福建省2019年中考數(shù)學總復習 第四單元 三角形 課時訓練20 等腰三角形練習.doc

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課時訓練20 等腰三角形 限時：30分鐘 夯實基礎(chǔ) 1．如圖K20－1，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，已知AB＝5，AD＝3，則BC的長為(　　) 圖K20－1 A．5 B．6 C．8 D．10 2．已知實數(shù)x，y滿足|x－3|＋y－6＝0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是(　　) A．12或15 B．12 C．15 D．以上答案均不對 3．[xx荊州]如圖K20－2，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30，AB的垂直平分線l交AC于點D，則∠CBD的度數(shù)為(　　) 圖K20－2 A．30 B．45 C．50 D．75 4．[xx棗莊]如圖K20－3，在Rt△ABC中，∠C＝90，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC，AB于M，N，再分別以M，N為圓心，大于12MN長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交BC于點D，若CD＝4，AB＝15，則△ABD的面積為(　　) 圖K20－3 A．15 B．30 C．45 D．60 5．[xx桂林]如圖K20－4，在△ABC中，∠A＝36，AB＝AC，BD平分∠ABC，則圖中等腰三角形的個數(shù)是　　　?。? 圖K20－4 6．[xx長春]如圖K20－5，在△ABC中，AB＝AC．以點C為圓心，以CB長為半徑作圓弧，交AC的延長線于點D，連接BD．若∠A＝32，則∠CDB的大小為　　　　度． 圖K20－5 7．[xx鎮(zhèn)江]如圖K20－6，△ABC中，AB＝AC，點E，F(xiàn)在邊BC上，BE＝CF，點D在AF的延長線上，AD＝AC． (1)求證：△ABE≌△ACF； (2)若∠BAE＝30，則∠ADC＝　　　?。? 圖K20－6 8．[xx紹興]數(shù)學課上，張老師舉了下面的例題： 例1　等腰三角形ABC中，∠A＝110，求∠B的度數(shù)．(答案：35) 例2　等腰三角形ABC中，∠A＝40，求∠B的度數(shù)．(答案：40或70或100) 張老師啟發(fā)同學們進行變式，小敏編了如下一題： 變式　等腰三角形ABC中，∠A＝80，求∠B的度數(shù)． (1)請你解答以上的變式題． (2)解(1)后，小敏發(fā)現(xiàn)，∠A的度數(shù)不同，得到∠B的度數(shù)的個數(shù)也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，設(shè)∠A＝x，當∠B有三個不同的度數(shù)時，請你探索x的取值范圍． 能力提升 9．[xx寧德質(zhì)檢]如圖K20－7，已知等腰三角形ABC，AB＝BC，D是AC上一點，線段BE與BA關(guān)于直線BD對稱，射線CE交射線BD于點F，連接AE，AF，則下列關(guān)系式正確的是(　　) 圖K20－7 A．∠AFE＋∠ABE＝180 B．∠AEF＝12∠ABC C．∠AEC＋∠ABC＝180 D．∠AEB＝∠ACB 10．[xx吉林]我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”，記作k，若k＝12，則該等腰三角形的頂角為　　　　度． 11．[xx青海]如圖K20－8，將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90，得到△DEC，連接AD，若∠BAC＝25，則∠BAD＝　　　?。? 圖K20－8 12．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為48，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為　　　?。? 13．如圖K20－9，點D在等邊三角形ABC的邊AB上，點F在邊AC上，連接DF并延長交BC的延長線于點E，F(xiàn)E＝FD． 求證：AD＝CE． 圖K20－9 拓展練習 14．[xx廈門質(zhì)檢]在△ABC中，AB＝AC．將△ABC沿∠B的平分線折疊，使點A落在BC邊上的點D處，設(shè)折痕交AC邊于點E，繼續(xù)沿直線DE折疊，若折疊后，BE與線段DC相交，且交點不與點C重合，則∠BAC的度數(shù)應滿足的條件是　　　?。? 15．[xx青海]請認真閱讀下面的數(shù)學小探究系列，完成所提出的問題． (1)探究1：如圖K20－10，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90，BC＝a，將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段BD，連接CD．求證：△BCD的面積為12a2． (提示：過點D作BC邊上的高DE，可證△ABC≌△BDE) 圖K20－10 (2)探究2：如圖K20－11，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90，BC＝a，將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段BD，連接CD．