高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 第四篇 第7講 概率與統(tǒng)計(jì)課件.ppt

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7 概率與統(tǒng)計(jì) 第四篇回歸教材 糾錯(cuò)例析 幫你減少高考失分點(diǎn) 要點(diǎn)回扣 易錯(cuò)警示 查缺補(bǔ)漏 欄目索引 要點(diǎn)回扣 1 隨機(jī)抽樣方法簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 系統(tǒng)抽樣 分層抽樣的共同點(diǎn)是抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)相等 且是不放回抽樣 問題1某社區(qū)現(xiàn)有480個(gè)住戶 其中中等收入家庭200戶 低收入家庭160戶 其他為高收入家庭 在建設(shè)幸福社區(qū)的某次分層抽樣調(diào)查中 高收入家庭被抽取了6戶 則該社區(qū)本次抽取的總戶數(shù)為 24 2 對(duì)于統(tǒng)計(jì)圖表問題 求解時(shí) 最重要的就是認(rèn)真觀察圖表 從中提取有用信息和數(shù)據(jù) 對(duì)于頻率分布直方圖 應(yīng)注意的是圖中的每一個(gè)小矩形的面積是數(shù)據(jù)落在該區(qū)間上的頻率 莖葉圖沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失 但數(shù)據(jù)很大或有多組數(shù)據(jù)時(shí) 莖葉圖就不那么直觀 清晰了 問題2從某校高三年級(jí)隨機(jī)抽取一個(gè)班 對(duì)該班50名學(xué)生的高校招生體檢表中視力情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì) 其結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示 若某高校A專業(yè)對(duì)視力的要求在0 9以上 則該班學(xué)生中能報(bào)A專業(yè)的人數(shù)為 20 3 眾數(shù) 在一組數(shù)據(jù)中 出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù) 眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo) 中位數(shù) 將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列 把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù) 或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù) 叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù) 中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小距形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和 標(biāo)準(zhǔn)差的平方就是方差 方差的計(jì)算 問題3已知一個(gè)樣本中的數(shù)據(jù)為0 12 0 15 0 13 0 15 0 14 0 17 0 15 0 16 0 13 0 14 則該樣本的眾數(shù) 中位數(shù)分別是 0 15 0 145 4 變量間的相關(guān)關(guān)系 5 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本方法一般地 假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y 它們的取值分別為 x1 x2 和 y1 y2 其樣本頻數(shù)列聯(lián)表如表 問題5為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān) 對(duì)該班50名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查 得到了如下的2 2列聯(lián)表 則至少有 的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān) 請(qǐng)用百分?jǐn)?shù)表示 答案99 5 6 互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率P A B P A P B 1 公式適合范圍 事件A與B互斥 7 古典概型 問題7連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m n 則向量 m n 與向量 1 1 的夾角 90 的概率是 解析 m n 1 1 m nn 基本事件總共有6 6 36 個(gè) 符合要求的有 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 5 1 5 4 6 1 6 5 共1 2 3 4 5 15 個(gè) A 8 幾何概型 問題8在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD A1B1C1D1中 點(diǎn)O為底面ABCD的中心 在正方體ABCD A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P 則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為 解析記 點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1 為A B 9 解排列 組合問題的依據(jù) 分類相加 分步相乘 有序排列 無序組合 解排列 組合問題的規(guī)律 相鄰問題捆綁法 不相鄰問題插空法 多排問題單排法 定位問題優(yōu)先法 定序問題倍縮法 多元問題分類法 有序分配分步法 綜合問題先選后排法 至多至少問題間接法 1 排列數(shù)公式 2 組合數(shù)公式 3 組合數(shù)性質(zhì) 問題9 1 將5封信投入3個(gè)郵筒 不同的投法共有 種 2 從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái) 其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái) 則不同的取法共有 種 35 70 10 二項(xiàng)式定理 2 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 在二項(xiàng)展開式中 與首末兩端 等距離 的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等 即 二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n 組合數(shù)公式 即 特別提醒 二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)與展開式系數(shù)最大項(xiàng)是兩個(gè)不同的概念 在求法上也有很大的差別 往往因?yàn)楦拍畈磺鍖?dǎo)致出錯(cuò) 4 1 11 要注意概率P A B 與P AB 的區(qū)別 1 在P A B 中 事件A B發(fā)生有時(shí)間上的差異 B先A后 在P AB 中 事件A