC相切,則有OD等于r,即12x=1,解得x=2;(3)若☉O與AC相交,則有OD小于r,即0<12x<1,解得00)個(gè)單位,若平移后得到的直線l與半徑為6的☉O相交(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)),m的取值范圍是 m<132 .
提示:如圖,設(shè)直線l所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-512x+m(m>0),設(shè)直線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D,∴OA=125m,OB=m.在Rt△OAB中,根據(jù)勾股定理得AB=135m,∵S△ABO=12ODAB=12OAOB,∴12OD135m=12125mm,∵m>0,解得OD=1213m,由直線與圓的位置關(guān)系可知1213m<6,解得m<132.
第2課時(shí) 切線的性質(zhì)與判定
知識(shí)要點(diǎn)基礎(chǔ)練
知識(shí)點(diǎn)1 切線的性質(zhì)
1.如圖,A,B是☉O上的兩點(diǎn),AC是☉O的切線,∠B=70,則∠BAC等于(C)
A.70 B.35
C.20 D.10
2.如圖,在△ABC中,∠A=90,AB=AC=2 cm,☉A與BC相切于點(diǎn)D,則☉A的半徑長為2 cm.
3.如圖,在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中,大圓的弦AB是小圓的切線,P為切點(diǎn).已知AB=8,大圓半徑為5,則小圓半徑為 3 .
知識(shí)點(diǎn)2 切線的判定
4.下列直線是圓的切線的是 (B)
A.與圓有公共點(diǎn)的直線
B.到圓心的距離等于半徑的直線
C.垂直于圓的半徑的直線
D.過圓直徑外端點(diǎn)的直線
5.已知☉O的半徑為5,直線EF經(jīng)過☉O上一點(diǎn)P(點(diǎn)E,F在點(diǎn)P的兩旁),下列條件能判定直線EF與☉O相切的是 (D)
A.OP=5
B.OE=OF
C.O到直線EF的距離是4
D.OP⊥EF
6.如圖,已知△ABC內(nèi)接于☉O,AB為直徑,過點(diǎn)A作直線EF,要使EF是☉O的切線,只需添加的一個(gè)條件是 答案不唯一,如①AB⊥FE;②∠BAC+∠CAE=90;③∠C=∠FAB .(寫出一個(gè)即可)
綜合能力提升練
7.菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,以點(diǎn)O為圓心,以點(diǎn)O到菱形一邊的距離為半徑的☉O與菱形其他三邊的位置關(guān)系是 (C)
A.相交 B.相離
C.相切 D.無法確定
8.(深圳中考)如圖,直尺、60的直角三角板和光盤如圖擺放,60角與直尺交于A點(diǎn),AB=3,則光盤的直徑是 (D)
A.3 B.33 C.6 D.63
9.(重慶中考)如圖,已知AB是☉O的直徑,點(diǎn)P在BA的延長線上,PD與☉O相切于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作PD的垂線交PD的延長線于點(diǎn)C,若☉O的半徑為4,BC=6,則PA的長為 (A)
A.4 B.23 C.3 D.2.5
10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC為正方形,頂點(diǎn)A,C在坐標(biāo)軸上,以邊AB為弦的☉M與x軸相切,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),則圓心M的坐標(biāo)為 (D)
A.(4,5) B.(-5,4)
C.(-4,6) D.(-4,5)
11.如圖所示,∠APB=60,半徑為a的☉O切PB于P點(diǎn),若將☉O在PB上向右滾動(dòng),則當(dāng)滾動(dòng)到☉O與PA也相切時(shí),圓心O移動(dòng)的水平距離是3a .
12.
(黃岡中考改編)如圖,AD是☉O的直徑,AB為☉O的弦,OP⊥AD,OP與AB的延長線交于點(diǎn)P,過B點(diǎn)的切線交OP于點(diǎn)C.
求證:∠CBP=∠ADB.
證明:連接OB.
∵AD是☉O的直徑,∴∠ABD=90,
∴∠A+∠ADB=90,
∵BC為切線,∴OB⊥BC,∴∠OBC=90,
∴∠OBA+∠CBP=90,
∵OA=OB,∴∠A=∠OBA,∴∠CBP=∠ADB.
13.如圖,有兩個(gè)同心圓,大圓的弦AB和CD相等.AB切小圓于點(diǎn)E,那么CD是小圓的切線嗎?為什么?
