2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 1.6.3 導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用課件 文.ppt

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第三講導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用 熱點(diǎn)題型1導(dǎo)數(shù)的幾何意義 感悟經(jīng)典 典例 1 2018 全國卷 設(shè)函數(shù)f x x3 a 1 x2 ax 若f x 為奇函數(shù) 則曲線y f x 在點(diǎn) 0 0 處的切線方程為 A y 2xB y xC y 2xD y x 2 2017 天津高考 已知a R 設(shè)函數(shù)f x ax lnx的圖象在點(diǎn) 1 f 1 處的切線為l 則l在y軸上的截距為 3 直線l y kx與曲線C y x3 3x2 2x切于點(diǎn)P x0 y0 x0 0 則k 聯(lián)想解題 1 該題考查的是有關(guān)曲線y f x 在某個(gè)點(diǎn) x0 f x0 處的切線方程的問題 在求解的過程中 首先需要確定函數(shù)解析式 利用奇函數(shù)不存在偶次項(xiàng) 偶函數(shù)不存在奇次項(xiàng) 從而求得相應(yīng)的參數(shù)值 之后利用求導(dǎo)公式求得f 0 結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式求得結(jié)果 2 看到曲線的切線 想到利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義 3 看到直線與曲線切于點(diǎn)P x0 y0 求k 想到k 規(guī)范解答 1 選D 因?yàn)閒 x 為奇函數(shù) 所以f x f x 即a 1 所以f x x3 x 所以f 0 1 所以切線方程為y x 2 f 1 a 切點(diǎn)為 1 a f x a 則切線的斜率為f 1 a 1 切線方程為y a a 1 x 1 令x 0得出y 1 l在y軸的截距為1 答案 1 3 由l過原點(diǎn)知 k x0 0 又點(diǎn)P x0 y0 在曲線C上 所以y0 x03 3x02 2x0 得 x02 3x0 2 因?yàn)閥 3x2 6x 2 故k 3x02 6x0 2 又k 所以3x02 6x0 2 x02 3x0 2 其中x0 0 解得x0 所以y0 所以k 答案 規(guī)律方法 求曲線y f x 的切線方程的三種類型及方法 1 已知切點(diǎn)P x0 y0 求切線方程求出切線的斜率f x0 由點(diǎn)斜式寫出方程 2 已知切線的斜率k 求切線方程設(shè)切點(diǎn)P x0 y0 通過方程k f x0 解得x0 再由點(diǎn)斜式寫出方程 3 已知切線上一點(diǎn) 非切點(diǎn) 求切線方程設(shè)切點(diǎn)P x0 y0 利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f x0 再由斜率公式求得切線斜率 列方程 組 解得x0 再由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫出方程 對點(diǎn)訓(xùn)練 1 若曲線y lnx ax2 2x a為常數(shù) 不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析 f x 2ax 2 x 0 由題意得f x 0在x 0時(shí)恒成立 所以2ax2 2x 1 0在x 0時(shí)恒成立 即2a 所以a 所以a的取值范圍為 答案 2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 若曲線y ax2 a b為常數(shù) 過點(diǎn)P 2 5 且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x 2y 3 0平行 則a b的值是 解析 曲線y ax2 過點(diǎn) 2 5 則4a 5 又y 2ax 所以由題意4a 由 得故a b 3 答案 3 提分備選 1 曲線y 5ex 3在點(diǎn) 0 2 處的切線方程為 解析 因?yàn)閥 5ex 3 所以y 5ex 故所求的切線的斜率為k 5e0 5 故所求的切線的方程為y 2 5x 即y 5x 2或5x y 2 0 答案 y 5x 2或5x y 2 0 2 函數(shù)y xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為 解析 y f x xex f x 1 x ex 令f x 0 x 1 此時(shí)f 1 函數(shù)y xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為y 答案 y 