B同時(shí)發(fā)生 2 樣本空間不同 在P A B 中 事件B成為樣本空間 在P AB 中 樣本空間仍為 因而有P A B P AB 12 求分布列 要檢驗(yàn)概率的和是否為1 如果不是 要重新檢查修正 還要注意識(shí)別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和二項(xiàng)分布 然后用公式 問題12若隨機(jī)變量 的分布列如下表 則E 的值為 P X 0 6826 P 2 X 2 0 9544 P 3 X 3 0 9974 問題13已知隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布N 2 2 且P 4 0 2 由題意知圖象的對(duì)稱軸為直線x 2 P 4 0 2 P 04 0 6 C 易錯(cuò)點(diǎn)1統(tǒng)計(jì)圖表識(shí)圖不準(zhǔn) 概念不清 易錯(cuò)警示 例1如圖所示是某公司 共有員工300人 2015年員工年薪情況的頻率分布直方圖 由此可知 員工中年薪在1 4萬元 1 6萬元之間的共有 人 錯(cuò)因分析解本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是審題不細(xì) 對(duì)所給圖形觀察不細(xì)心 認(rèn)為員工中年薪在1 4萬元 1 6萬元之間的頻率為1 0 02 0 08 0 10 2 0 60 從而得到員工中年薪在1 4萬元 1 6萬元之間的共有300 1 0 02 0 08 0 10 2 180 人 的錯(cuò)誤答案 解析由所給圖形 可知員工中年薪在1 4萬元 1 6萬元之間的頻率為1 0 02 0 08 0 08 0 10 0 10 2 0 24 所以員工中年薪在1 4萬元 1 6萬元之間的共有300 0 24 72 人 答案72 易錯(cuò)點(diǎn)2誤解基本事件的等可能性 例2若將一枚質(zhì)地均勻的骰子 一種各面上分別標(biāo)有1 2 3 4 5 6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具 先后拋擲2次 則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為 錯(cuò)因分析解本題時(shí)易出現(xiàn)的錯(cuò)誤在于對(duì)等可能性事件的概率中 基本事件 以及 等可能性 等概念的理解不深刻 錯(cuò)誤地認(rèn)為基本事件總數(shù)為11 點(diǎn)數(shù)和等于2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 或者將點(diǎn)數(shù)和為4的事件錯(cuò)誤地計(jì)算為 1 3 2 2 兩種 從而導(dǎo)致出錯(cuò) 解析將先后擲2次出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)記作點(diǎn)坐標(biāo) x y 則共可得點(diǎn)坐標(biāo)的個(gè)數(shù)為6 6 36 而向上點(diǎn)數(shù)之和為4的點(diǎn)坐標(biāo)有 1 3 2 2 3 1 共3個(gè) 易錯(cuò)點(diǎn)3幾何概型中 測(cè)度 確定不準(zhǔn) 例3在等腰直角三角形ABC中 直角頂點(diǎn)為C 1 在斜邊AB上任取一點(diǎn)M 求AM AC的概率 2 在 ACB的內(nèi)部 以C為端點(diǎn)任作一條射線CM 與線段AB交于點(diǎn)M 求AM AC的概率 錯(cuò)因分析本題易出現(xiàn)的問題是混淆幾何概型中對(duì)事件的度量方式 不注意題中兩問中點(diǎn)M生成方式的差異 誤以為該題兩問中的幾何概型都是用線段的長(zhǎng)度來度量造成錯(cuò)解 由于點(diǎn)M是在斜邊AB上任取的 所以點(diǎn)M等可能分布在線段AB上 因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是線段AB 2 由于在 ABC內(nèi)作射線CM 等可能分布的是CM在 ACB內(nèi)的任一位置 如圖所示 因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是 ACB 易錯(cuò)點(diǎn)4互斥事件概念不清 例4對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次 每次發(fā)射一枚炮彈 設(shè)A 兩次都擊中飛機(jī) B 兩次都沒擊中飛機(jī) C 恰有一彈擊中飛機(jī) D 至少有一彈擊中飛機(jī) 其中彼此互為互斥事件的是 互為對(duì)立事件的是 錯(cuò)因分析對(duì)事件互斥意義不明確 對(duì)事件的互斥與對(duì)立之間的關(guān)系不清楚 就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的判斷 對(duì)立事件和互斥事件都不可能同時(shí)發(fā)生 但對(duì)立事件必有一個(gè)要發(fā)生 而互斥事件可能都不發(fā)生 所以兩個(gè)事件都對(duì)立 則兩個(gè)事件必是互斥事件 反之 兩事件是互斥事件 但未必是對(duì)立事件 解析因?yàn)锳 B A C B C B D 故A與B A與C B與C B與D為彼此互斥事件 而B D B D 故B與D互為對(duì)立事件 答案A與B A與C B與C B與D B與D 易錯(cuò)點(diǎn)5排列 組合問題混淆例5如圖所示 A B C D是海上的四個(gè)小島 要建三座橋 將這四個(gè)島連接起來 不同的建橋方案共有多少種 錯(cuò)因分析搞不清幾個(gè)元素之間有無順序 混淆排列與組合的區(qū)別 解由題意可能有兩種結(jié)構(gòu) 如圖 第一種 第二種 易錯(cuò)點(diǎn)6事件理解不準(zhǔn) 例6某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80 計(jì)算 結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第2位 1 5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率 2 5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率 3 5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確 且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率 錯(cuò)因分析這是一個(gè)5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率模型 解本題容易出錯(cuò)的地方 一是對(duì) 恰有2次 至少有2次 理解錯(cuò)誤 誤用二項(xiàng)分布 二是對(duì)隨機(jī)事件 5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確 且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確 的意義理解錯(cuò)誤 不能把問題歸結(jié)為只要在第1 2 4 5次預(yù)報(bào)中預(yù)報(bào)1次準(zhǔn)確即可 出現(xiàn)仍然用5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ徒鉀Q問題的錯(cuò)誤 1 5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確 