解:CD是小圓的切線.
理由:連接OE,過點(diǎn)O作OF⊥CD,垂足為F.
∵AB切小圓于點(diǎn)E,∴OE⊥AB,
∵AB=CD,∴OF=OE,∴CD是小圓的切線.
14.
如圖所示,AB是☉O的直徑,C為☉O上一點(diǎn),過點(diǎn)B作BD⊥CD,垂足為D,連接BC,BC平分∠ABD.
求證:CD為☉O的切線.
證明:∵BC平分∠ABD,
∴∠OBC=∠DBC,
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OCB=∠DBC,
∴OC∥BD,
∵BD⊥CD,∴OC⊥CD,∴CD為☉O的切線.
15.如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,∠B=60,CD是☉O的直徑,P是CD延長線上一點(diǎn),且AP=AC.
(1)求證:PA是☉O的切線;
(2)若PD=5,求☉O的直徑.
解:(1)連接OA.
∵∠B=60,∴∠AOC=2∠B=120,
又∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30,
又∵AP=AC,∴∠P=∠ACP=30,
∴∠OAP=∠AOC-∠P=90,∴OA⊥PA,
∴PA是☉O的切線.
(2)在Rt△OAP中,∵∠P=30,∴PO=2OA=OD+PD,又∵OA=OD,∴PD=OA,
∵PD=5,∴2OA=2PD=25,∴☉O的直徑為25.
拓展探究突破練
16.(寧波中考改編)如圖,正方形ABCD的邊長為8,M是AB的中點(diǎn),P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),連接PM,以P為圓心,PM長為半徑作☉P.當(dāng)☉P與正方形ABCD的邊相切時(shí),求BP的長.
解:如圖1,當(dāng)☉P與直線CD相切時(shí),設(shè)PC=PM=x.
在Rt△PBM中,∵PM2=BM2+PB2,
∴x2=42+(8-x)2,解得x=5,
∴PC=5,BP=BC-PC=8-5=3.
如圖2,當(dāng)☉P與直線AD相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為K,連接PK,則PK⊥AD,四邊形PKDC是矩形.
∴PM=PK=CD=2BM,∴BM=4,PM=8,
在Rt△PBM中,PB=PM2-BM2=82-42=43.
綜上所述,BP的長為3或43.
第3課時(shí) 切線長定理
知識(shí)要點(diǎn)基礎(chǔ)練
知識(shí)點(diǎn)1 切線長的概念
1.下列說法正確的有 (C)
①切線就是切線長;②切線是可以度量的;③切線長是可以度量的;④切線與切線長是不同的量,切線是直線,而切線長是線段的長度.
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
2.如圖,P是☉O外一點(diǎn),以O(shè)P為直徑畫圓,使它和☉O交于A,B兩點(diǎn),連接PA,PB.則線段PA,PB是☉O的 切線 .
3.
如圖,☉O的半徑為5,PA切☉O于點(diǎn)A,∠APO=30,則切線長PA為 53 .(結(jié)果保留根號(hào))
知識(shí)點(diǎn)2 切線長定理
4.如圖,若☉O的直徑AB與弦AC的夾角為30,切線CD與AB的延長線交于點(diǎn)D,且☉O的半徑為2,則CD的長為 (A)
A.23 B.43
C.2 D.4
5.如圖,PA切☉O于點(diǎn)A,PB切☉O于點(diǎn)B,OP交☉O于點(diǎn)C,下列結(jié)論中,錯(cuò)誤的是 (D)
A.∠1=∠2 B.PA=PB
C.AB⊥OP D.△PAB是等邊三角形
6.如圖,☉O的半徑為3 cm,點(diǎn)P到圓心O的距離為6 cm,過點(diǎn)P引☉O的兩條切線,這兩條切線的夾角為 60 .
7.(教材改編)如圖,四邊形ABCD是☉O的外切四邊形,且AB=10,CD=12,則四邊形ABCD的周長為 44 .