熱點(diǎn)題型2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題 感悟經(jīng)典 典例 1 2018 德州一模 已知函數(shù)f x x R 滿足f 1 1 且f x 的導(dǎo)數(shù)f x 則不等式f x2 的解集為 2 2018 合肥一模 已知函數(shù)f x a 1 lnx ax2 1 討論函數(shù)f x 的單調(diào)性 聯(lián)想解題 1 構(gòu)造合理的導(dǎo)函數(shù) 利用單調(diào)性解不等式 2 求導(dǎo)分類討論 解不等式 規(guī)范解答 1 設(shè)F x f x x 所以F x f x 因?yàn)閒 x 1 即x 1 1 答案 1 1 2 f x 的定義域?yàn)?0 f x 2ax 1 當(dāng)a 1時(shí) f x 0 故f x 在 0 上單調(diào)遞增 2 當(dāng)a 0時(shí) f x 0 故f x 在 0 上單調(diào)遞減 3 當(dāng)00 故f x 在上單調(diào)遞減 在上單調(diào)遞增 規(guī)律方法 求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法 1 確定函數(shù)f x 的定義域 2 求f x 3 解方程f x 0在定義域的所有實(shí)數(shù)根 4 將函數(shù)f x 的間斷點(diǎn) 即f x 的無定義點(diǎn) 的橫坐標(biāo)和各實(shí)數(shù)根按從小到大的順序排列起來 分成若干個(gè)小區(qū)間 5 確定f x 在各小區(qū)間內(nèi)的符號 由此確定每個(gè)區(qū)間的單調(diào)性 對點(diǎn)訓(xùn)練 1 若函數(shù)f x lnx ax2 2x存在單調(diào)遞減區(qū)間 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A 1 B 1 C 1 D 1 0 解析 選A f x ax 2 由題意知f x 0 所以ax2 2x 1 0有實(shí)數(shù)解 當(dāng)a 0時(shí) 顯然滿足 當(dāng)a0 所以 1 1 2 已知函數(shù)f x 2xlnx x2 2ax a2 其中a 0 1 設(shè)g x 為f x 的導(dǎo)函數(shù) 討論g x 的單調(diào)性 2 證明 存在a 0 1 使得f x 0恒成立 且f x 0在區(qū)間 1 內(nèi)有唯一解 解析 1 由已知 函數(shù)f x 的定義域?yàn)?0 g x f x 2 x 1 lnx a 所以g x 2 當(dāng)x 0 1 時(shí) g x 0 g x 單調(diào)遞增 2 由f x 2 x 1 lnx a 0 解得a x 1 lnx 令 x 2xlnx x2 2x x 1 lnx x 1 lnx 2 1 lnx 2 2xlnx 則 1 1 0 e 2 2 e 0 于是存在x0 1 e 使得 x0 0 令a0 x0 1 lnx0 u x0 其中u x x 1 lnx x 1 由u x 1 0知 函數(shù)u x 在區(qū)間 1 上單調(diào)遞增 故0 u 1 a0 u x0 u e e 2 1 即a0 0 1 當(dāng)a a0時(shí) 有f x0 0 f x0 x0 0再由 1 知 f x 在區(qū)間 1 上單調(diào)遞增 當(dāng)x 1 x0 時(shí) f x f x0 0 當(dāng)x x0 時(shí) f x 0 從而f x f x0 0 又當(dāng)x 0 1 時(shí) f x x a0 2 2xlnx 0 故x 0 時(shí) f x 0 綜上所述 存在a 0 1 使得f x 0恒成立 且f x 0在區(qū)間 1 內(nèi)有唯一解 提分備選 1 設(shè)函數(shù)f x ln 1 x ln 1 x 則f x 是 A 奇函數(shù) 且在 0 1 上是增函數(shù)B 奇函數(shù) 且在 0 1 上是減函數(shù)C 偶函數(shù) 且在 0 1 上是增函數(shù)D 偶函數(shù) 且在 0 1 上是減函數(shù) 解析 選A f x ln 1 x ln 1 x 的定義域?yàn)?1 1 函數(shù)f x ln 1 x ln 1 x f x 所以函數(shù)為奇函數(shù) f x 在 0 1 上單調(diào)遞增 2 已知函數(shù)f x xcosx sinx 1 x 0 求f x 的單調(diào)區(qū)間 解析 函數(shù)f x 求導(dǎo)可得f x cosx xsinx cosx xsinx x 0 令f x 0可得x k k N 當(dāng)x 2k 2k 1 k N 時(shí) sinx 0 此時(shí)f x 0 故函數(shù)f x 的單調(diào)遞減區(qū)間為 2k 2k 1 k N 單調(diào)遞增區(qū)間為 2k 1 2k 2 k N 熱點(diǎn)題型3利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)極 最 值問題 