高考數(shù)學一輪復習 必考部分 第五篇 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用課件 文 北師大版.ppt

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第4節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 知識鏈條完善把散落的知識連起來 教材導讀 數(shù)列求和有哪些方法 提示 公式法 倒序相加法 裂項相消法 分組求和法 錯位相減法 知識梳理 1 數(shù)列求和的基本方法 1 公式法直接用等差 等比數(shù)列的求和公式求解 2 倒序相加法如果一個數(shù)列 an 滿足與首末兩項等 距離 的兩項的和相等 或等于同一常數(shù) 那么求這個數(shù)列的前n項和 可用倒序相加法 3 裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差 在求和時中間的一些項可以相互抵消 從而求得其和 4 分組求和法一個數(shù)列的通項公式是由幾個等差或等比或可求和的數(shù)列的通項公式組成 求和時可用分組求和法 分別求和而后相加 熟記公式 最基本的要求 5 并項求和法一個數(shù)列的前n項和中 若項與項之間能兩兩結(jié)合求解 則稱之為并項求和 形如an 1 nf n 類型 可采用并項法求解 6 錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的 那么這個數(shù)列的前n項和可用此法來求 如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導的 2 數(shù)列應(yīng)用題的常見模型 1 等差模型 當增加 或減少 的量是一個固定量時 該模型是等差模型 增加 或減少 的量就是公差 2 等比模型 當后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時 該模型是等比模型 這個固定的數(shù)就是公比 3 遞推模型 找到數(shù)列中任一項與它前面項之間的遞推關(guān)系式 可由遞推關(guān)系入手解決實際問題 該模型是遞推模型 等差模型 等比模型是該模型的兩個特例 夯基自測 1 2015高考浙江卷 已知 an 是等差數(shù)列 公差d不為零 前n項和是Sn 若a3 a4 a8成等比數(shù)列 則 A a1d 0 dS4 0 B a1d0 dS40 B A C 解析 由已知可得a1 4 a2 f a1 f 4 2 a3 f a2 f 2 4 所以數(shù)列 an 為周期數(shù)列 an 2 an 所以a2015 a2 1007 1 a1 4 故選C 5 3 2 1 4 2 2 5 2 3 n 2 2 n 考點專項突破在講練中理解知識 考點一數(shù)列求和 高頻考點 考查角度1 分組法求和 例1 2016哈師大附中月考 已知數(shù)列 an bn 滿足a1 5 an 2an 1 3n 1 n 2 n N bn an 3n n N 1 求數(shù)列 bn 的通項公式 先確定 bn 是什么數(shù)列 再求通項 2 求數(shù)列 an 的前n項和Sn 先求an 再確定求和方法 反思歸納 分組法求和的常見類型 1 若an bn cn 且 bn cn 為等差或等比數(shù)列 可采用分組法求 an 的前n項和 考查角度2 裂項相消法 高考掃描 2013高考新課標全國卷 例2 2015寧夏石嘴山高三聯(lián)考 已知各項都不相等的等差數(shù)列 an 的前7項和為70 且a3為a1和a7的等比中項 1 求數(shù)列 an 的通項公式 列方程組求基本量 先求bn 后確定方法 反思歸納 2 利用裂項相消法求和時 應(yīng)注意抵消后不一定只剩下第一項和最后一項 也有可能前面剩兩項 后面也剩兩項 再就是將通項公式裂項后 有時候需要調(diào)整前面的系數(shù) 使前后相等 考查角度3 錯位相減法求和 高考掃描 2014高考新課標全國卷 例3 2015東北三校第二次聯(lián)考 已知數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且a1 2 an 1 Sn 2 n N 1 求數(shù)列 an 的通項公式 構(gòu)造法不要漏掉n 1的情況 2 設(shè)bn n an 求數(shù)列 bn 的前n項和Tn 體現(xiàn)錯位 冪指數(shù)相同的作差 中間n項 反思歸納 錯位相減法求和策略 1 如果數(shù)列 an 是等差數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 