綜合能力提升練
8.如圖,AB是☉O的直徑,AD是☉O的切線,點(diǎn)C在☉O上,BC∥OD,AB=2,OD=3,則BC的長為 (A)
A.23 B.32
C.32 D.22
9.如圖,PA,PB是☉O的兩條切線,A,B為切點(diǎn),直線OP交☉O于點(diǎn)C,D,交AB于點(diǎn)E,AF為☉O的直徑,下列結(jié)論:①∠ABP=∠AOP;②BC=DF;③PCPD=PEPO.其中正確的結(jié)論有 (A)
A.3個(gè) B.2個(gè)
C.1個(gè) D.0個(gè)
10.如圖所示,☉O與△ABC中AB,AC的延長線及BC邊相切,且∠ACB=90,∠A,∠ABC,∠ACB所對(duì)的邊長依次為6,8,10,則☉O的半徑是 4 .
11.如圖,MA,MB是☉O的兩條切線,A,B為切點(diǎn),若∠AMB=60,AB=1,則☉O的直徑等于233 .
提示:連接OB.∵M(jìn)A,MB是☉O的兩條切線,A,B為切點(diǎn),∴AM=BM,∠AMO=12∠AMB=30,∠OAM=90,∵OA=OB,∴OM是AB的垂直平分線,∵AB=1,∴AC=12,在Rt△OAM中,∠AOM=60,∵∠ACO=90,∴sin 60=ACOA,
∴OA=1232=13=33,∴☉O的直徑為233.
12.
(教材改編)如圖所示,PA,PB是☉O的兩條切線,A,B為切點(diǎn),連接PO,交☉O于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)C,根據(jù)以上條件,請(qǐng)寫出三個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論,并對(duì)其中的一個(gè)結(jié)論給予證明.
解:如圖,結(jié)論:①∠3=∠4或∠7=∠8或∠1=∠5或∠2=∠6或∠1=∠2;②OP⊥AB;
③AC=BC.
證明②:∵PA,PB是☉O的切線,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴∠OAP=∠OBP=90.
在Rt△OAP與Rt△OBP中,OA=OB,OP=OP,
∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL),
∴PA=PB,
∵OA=OB,∴點(diǎn)O,P在AB的垂直平分線上,
∴OP⊥AB.
13.
如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,以BC為直徑的圓交AB于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作☉O的切線EF交AC于點(diǎn)E.求證:AE=DE.
證明:連接CD.∵BC是☉O的直徑,∴∠CDB=90.
∵∠ACB=90,∴CE切☉O于點(diǎn)C.
∵DE切☉O于點(diǎn)D,∴CE=DE,
∴∠EDC=∠ECD,
∴∠EDC+∠ADE=90,∠ECD+∠A=90,
∴∠ADE=∠A,∴AE=DE.
14.
如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上一點(diǎn),CD⊥AB于點(diǎn)D,從C,B兩點(diǎn)分別作半圓O的切線,它們相交于點(diǎn)E,連接AE交CD于點(diǎn)P.求證:PD∶CE=AD∶AB.
證明:顯然∠PDA=90.
∵E,即∠EBA=90,
又∵∠PADB為半圓O的切線,AB是半圓O的直徑,
∴EB⊥AB=∠EAB,∴△APD∽△AEB,
∴PD∶BE=AD∶AB,
∵EC,EB都是半圓O的切線,∴CE=BE,
∴PD∶CE=AD∶AB.
15.(涼山州中考)如圖,已知AB為☉O的直徑,AD,BD是☉O的弦,BC是☉O的切線,切點(diǎn)為B,OC∥AD,BA,CD的延長線相交于點(diǎn)E.
(1)求證:DC是☉O的切線;
(2)若AE=1,ED=3,求☉O的半徑.
解:(1)連接DO.∵AD∥OC,
∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD.
又∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO,
∴∠COD=∠COB.
在△COD和△COB中,
∵OD=OB,∠COD=∠COB,OC=OC,
∴△COD≌△COB(SAS),∴∠CDO=∠CBO.
∵BC是☉O的切線,
∴∠CBO=90,∴∠CDO=90,
又∵點(diǎn)D在☉O上,∴CD是☉O的切線.
(2)設(shè)☉O的半徑為R,則OD=R,OE=OA+AE=R+1,∵CD是☉O的切線,∴∠EDO=90,
∴ED2+OD2=OE2,∴32+R2=(R+1)2,
解得R=4,∴☉O的半徑為4.
拓展探究突破練
16.如圖,PA,PB是☉O的切線,切點(diǎn)分別是A,B,直線EF也是☉O的切線,切點(diǎn)為Q,與PA,PB的交點(diǎn)分別為E,F,已知PA=12 cm,∠P=40.