的概率為 2 5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確 的概率為 P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0 00032 0 0064 0 99 易錯(cuò)點(diǎn)7隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)用錯(cuò)例7已知隨機(jī)變量X的概率只能取三個(gè)值a b c 其概率依次成等差數(shù)列 則公差d的取值范圍是 錯(cuò)因分析本題將隨機(jī)變量的分布列與等差數(shù)列聯(lián)系起來 知識(shí)跨度大 考生往往審題不清 不能從分布列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的性質(zhì)入手解題 或者考慮問題不全面而導(dǎo)致錯(cuò)解 解析由已知 得a b c 1 而2b a c 查缺補(bǔ)漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 如圖是2015年某大學(xué)自主招生面試環(huán)節(jié)中 七位評(píng)委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖 去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后 所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)依次為 A 85 84B 84 85C 86 84D 84 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析由圖可知 去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后 所剩數(shù)據(jù)為84 84 84 86 87 答案A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 一組數(shù)據(jù)3 4 5 s t的平均數(shù)是4 這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是m 對(duì)于任意實(shí)數(shù)s t 從3 4 5 s t m這組數(shù)據(jù)中任取一個(gè) 取到數(shù)字4的概率的最大值為 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 2014 湖北 根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析作出散點(diǎn)圖如下 答案B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 某電視臺(tái)節(jié)目開展親子闖關(guān)游戲 其規(guī)則是 父母兩人蒙上眼睛在流水滑板上相互扶持爬過 并將水中的7個(gè)粉色氣球與3個(gè)藍(lán)色氣球隨意用身體擠破 這些氣球的形狀都相同 隨意漂浮在身旁 且都在父母所觸及的范圍內(nèi) 已知小光的父母參加游戲 并在第1次擠破一個(gè)藍(lán)色氣球 則他們第2次擠破的是粉色氣球的概率為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析方法一設(shè)事件A為 第1次擠破的是藍(lán)色氣球 事件B為 第2次擠破的是粉色氣球 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法二第1次擠破的是藍(lán)色氣球 則還剩下2個(gè)藍(lán)色氣球和7個(gè)粉色氣球 答案D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 如圖 矩形ABCD中 點(diǎn)E為邊CD上任意一點(diǎn) 若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q 則點(diǎn)Q取自 ABE內(nèi)部的概率等于 解析這是一道幾何概型的概率問題 故選C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 某企業(yè)三個(gè)分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品 三個(gè)分廠產(chǎn)量分布如圖所示 現(xiàn)在用分層抽樣方法從三個(gè)分廠生產(chǎn)的該產(chǎn)品中共抽取100件做使用壽命的測(cè)試 則第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為 由所得樣品的測(cè)試結(jié)果計(jì)算出一 二 三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命平均值分別為1020小時(shí) 980小時(shí) 1030小時(shí) 估計(jì)這個(gè)企業(yè)所生產(chǎn)的該產(chǎn)品的平均使用壽命為 小時(shí) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為100 50 50 該產(chǎn)品的平均使用壽命為1020 0 5 980 0 2 1030 0 3 1015小時(shí) 答案501015 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析該人投籃4次 命中3次的概率為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 某路段檢查站監(jiān)控錄像顯示 在某時(shí)段內(nèi) 有1000輛汽車通過該站 現(xiàn)在隨機(jī)抽取其中的200輛汽車進(jìn)行車速分析 分析的結(jié)果表示為如圖所示的頻率分布直方圖 則估計(jì)在這一時(shí)段內(nèi)通過該站的汽車中車速不小于90km h的約有 輛 注 分析時(shí)車速均取整數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析由圖可知 車速大于等于90km h的車輛未標(biāo)出頻率 而小于90km h的都標(biāo)出了 故考慮對(duì)立事件 由題圖知車速小于90km h的汽車總數(shù)的頻率之和為 0 01 0 02 0 04 10 0 7 所以車速不小于90km h的汽車總數(shù)的頻率之和為1 0 7 0 3 因此在這一時(shí)段內(nèi)通過該站的車速不小于90km h的汽車有1000 0 3 300 輛 答案300 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 一個(gè)袋裝有形狀大小完全相同的球9個(gè) 其中紅球3個(gè) 白球6個(gè) 每次隨機(jī)取一個(gè) 直到取出3個(gè)紅球即停止 1 從袋中不放回地取球 求恰好取4次停止的概率P1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 從袋中有放回地取球 求恰好取5次停止的概率P2 求5次之內(nèi) 含5次 取到紅球的個(gè)數(shù)為 的分布列及數(shù)學(xué)期望 隨機(jī)變量 的取值分別為0 1 2 3 由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 隨機(jī)變量 的分布列為 的數(shù)學(xué)期望為