求數(shù)列 an bn 的前n項和時 可采用錯位相減法 一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列 bn 的公比 然后作差求解 2 在寫 Sn 與 qSn 的表達式時應(yīng)特別注意將兩式 錯項對齊 以便下一步準確寫出 Sn qSn 的表達式 3 在應(yīng)用錯位相減法求和時 若等比數(shù)列的公比為參數(shù) 應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解 數(shù)列與函數(shù) 不等式的綜合 列方程組求基本量 構(gòu)造法求bn 2 若 bn an對n N 均成立 求實數(shù) 的取值范圍 分離參數(shù)轉(zhuǎn)化成求最值問題 反思歸納 1 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類 已知函數(shù)條件 解決數(shù)列問題 一般利用函數(shù)的性質(zhì) 圖像 已知數(shù)列條件 解決函數(shù)問題 一般要充分利用數(shù)列的范圍 公式 求和方法對式子化簡變形 2 數(shù)列與不等式的恒成立問題 此類問題常構(gòu)造函數(shù) 通過函數(shù)的單調(diào)性 最值等解決問題 3 與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題 解決此類問題要靈活選擇不等式的證明方法 如比較法 綜合法 分析法 放縮法等 1 證明 由題意得Sn 2an 2 所以Sn 1 2an 1 2 n 2 n N 兩式相減得an 2an 2an 1 即an 2an 1 n 2 n N 又a1 S1 2a1 2 所以a1 2 所以數(shù)列 an 是以2為首項 2為公比的等比數(shù)列 2 設(shè)數(shù)列 bn 滿足bn an 1 an 求數(shù)列 bn 的前n項和Tn 2 解 法一由 1 得an 2 2n 1 2n 所以Tn a2 a1 a3 a2 a4 a3 an 1 an an 1 a1 2n 1 2 法二由 1 得an 2 2n 1 2n 則bn an 1 an 2n 1 2n 2n an 故Tn Sn 2an 2 2n 1 2 備選例題 例2 2015河南省六市第二次聯(lián)考 已知數(shù)列 an 的首項為a1 1 a2 3 且滿足對任意的n N 都有an 1 an 2n an 2 an 3 2n成立 則a2015 解析 因為an an 2 3 2n an 1 an 2n 式與 式相加得an 1 an 2 2n 1 所以an 2 an 1 2n 1 又an 2 an 1 2n 1 由 和 可得an 2 an 1 2n 1 所以an 1 an 2n 利用累加法可求得an 1 a1 2n 2n 1 21 2n 1 2 所以an 1 2n 1 1 所以an 2n 1 所以a2015 22015 1 答案 22015 1 例3 2015河南六市第一次聯(lián)考 已知 an 是一個公差大于0的等差數(shù)列 且滿足a3a5 45 a2 a6 14 1 求數(shù)列 an 的通項公式 解 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 由題意知d 0 由a2 a6 14 可得a4 7 由a3a5 45 得 7 d 7 d 45 可得d 2 所以a1 7 3d 1 可得an 2n 1 例4 2015石家莊一模 設(shè)數(shù)列 an 的前n項和為Sn a1 1 an 1 Sn 1 n N 1 且a1 2a2 a3 3為等差數(shù)列 bn 的前三項 1 求數(shù)列 an bn 的通項公式 解 1 因為an 1 Sn 1 n N 所以an Sn 1 1 n 2 所以an 1 an an 即an 1 1 an n 2 1 0 又a1 1 a2 S1 1 1 所以數(shù)列 an 為以1為首項 公比為 1的等比數(shù)列 所以a3 1 2 所以4 1 1 1 2 3 整理得 2 2 1 0 得 1 所以an 2n 1 bn 1 3 n 1 3n 2 2 求數(shù)列 anbn 的前n項和 解題規(guī)范夯實把典型問題的解決程序化 數(shù)列的綜合問題 答題模板 第一步 由條件等式確定數(shù)列 an 是一個特殊數(shù)列 等差或等比數(shù)列 第二步 由條件確定首項a1 第三步 確定數(shù)列 an 的通項公式及 bn 的通項公式 第四步 根據(jù)數(shù)列 bn 的通項公式特點 求數(shù)列 bn 的前n項和