高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 6-7 數(shù)學(xué)歸納法課件 理 新人教A版.ppt

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第七節(jié)數(shù)學(xué)歸納法 最新考綱展示了解數(shù)學(xué)歸納法的原理 能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題 數(shù)學(xué)歸納法一般地 證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題 可按下列步驟進行 1 歸納奠基 證明當(dāng)n取 時命題成立 2 歸納遞推 假設(shè)n k k n0 k N 時命題成立 證明當(dāng) 時命題也成立 只要完成這兩個步驟 就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立 第一個值n0 n0 N n k 1 1 數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示 2 數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法 主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題 證明時步驟 1 和 2 缺一不可 步驟 1 是步驟 2 的基礎(chǔ) 步驟 2 是遞推的依據(jù) 3 在用數(shù)學(xué)歸納法證明時 第 1 步驗算n n0的n0不一定為1 而是根據(jù)題目要求選擇合適的起始值 解析 三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形 故第一步應(yīng)檢驗n 3 答案 C 解析 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟可知 則n k k 2為偶數(shù) 下一個偶數(shù)為k 2 故選B 答案 B 解析 項數(shù)為n2 n 1 n2 n 1 答案 D 例1已知等差數(shù)列 an 的公差為3 其前n項和為Sn 等比數(shù)列 bn 的公比為2 且a1 b1 2 1 求數(shù)列 an 與 bn 的通項公式 2 記Tn anb1 an 1b2 a1bn n N 證明Tn 12 2an 10bn n N 解析 1 由a1 2 公差d 3 an a1 n 1 d 3n 1 在等比數(shù)列 bn 中 公比q 2 首項b1 2 bn 2 2n 1 2n 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 師生共研 2 證明 當(dāng)n 1時 T1 12 a1b1 12 16 2a1 10b1 16 故等式成立 假設(shè)當(dāng)n k時等式成立 即Tk 12 2ak 10bk 當(dāng)n k 1時 Tk 1 ak 1b1 akb2 ak 1b3 a1bk 1 ak 1b1 q akb1 ak 1b2 a1bk ak 1b1 qTk ak 1b1 q 2ak 10bk 12 2ak 1 4 ak 1 3 10bk 1 24 2ak 1 10bk 1 12 即Tk 1 12 2ak 1 10bk 1 因此n k 1時等式也成立 由 可知 對任意n N Tn 12 2an 10bn成立 規(guī)律方法 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題 要 先看項 弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律 等式兩邊各有多少項 初始值n0是多少 2 由n k時等式成立 推出n k 1時等式成立 一要找出等式兩邊的變化 差異 明確變形目標 二要充分利用歸納假設(shè) 進行合理變形 正確寫出證明過程 1 求證 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n N 證明 1 當(dāng)n 1時 等式左邊 2 右邊 21 1 2 等式成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k N 時 等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 5 2k 1 當(dāng)n k 1時 左邊 k 2 k 3 2k 2k 1 2k 2 2 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2 2k 1 3 5 2k 1 2k 1 2k 1 1 3 5 2k 1 2k 1 這就是說當(dāng)n k 1時 等式成立 根據(jù) 1 2 知 對n N 原等式成立 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 師生共研 規(guī)律方法用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n k時命題成立證n k 1時命題也成立 在歸納假設(shè)使用后可運用比較法 綜合法 分析法 放縮法等來加以證明 充分應(yīng)用基本不等式 不等式的性質(zhì)等放縮技巧 使問題得以簡化 2 若函數(shù)f x x2 2x 3 定義數(shù)列 xn 如下 x1 2 xn 1是過點P 4 5 Qn xn f xn 的直線PQn與x軸的交點的橫坐標 試運用數(shù)學(xué)歸納法證明 2 xn xn 1 3 歸納 猜想 證明 師生共研 規(guī)律方法 歸納 猜想 證明 的模式 是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式 這種方法在解決探索性問題 存在性問題時起著重要作用 它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論 然后經(jīng)邏輯推理證明結(jié)論的正確性 解析 f x x2 1 an 1 f an 1 an 1 an 1 2 1 函數(shù)g x x 1 2 1 x2 2x在區(qū)間 1 上單調(diào)遞增 于是由a1 1 得a2 a1 1 2 1 22 1 進而得a3 a2 1 2 1 24 1 23 1 由此猜想 an 2n 1 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想