(1)求△PEF的周長;
(2)求∠EOF的度數(shù);
(3)若∠P=α,請(qǐng)直接寫出∠EOF的度數(shù).
解:(1)∵PA,PB是☉O的切線,∴PA=PB,
又∵直線EF是☉O的切線,∴EB=EQ,
FQ=FA,∴△PEF的周長=PE+PF+EF=PE+PF+EB+FA=PA+PB=2PA=24 cm.
(2)連接OE,OF,則OE平分∠BEF,OF平分∠AFE,
∴∠OEF+∠OFE=12(∠P+∠PFE)+12(∠P+∠PEF)=12(180+40)=110,
∴∠EOF=180-110=70.
(3)∠EOF=90-α2.
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24.4 直線與圓的位置關(guān)系
第1課時(shí) 直線與圓的位置關(guān)系
知識(shí)要點(diǎn)基礎(chǔ)練
知識(shí)點(diǎn) 直線與圓的位置關(guān)系
1.已知☉O的半徑為5 cm,圓心O到直線l的距離為5 cm,則直線l與☉O的位置關(guān)系為 (B)
A.相交 B.相切 C.相離 D.無法確定
2.已知☉O的半徑為3,圓心O到直線l的距離為4,則直線l與☉O的位置關(guān)系是 (C)
A.相交 B.相切 C.相離 D.不能確定
3.如果一條直線與圓有公共點(diǎn),那么該直線與圓的位置關(guān)系是 (D)
A.相交 B.相離 C.相切 D.相交或相切
4.如圖,∠O=30,C為OB上一點(diǎn),且OC=6,以C為圓心,半徑為3的圓與OA的位置關(guān)系是 相切 .
5.Rt△ABC的斜邊AB=6厘米,直角邊AC=3厘米,以C為圓心,2厘米為半徑的圓和AB的位置關(guān)系是 相離 ,以4厘米為半徑的圓和AB的位置關(guān)系是 相交 .
綜合能力提升練
6.☉O的半徑為6,☉O的一條弦AB長為33,以3為半徑的同心圓與AB的位置關(guān)系是 (A)
A.相離 B.相切 C.相交 D.無法確定
7.如圖,已知∠BAC=45,一動(dòng)點(diǎn)O在射線AB上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)O與點(diǎn)A不重合),設(shè)OA=x,如果半徑為1的圓O與射線AC有公共點(diǎn),那么x的取值范圍是 (A)
A.02
8.
如圖,直線l與☉O相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)O到直線l的距離為3,AB=8.
(1)求☉O的直徑;
(2)☉O滿足什么條件時(shí),它與直線l不相交?
解:(1)作OC⊥AB于點(diǎn)C,連接OA.由已知可得OC=3,
AC=12AB=4,
根據(jù)勾股定理得OA=OC2+AC2=5,故☉O的直徑為10.
(2)當(dāng)☉O的半徑r≤3時(shí),它與直線l不相交.
9.(教材改編)如圖,△ABC中,∠C=90,∠B=60,點(diǎn)O在AB上,AO=x,☉O的半徑為1.問當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí),AC與☉O相離、相切、相交?
解:過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D.∵∠C=90,∠B=60,∴∠A=30,∵AO=x,∴OD=12AO=12x.(1)若☉O與AC相離,則有OD大于r,即12x>1,解得x>2;(2)若☉O與AC相切,則有OD等于r,即12x=1,解得x=2;(3)若☉O與AC相交,則有OD小于r,即0<12x<1,解得00)個(gè)單位,若平移后得到的直線l與半徑為6的☉O相交(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)),m的取值范圍是 m<132 .
提示:如圖,設(shè)直線l所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-512x+m(m>0),設(shè)直線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D,∴OA=125m,OB=m.在Rt△OAB中,根據(jù)勾股定理得AB=135m,∵S△ABO=12ODAB=12OAOB,∴12OD135m=12125mm,∵m>0,解得OD=1213m,由直線與圓的位置關(guān)系可知1213m<6,解得m<132.