感悟經(jīng)典 典例 2018 湖北一模 設(shè)a 0 函數(shù)f x x2 a 1 x alnx 1 當(dāng)a 2時(shí) 求曲線y f x 在點(diǎn) 3 f 3 處切線的斜率 2 求函數(shù)f x 的極值 聯(lián)想解題 1 看到求切線斜率 想到先求f x 再求f x0 2 看到求極值 想到先求f x 再判增減性 先增后減有極大值 先減后增 有極小值 規(guī)范解答 1 由已知x 0 當(dāng)a 2時(shí) f x x 3 所以曲線y f x 在點(diǎn) 3 f 3 處切線的斜率為f 3 2 f x x a 1 由f x 0得x 1或x a 若00 函數(shù)f x 單調(diào)遞增 當(dāng)x a 1 時(shí) f x 0 函數(shù)f x 單調(diào)遞增 所以當(dāng)x a時(shí) f x 取極大值f a a2 a alna 當(dāng)x 1時(shí) f x 取極小值f 1 a 若a 1 當(dāng)x 0 1 時(shí) f x 0 函數(shù)f x 單調(diào)遞增 當(dāng)x 1 a 時(shí) f x 0 函數(shù)f x 單調(diào)遞增 所以當(dāng)x 1時(shí) f x 取極大值f 1 a 當(dāng)x a時(shí) f x 取極小值f a a2 a alna 當(dāng)a 1時(shí) x 0時(shí) f x 0 函數(shù)f x 單調(diào)遞增 f x 沒有極值 綜上 當(dāng)01時(shí) f x 的極大值為 a 極小值為 a2 a alna 當(dāng)a 1時(shí) f x 沒有極值 規(guī)律方法 1 求函數(shù)y f x 在某個(gè)區(qū)間上的極值的步驟 1 求導(dǎo)數(shù)f x 2 求方程f x 0的根x0 3 檢查f x 在方程f x 0的根x0左右的符號 左正右負(fù) f x 在x0取極大值 左負(fù)右正 f x 在x0取極小值 2 求函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的最大值與最小值的步驟 1 求函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)的極值 極大值或極小值 2 將y f x 的各極值與f a f b 進(jìn)行比較 其中最大的一個(gè)為最大值 最小的一個(gè)為最小值 提醒 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值時(shí) 一般應(yīng)首先考慮函數(shù)的定義域 對點(diǎn)訓(xùn)練 2018 廣東五校聯(lián)考 已知函數(shù)f x x lnx ax 有極值 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A B C D 解析 選A f x xlnx ax2 x 0 f x lnx 1 2ax 令g x lnx 1 2ax 則g x 2a 因?yàn)楹瘮?shù)f x x lnx ax 有極值 所以g x 0在 0 上有實(shí)根 當(dāng)a 0時(shí) g x 0 函數(shù)g x 在 0 上單調(diào)遞增 當(dāng)x趨向于0時(shí) g x 趨向于 當(dāng)x趨向于 時(shí) g x 趨向于 故存在x0 0 使得f x 在 0 x0 上單調(diào)遞減 在 x0 上單調(diào)遞增 故f x 存在極小值f x0 符合題意 當(dāng)a 0時(shí) 令g x 0 得x 當(dāng)00 函數(shù)g x 單調(diào)遞增 當(dāng)x 時(shí) g x 0 解得0 a 綜上可知 實(shí)數(shù)a的取值范圍是 提分備選 2017 江蘇高考 已知函數(shù)f x x3 ax2 bx 1 a 0 b R 有極值 且導(dǎo)函數(shù)f x 的極值點(diǎn)是f x 的零點(diǎn) 極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對應(yīng)的自變量的值 1 求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式 并寫出定義域 2 證明 b2 3a 3 若f x f x 這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于 求a的取值范圍 解析 1 由f x x3 ax2 bx 1 得f x 3x2 2ax b 3 b 當(dāng)x 時(shí) f x 有極小值b 因?yàn)閒 x 的極值點(diǎn)是f x 的零點(diǎn) 所以 又a 0 故b 因?yàn)閒 x 有極值 故f x 0有實(shí)根 從而 27 a3 0 即a 3 a 3時(shí) f x 0 x 1 故f x 在R上是增函數(shù) f x 沒有極值 a 3時(shí) f x 0有兩個(gè)相異的實(shí)根 列表如下 故f