請用含a的式子表示△BCD的面積，并說明理由． 圖K20－11 (3)探究3：如圖K20－12，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段BD，連接CD．試探究用含a的式子表示△BCD的面積，要有探究過程． 圖K20－12  參考答案 1．C　 2．C 3．B　[解析] 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠ABC，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，推得∠ABD＝∠A＝30，從而得出∠CBD＝45． 4．B　[解析] 由題意得AP是∠BAC的平分線，過點D作DE⊥AB于E，又∵∠C＝90，∴DE＝CD，∴△ABD的面積＝12ABDE＝12154＝30．故選B． 5．3　[解析] ∵∠A＝36，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝12∠ABC＝36，∴∠BDC＝∠C＝72，∴△BCD是等腰三角形， 又∵∠A＝∠ABD＝36，∴△ABD是等腰三角形，故有3個等腰三角形． 6．37　[解析] ∵AB＝AC，∠A＝32，∴∠ACB＝(180－32)2＝74， 由尺規(guī)作圖知，CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB， 又∵∠CBD＋∠CDB＝∠ACB，∴∠CDB＝12∠ACB＝37． 7．解：(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF． 在△ABE和△ACF中，AB＝AC，∠B＝∠ACF，BE＝CF， ∴△ABE≌△ACF． (2)75 8．解：(1)當∠A為頂角時，∠B＝50， 當∠A為底角時，若∠B為頂角，則∠B＝20， 若∠B為底角，則∠B＝80，∴∠B＝50或20或80． (2)分兩種情況： ①當90≤x＜180時，∠A只能為頂角，∴∠B的度數(shù)只有一個． ②當0＜x＜90時， 若∠A為頂角，則∠B＝180－x2， 若∠A為底角，則∠B＝x或∠B＝(180－2x)， 當180－x2≠180－2x且180－x2≠x且180－2x≠x，即x≠60時，∠B有三個不同的度數(shù)． 綜上①②，當0＜x＜90且x≠60時，∠B有三個不同的度數(shù)． 9．B 10．36　[解析] 如圖，在△ABC中，AB＝AC，設(shè)∠A＝α，則∠B＝∠C＝12(180－α)，由k＝12，可得12(180－α)＝2α，解出α＝36． 11．70　[解析] ∵Rt△ABC繞其直角頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90后得到Rt△DEC， ∴AC＝CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45， ∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝25＋45＝70． 12．69或21 13．證明：如圖，過點D作DM∥BE，交AC于點M． 則有∠MDF＝∠E． 在△MDF與△CEF中， ∵∠MFD＝∠CFE，F(xiàn)D＝FE，∠MDF＝∠E，∴△MDF≌△CEF，∴DM＝CE． ∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60， ∵DM∥BC，∴∠ADM＝∠B＝60，∠AMD＝∠ACB＝60， ∴△ADM為等邊三角形，∴DM＝AD，∴AD＝CE． 14．100＜∠BAC＜180 15．解：(1)證明：如圖，過點D作DE⊥CB交CB的延長線于點E． ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90，∴∠ABC＝∠A＝45， 又∵∠ABD＝90，∴∠DBE＝45，∴∠EDB＝45， ∴∠A＝∠DBE，∠ABC＝∠BDE，由旋轉(zhuǎn)得AB＝DB， ∴△ABC≌△BDE(ASA)，∴DE＝BC＝a， ∴S△BCD＝12BCDE＝12a2． (2)S△BCD＝12a2，理由：如圖，過點D作BC的垂線，與CB的延長線交于點E． ∴∠BED＝∠ACB＝90． ∵線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段BE， ∴AB＝BD，∠ABD＝90． ∴∠ABC＋∠DBE＝90． ∵∠A＋∠ABC＝90， ∴∠A＝∠DBE． 在△ABC和△BDE中，∠ACB＝∠BED，∠A＝∠DBE，AB＝BD， ∴△ABC≌△BDE(AAS)．∴BC＝DE＝a． ∵S△BCD＝12BCDE，∴S△BCD＝12a2． (3)如圖，過點A作AF⊥BC于F，過點D作DE⊥BC交CB的延長線于點E， ∴∠AFB＝∠E＝90，BF＝12BC＝12a．∴∠FAB＋∠ABF＝90． ∵∠ABD＝90，∴∠ABF＋∠DBE＝90，∴∠FAB＝∠EBD． ∵線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到的，∴AB＝BD． 在△AFB和△BED中，∠AFB＝∠E，∠FAB＝∠EBD，AB＝BD， ∴△AFB≌△BED(AAS)，∴BF＝DE＝12a． ∵S△BCD＝12BCDE，∴S△BCD＝12a12a＝14a2．∴△BCD的面積為14a2．