第2課時(shí) 切線的性質(zhì)與判定
知識(shí)要點(diǎn)基礎(chǔ)練
知識(shí)點(diǎn)1 切線的性質(zhì)
1.如圖,A,B是☉O上的兩點(diǎn),AC是☉O的切線,∠B=70,則∠BAC等于(C)
A.70 B.35
C.20 D.10
2.如圖,在△ABC中,∠A=90,AB=AC=2 cm,☉A與BC相切于點(diǎn)D,則☉A的半徑長為2 cm.
3.如圖,在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中,大圓的弦AB是小圓的切線,P為切點(diǎn).已知AB=8,大圓半徑為5,則小圓半徑為 3 .
知識(shí)點(diǎn)2 切線的判定
4.下列直線是圓的切線的是 (B)
A.與圓有公共點(diǎn)的直線
B.到圓心的距離等于半徑的直線
C.垂直于圓的半徑的直線
D.過圓直徑外端點(diǎn)的直線
5.已知☉O的半徑為5,直線EF經(jīng)過☉O上一點(diǎn)P(點(diǎn)E,F在點(diǎn)P的兩旁),下列條件能判定直線EF與☉O相切的是 (D)
A.OP=5
B.OE=OF
C.O到直線EF的距離是4
D.OP⊥EF
6.如圖,已知△ABC內(nèi)接于☉O,AB為直徑,過點(diǎn)A作直線EF,要使EF是☉O的切線,只需添加的一個(gè)條件是 答案不唯一,如①AB⊥FE;②∠BAC+∠CAE=90;③∠C=∠FAB .(寫出一個(gè)即可)
綜合能力提升練
7.菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,以點(diǎn)O為圓心,以點(diǎn)O到菱形一邊的距離為半徑的☉O與菱形其他三邊的位置關(guān)系是 (C)
A.相交 B.相離
C.相切 D.無法確定
8.(深圳中考)如圖,直尺、60的直角三角板和光盤如圖擺放,60角與直尺交于A點(diǎn),AB=3,則光盤的直徑是 (D)
A.3 B.33 C.6 D.63
9.(重慶中考)如圖,已知AB是☉O的直徑,點(diǎn)P在BA的延長線上,PD與☉O相切于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作PD的垂線交PD的延長線于點(diǎn)C,若☉O的半徑為4,BC=6,則PA的長為 (A)
A.4 B.23 C.3 D.2.5
10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC為正方形,頂點(diǎn)A,C在坐標(biāo)軸上,以邊AB為弦的☉M與x軸相切,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),則圓心M的坐標(biāo)為 (D)
A.(4,5) B.(-5,4)
C.(-4,6) D.(-4,5)
11.如圖所示,∠APB=60,半徑為a的☉O切PB于P點(diǎn),若將☉O在PB上向右滾動(dòng),則當(dāng)滾動(dòng)到☉O與PA也相切時(shí),圓心O移動(dòng)的水平距離是3a .
12.
(黃岡中考改編)如圖,AD是☉O的直徑,AB為☉O的弦,OP⊥AD,OP與AB的延長線交于點(diǎn)P,過B點(diǎn)的切線交OP于點(diǎn)C.
求證:∠CBP=∠ADB.
證明:連接OB.
∵AD是☉O的直徑,∴∠ABD=90,
∴∠A+∠ADB=90,
∵BC為切線,∴OB⊥BC,∴∠OBC=90,
∴∠OBA+∠CBP=90,
∵OA=OB,∴∠A=∠OBA,∴∠CBP=∠ADB.
13.如圖,有兩個(gè)同心圓,大圓的弦AB和CD相等.AB切小圓于點(diǎn)E,那么CD是小圓的切線嗎?為什么?
解:CD是小圓的切線.
理由:連接OE,過點(diǎn)O作OF⊥CD,垂足為F.
∵AB切小圓于點(diǎn)E,∴OE⊥AB,
∵AB=CD,∴OF=OE,∴CD是小圓的切線.
14.
如圖所示,AB是☉O的直徑,C為☉O上一點(diǎn),過點(diǎn)B作BD⊥CD,垂足為D,連接BC,BC平分∠ABD.
求證:CD為☉O的切線.
證明:∵BC平分∠ABD,
∴∠OBC=∠DBC,
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OCB=∠DBC,
∴OC∥BD,
∵BD⊥CD,∴OC⊥CD,∴CD為☉O的切線.
15.如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,∠B=60,CD是☉O的直徑,P是CD延長線上一點(diǎn),且AP=AC.