x 的極值點(diǎn)是x1 x2 從而a 3 因此 定義域?yàn)?3 2 由 1 知 設(shè)g t 則g t 當(dāng)t 時(shí) g t 0 從而g t 在上單調(diào)遞增 因?yàn)閍 3 所以a 3 故g a g 3 即因此b2 3a 3 由 1 知 f x 的極值點(diǎn)是x1 x2 且x1 x2 a 從而f x1 f x2 2 0 記f x f x 所有極值之和為h a 因?yàn)閒 x 的極值為所以h a a 3 因?yàn)閔 a 0 于是h a 在 3 上單調(diào)遞減 因?yàn)閔 6 于是h a h 6 故a 6 因此a的取值范圍為 3 6 邏輯推理 含有參數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)素養(yǎng) 相關(guān)鏈接 1 含參問題主要包括 1 含有參數(shù)的不等式的求解 2 含有參數(shù)的方程的求解 3 函數(shù)解析式中含有參數(shù)的單調(diào)性和最值問題 4 二元二次方程表示曲線類型 的判定等 在求解時(shí)要結(jié)合參數(shù)的意義 對參數(shù)的不同取值或不同取值范圍進(jìn)行分類討論 在分類時(shí)要本著最簡原則 做到分類合理 不重不漏 2 對參數(shù)的分類討論 最后仍然分類寫出答案 如果是對所求的字母進(jìn)行分類求解 最后一般要整理得出并集 典例 2018 臨沂一模 已知函數(shù)f x x2 mx lnx 1 若m 3 討論函數(shù)f x 的單調(diào)性 并寫出單調(diào)區(qū)間 2 若f x 有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 x2 x1 x2 且m 求f x1 f x2 的最小值 解題指南 1 求導(dǎo) 對m進(jìn)行分類討論 2 化簡函數(shù)構(gòu)造新函數(shù)研究導(dǎo)數(shù) 從而求最值 規(guī)范解答 1 當(dāng)m 3時(shí) f x x2 3x lnx 依題意 x 0 且f x x 3 令f x 0 得0 令f x 0 得 x 因此函數(shù)f x 在上單調(diào)遞減 在和上單調(diào)遞增 2 由題意知 f x x m 則易知x1 x2為x2 mx 1 0的兩個(gè)根 且x1 x2 m x1x2 1 所以f x1 f x2 mx1 lnx1 mx2 lnx2 m x1 x2 lnx1 lnx2 x1 x2 x1 x2 lnx1 lnx2 ln ln ln記 t 由x1 x2且m 知0 t 1 且f x1 f x2 lnt 記 t lnt 則 t 0 故 t 在 0 1 上單調(diào)遞減 由m 知 x1 x2 2 從而 即 故t 結(jié)合0 t 1 解得0 t 從而 t 的最小值為 ln2 即f x1 f x2 的最小值為 ln2 通關(guān)題組 1 已知函數(shù)f x 則滿足f a 2的實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A 2 0 B 1 0 C 2 0 D 1 0 解析 選D 當(dāng)a 1時(shí) f a 2 2a 2 解得a 此時(shí)a 1 當(dāng)a 1時(shí) f a 2a 2 2 解得a 0 此時(shí)a 0 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是 1 0 2 2018 宜昌一模 已知函數(shù)f x x2 2ax lnx a R 1 討論函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 2 若函數(shù)f x 有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 x2 x1 x2 且f x2 1恒成立 求實(shí)數(shù)m的取值范圍 解析 1 f x 2x 2a x 0 當(dāng)a 0時(shí) f x 0恒成立 f x 在 0 上單調(diào)遞增 當(dāng) 即00 f x 在 0 上單調(diào)遞增 當(dāng) 即a 時(shí) 由f x 0解得0 綜上可知 當(dāng)a 時(shí) f x 在 0 上單調(diào)遞增 當(dāng)a 時(shí) f x 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減 2 由 1 知 2x2 2ax 1 0的兩根為x1 x2 x1 則x1 x2 a x1x2 由x1 x2知 0 x1 x2 f x2 2ax2 lnx2 2 x1 x2 x2 lnx2 2x1x2 lnx2 1 lnx2 不等式f x2 1可化為 1 lnx2 2mx2 1 即 x2 2m 令g x x g x 1 由h x x2 1 lnx在上單調(diào)遞減 且h 1 0 則g x 0的解為 x 1 故g x 在上單調(diào)遞增 在 1 上單調(diào)遞減 則g x max g 1 1 依題知 1 2m 所以m