高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第45講立體幾何中的向量方法二求空間角和距離課件.ppt

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立體幾何 第七章 第45講立體幾何中的向量方法 二 求空間角和距離 欄目導(dǎo)航 1 兩條異面直線所成角的求法設(shè)a b分別是兩異面直線l1 l2的方向向量 則 A 30 60 5 P是二面角 AB 棱上一點(diǎn) 分別在平面 上引射線PM PN 如果 BPM BPN 45 MPN 60 那么二面角 AB 的大小為 90 用向量法求異面直線所成角的一般步驟 1 選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系 2 確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) 從而確定異面直線的方向向量 3 利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值 4 兩異面直線所成角的余弦等于兩向量夾角余弦值的絕對值 一求異面直線所成的角 二求直線與平面所成的角 利用向量法求線面角的方法 1 分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量 轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角 或其補(bǔ)角 2 通過平面的法向量來求 即求出斜線的方向向量與平面的法向量所成的銳角 取其余角就是斜線和平面所成的角 例2 如圖 長方體ABCD A1B1C1D1中 AB 16 BC 10 AA1 8 點(diǎn)E F分別在A1B1 D1C1上 A1E D1F 4 過點(diǎn)E F的平面 與此長方體的底面相交 交線圍成一個(gè)正方形 1 在圖中畫出這個(gè)正方形 不必說明畫法和理由 2 求直線AF與平面 所成角的正弦值 三求二面角 求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在面的法向量 然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小 但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角 B 1 證明 直線CE 平面PAB 2 點(diǎn)M在棱PC上 且直線BM與底面ABCD所成角為45 求二面角M AB D的余弦值 四求空間距離 求點(diǎn)面距一般有以下三種方法 作點(diǎn)到面的垂線 點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離 等體積法 向量法 其中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)則圖形中較簡便 1 如右圖所示正方體ABCD A B C D 已知點(diǎn)H在A B C D 的對角線B D 上 HDA 60 求DH與CC 所成角的大小 解析如圖所示 以D為原點(diǎn) DA為單位長度 建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz 2 2017 山東模擬 如圖 在直棱柱ABCD A1B1C1D1中 AD BC BAD 90 AC BD BC 1 AD AA1 3 1 證明 AC B1D 2 求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值 4 如圖所示 在直三棱柱ABC A1B1C1中 BAC 90 AB AC AA1 1 P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn) 且PB1 平面BDA1 1 求證 CD C1D 2 求二面角A A1D B的平面角的余弦值 3 求點(diǎn)C到平面B1DP的距離 易錯(cuò)點(diǎn)混淆向量的夾角與直線平面兩元素的夾角的概念 當(dāng)圖形不能確定時(shí) 要根據(jù)向量的坐標(biāo)在圖形中觀察向量的方向 從而確定二面角與向量n1 n2的夾角是相等 一個(gè)平面的法向量指向二面角的內(nèi)部 另一個(gè)平面的法向量指向二面角的外部如圖 還是互補(bǔ) 兩個(gè)法向量同時(shí)指向二面角的內(nèi)部或外部如圖 這是利用向量法求二面角的難點(diǎn) 也是易錯(cuò)點(diǎn) 例1 如圖 在四棱錐P ABCD中 PA 底面ABCD AD AB AB DC AD DC AP 2 AB 1 點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn) 1 證明 BE DC 2 求直線BE與平面PBD所成角的正弦值 3 若F為棱PC上一點(diǎn) 滿足BF AC 求二面角F AB P的余弦值 跟蹤訓(xùn)練1 如圖 四邊形ABCD和ADPQ均為正方形 它們所在的平面互相垂直 動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上 E F分別為AB BC的中點(diǎn) 設(shè)異面直線EM與AF所成的角為 則cos 的最大值為