(1)求證:PA是☉O的切線;
(2)若PD=5,求☉O的直徑.
解:(1)連接OA.
∵∠B=60,∴∠AOC=2∠B=120,
又∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30,
又∵AP=AC,∴∠P=∠ACP=30,
∴∠OAP=∠AOC-∠P=90,∴OA⊥PA,
∴PA是☉O的切線.
(2)在Rt△OAP中,∵∠P=30,∴PO=2OA=OD+PD,又∵OA=OD,∴PD=OA,
∵PD=5,∴2OA=2PD=25,∴☉O的直徑為25.
拓展探究突破練
16.(寧波中考改編)如圖,正方形ABCD的邊長為8,M是AB的中點(diǎn),P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),連接PM,以P為圓心,PM長為半徑作☉P.當(dāng)☉P與正方形ABCD的邊相切時(shí),求BP的長.
解:如圖1,當(dāng)☉P與直線CD相切時(shí),設(shè)PC=PM=x.
在Rt△PBM中,∵PM2=BM2+PB2,
∴x2=42+(8-x)2,解得x=5,
∴PC=5,BP=BC-PC=8-5=3.
如圖2,當(dāng)☉P與直線AD相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為K,連接PK,則PK⊥AD,四邊形PKDC是矩形.
∴PM=PK=CD=2BM,∴BM=4,PM=8,
在Rt△PBM中,PB=PM2-BM2=82-42=43.
綜上所述,BP的長為3或43.
第3課時(shí) 切線長定理
知識(shí)要點(diǎn)基礎(chǔ)練
知識(shí)點(diǎn)1 切線長的概念
1.下列說法正確的有 (C)
①切線就是切線長;②切線是可以度量的;③切線長是可以度量的;④切線與切線長是不同的量,切線是直線,而切線長是線段的長度.
A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
2.如圖,P是☉O外一點(diǎn),以O(shè)P為直徑畫圓,使它和☉O交于A,B兩點(diǎn),連接PA,PB.則線段PA,PB是☉O的 切線 .
3.
如圖,☉O的半徑為5,PA切☉O于點(diǎn)A,∠APO=30,則切線長PA為 53 .(結(jié)果保留根號(hào))
知識(shí)點(diǎn)2 切線長定理
4.如圖,若☉O的直徑AB與弦AC的夾角為30,切線CD與AB的延長線交于點(diǎn)D,且☉O的半徑為2,則CD的長為 (A)
A.23 B.43
C.2 D.4
5.如圖,PA切☉O于點(diǎn)A,PB切☉O于點(diǎn)B,OP交☉O于點(diǎn)C,下列結(jié)論中,錯(cuò)誤的是 (D)
A.∠1=∠2 B.PA=PB
C.AB⊥OP D.△PAB是等邊三角形
6.如圖,☉O的半徑為3 cm,點(diǎn)P到圓心O的距離為6 cm,過點(diǎn)P引☉O的兩條切線,這兩條切線的夾角為 60 .
7.(教材改編)如圖,四邊形ABCD是☉O的外切四邊形,且AB=10,CD=12,則四邊形ABCD的周長為 44 .
綜合能力提升練
8.如圖,AB是☉O的直徑,AD是☉O的切線,點(diǎn)C在☉O上,BC∥OD,AB=2,OD=3,則BC的長為 (A)
A.23 B.32
C.32 D.22
9.如圖,PA,PB是☉O的兩條切線,A,B為切點(diǎn),直線OP交☉O于點(diǎn)C,D,交AB于點(diǎn)E,AF為☉O的直徑,下列結(jié)論:①∠ABP=∠AOP;②BC=DF;③PCPD=PEPO.其中正確的結(jié)論有 (A)
A.3個(gè) B.2個(gè)
C.1個(gè) D.0個(gè)
10.如圖所示,☉O與△ABC中AB,AC的延長線及BC邊相切,且∠ACB=90,∠A,∠ABC,∠ACB所對(duì)的邊長依次為6,8,10,則☉O的半徑是 4 .
11.如圖,MA,MB是☉O的兩條切線,A,B為切點(diǎn),若∠AMB=60,AB=1,則☉O的直徑等于233 .
