2019屆高考數學一輪復習 第五篇 數列 第4節(jié) 數列求和及綜合應用課件 理 新人教版.ppt
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第4節(jié)數列求和及綜合應用 知識梳理自測 考點專項突破 解題規(guī)范夯實 知識梳理自測把散落的知識連起來 教材導讀 數列求和有哪些方法 提示 公式法 倒序相加法 裂項相消法 分組求和法 并項求和法 錯位相減法 知識梳理 1 數列求和的基本方法 1 公式法直接用等差 等比數列的求和公式求解 2 倒序相加法如果一個數列 an 滿足與首末兩項等 距離 的兩項的和相等 或等于同一常數 那么求這個數列的前n項和 可用倒序相加法 3 裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差 在求和時中間的一些項可以相互抵消 從而求得其和 4 分組求和法一個數列的通項公式是由幾個等差或等比或可求和的數列的通項公式組成 求和時可用分組求和法 分別求和而后相加 5 并項求和法一個數列的前n項和中 若項與項之間能兩兩結合求解 則稱之為并項求和 形如an 1 nf n 類型 可采用并項法求解 6 錯位相減法如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的 那么這個數列的前n項和可用此法來求 如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的 2 數列應用題的常見模型 1 等差模型 當增加 或減少 的量是一個固定量時 該模型是等差模型 增加 或減少 的量就是公差 2 等比模型 當后一個量與前一個量的比是一個固定的數時 該模型是等比模型 這個固定的數就是公比 3 遞推模型 找到數列中任一項與它前面項之間的遞推關系式 可由遞推關系入手解決實際問題 該模型是遞推模型 等差模型 等比模型是該模型的兩個特例 雙基自測 1 數列 1 2n 1 的前n項和為 A 1 2n B 2 2n C n 2n 1 D n 2 2n C A 4 3 2 1 4 2 2 5 2 3 n 2 2 n 考點專項突破在講練中理解知識 考點一 數列求和 反思歸納分組法求和的常見類型 1 若an bn cn 且 bn cn 為等差或等比數列 可采用分組法求 an 的前n項和 反思歸納 1 常見的裂項方法 其中n為正整數 2 利用裂項相消法求和時 應注意抵消后不一定只剩下第一項和最后一項 也有可能前面剩兩項 后面也剩兩項 再就是將通項公式裂項后 有時候需要調整前面的系數 使前后相等 解 1 設等差數列 an 的公差為d 等比數列 bn 的公比為q 由已知b2 b3 12 得b1 q q2 12 而b1 2 所以q2 q 6 0 又因為q 0 解得q 2 所以bn 2n 由b3 a4 2a1 可得3d a1 8 由S11 11b4 可得a1 5d 16 聯立 解得a1 1 d 3 由此可得an 3n 2 所以數列 an 的通項公式為an 3n 2 數列 bn 的通項公式為bn 2n 考查角度3 錯位相減法求和 例3 2017 天津卷 已知 an 為等差數列 前n項和為Sn n N bn 是首項為2的等比數列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 S11 11b4 1 求 an 和 bn 的通項公式 2 求數列 a2nb2n 1 的前n項和 n N 反思歸納錯位相減法求和策略 1 如果數列 an 是等差數列 bn 是等比數列 求數列 an bn 的前n項和時 可采用錯位相減法 一般是和式兩邊同乘以等比數列 bn 的公比 然后作差求解 2 在寫 Sn 與 qSn 的表達式時應特別注意將兩式 錯項對齊 以便下一步準確寫出 Sn qSn 的表達式 3 在應用錯位相減法求和時 若等比數列的公比為參數 應分公比等于1和不等于1兩種情況求解 考點二 與數列求和有關的綜合問題 反思歸納 1 數列與函數的綜合問題主要有以下兩類 已知函數條件 解決數列問題 一般利用函數的性質 圖象 已知數列條件 解決函數問題 一般要充分利用數列的范圍 公式 求和方法對式子化簡變形 2 數列與不等式的恒成立問題 此類問題常構造函數 通過函數的單調性 最值等解決問題 3 與數列有關的不等式證明問題 解決此類問題要靈活選擇不等式的證明方法 如比較法 綜合法 分析法 放縮法等 備選例題 例1 已知數列 an 的前n項和為Sn 且a2an S2 Sn對一切正整數n都成立 1 求a1 a2的值 2 若bn 1 nan 求數列 bn 的前n項和Tn 解題規(guī)范夯實把典型問題的解決程序化 數列求和中的創(chuàng)新問題解題策略 典例 12分 2016 全國 卷 Sn為等差數列 an 的前n項和 且a1 1 S7 28 記bn lgan 其中 x 表示不超過x的最大整數 如 0 9 0 lg99 1 1 求b1 b11 b101 2 求數列 bn 的前1000項和 審題指導 答題模板 第一步 根據等差數列 an 中的a1 1 S7 28求an 再根據函數 x 的定義求b1 b11 b101 第二步 分析bn lgan 的規(guī)律并分類求出bn 第三步 分組求和得數列 bn 的前1000項和
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