提示:連接OB.∵M(jìn)A,MB是☉O的兩條切線,A,B為切點(diǎn),∴AM=BM,∠AMO=12∠AMB=30,∠OAM=90,∵OA=OB,∴OM是AB的垂直平分線,∵AB=1,∴AC=12,在Rt△OAM中,∠AOM=60,∵∠ACO=90,∴sin 60=ACOA,
∴OA=1232=13=33,∴☉O的直徑為233.
12.
(教材改編)如圖所示,PA,PB是☉O的兩條切線,A,B為切點(diǎn),連接PO,交☉O于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)C,根據(jù)以上條件,請(qǐng)寫出三個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論,并對(duì)其中的一個(gè)結(jié)論給予證明.
解:如圖,結(jié)論:①∠3=∠4或∠7=∠8或∠1=∠5或∠2=∠6或∠1=∠2;②OP⊥AB;
③AC=BC.
證明②:∵PA,PB是☉O的切線,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴∠OAP=∠OBP=90.
在Rt△OAP與Rt△OBP中,OA=OB,OP=OP,
∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL),
∴PA=PB,
∵OA=OB,∴點(diǎn)O,P在AB的垂直平分線上,
∴OP⊥AB.
13.
如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,以BC為直徑的圓交AB于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作☉O的切線EF交AC于點(diǎn)E.求證:AE=DE.
證明:連接CD.∵BC是☉O的直徑,∴∠CDB=90.
∵∠ACB=90,∴CE切☉O于點(diǎn)C.
∵DE切☉O于點(diǎn)D,∴CE=DE,
∴∠EDC=∠ECD,
∴∠EDC+∠ADE=90,∠ECD+∠A=90,
∴∠ADE=∠A,∴AE=DE.
14.
如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上一點(diǎn),CD⊥AB于點(diǎn)D,從C,B兩點(diǎn)分別作半圓O的切線,它們相交于點(diǎn)E,連接AE交CD于點(diǎn)P.求證:PD∶CE=AD∶AB.
證明:顯然∠PDA=90.
∵E,即∠EBA=90,
又∵∠PADB為半圓O的切線,AB是半圓O的直徑,
∴EB⊥AB=∠EAB,∴△APD∽△AEB,
∴PD∶BE=AD∶AB,
∵EC,EB都是半圓O的切線,∴CE=BE,
∴PD∶CE=AD∶AB.
15.(涼山州中考)如圖,已知AB為☉O的直徑,AD,BD是☉O的弦,BC是☉O的切線,切點(diǎn)為B,OC∥AD,BA,CD的延長線相交于點(diǎn)E.
(1)求證:DC是☉O的切線;
(2)若AE=1,ED=3,求☉O的半徑.
解:(1)連接DO.∵AD∥OC,
∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD.
又∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO,
∴∠COD=∠COB.
在△COD和△COB中,
∵OD=OB,∠COD=∠COB,OC=OC,
∴△COD≌△COB(SAS),∴∠CDO=∠CBO.
∵BC是☉O的切線,
∴∠CBO=90,∴∠CDO=90,
又∵點(diǎn)D在☉O上,∴CD是☉O的切線.
(2)設(shè)☉O的半徑為R,則OD=R,OE=OA+AE=R+1,∵CD是☉O的切線,∴∠EDO=90,
∴ED2+OD2=OE2,∴32+R2=(R+1)2,
解得R=4,∴☉O的半徑為4.
拓展探究突破練
16.如圖,PA,PB是☉O的切線,切點(diǎn)分別是A,B,直線EF也是☉O的切線,切點(diǎn)為Q,與PA,PB的交點(diǎn)分別為E,F,已知PA=12 cm,∠P=40.
(1)求△PEF的周長;
(2)求∠EOF的度數(shù);
(3)若∠P=α,請(qǐng)直接寫出∠EOF的度數(shù).
解:(1)∵PA,PB是☉O的切線,∴PA=PB,
又∵直線EF是☉O的切線,∴EB=EQ,
FQ=FA,∴△PEF的周長=PE+PF+EF=PE+PF+EB+FA=PA+PB=2PA=24 cm.
(2)連接OE,OF,則OE平分∠BEF,OF平分∠AFE,
∴∠OEF+∠OFE=12(∠P+∠PFE)+12(∠P+∠PEF)=12(180+40)=110,
∴∠EOF=180-110=70.
(3)∠EOF=90-α2.
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