2019屆高考數學二輪復習 第一篇 思想、方法與技巧 1.2 數形結合思想課件.ppt

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第二講數形結合思想 微題型一利用數形結合思想研究函數的零點 方程的根 圖象的交點問題 典例1 1 函數f x lnx x a有兩個零點 則實數a的取值范圍是 A 1 B 1 C 1 D 1 2 已知函數若存在2個零點 則a的取值范圍是 世紀金榜導學號 思路點撥 解析 1 選B 函數f x lnx x a的零點 即關于x的方程lnx x a 0的實根 將方程lnx x a 0化為方程lnx x a 令y1 lnx y2 x a 由導數知識可知 直線y2 x a與曲線y1 lnx相切時有a 1 如圖所示 若關于x的方程lnx x a 0有兩個不同的實根 則實數a的取值范圍是 1 2 選C 因為g x f x x a存在2個零點 即y f x 與y x a有兩個交點 圖象如下 要使得y x a與f x 有兩個交點 則有 a 1即a 1 方法點睛 利用數形結合探究方程解的問題應注意兩點 1 討論方程的解 或函數的零點 一般可構造兩個函數 使問題轉化為討論兩曲線的交點問題 但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準確性 全面性 否則會得到錯解 2 正確作出兩個函數的圖象是解決此類問題的關鍵 數形結合應以快和準為原則 不要刻意去用數形結合 跟蹤訓練 1 已知函數函數g x 是周期為2的偶函數且當x 0 1 時 g x 2x 1 則函數y f x g x 的零點個數是世紀金榜導學號 A 5B 6C 7D 8 解析 選B 在同一坐標系中作出y f x 和y g x 的圖象如圖所示 由圖象可知當x 0時 有4個零點 當x 0時 有2個零點 所以一共有6個零點 微題型二利用數形結合思想解決不等式 參數問題 典例2 1 實系數一元二次方程x2 ax 2b 0的一個根在區(qū)間 0 1 上 另一個根在區(qū)間 1 2 上 則的取值范圍是 A 1 4 B 1 4 2 若存在實數a 對任意的x 0 m 都有 sinx a cosx a 0恒成立 則實數m的最大值為 思路點撥 解析 1 選D 設f x x2 ax 2b 因為x2 ax 2b 0的一個根在 0 1 內 另一個根在區(qū)間 1 2 內 所以可得 作出滿足上述不等式組對應的點 a b 所在的平面區(qū)域 得到 ABC及其內部 即如圖所示的陰影部分 不含邊界 其中A 3 1 B 2 0 C 1 0 設點E a b 為區(qū)域內的任意一點 則k 表示點E a b 與點D 1 2 連線的斜率 因為結合圖形可知 kAD k kCD 所以的取值范圍是 2 選C 在同一坐標系中 作出y sinx和y cosx的圖象 當m 時 要使不等式恒成立 只有a 當m 時 在x 0 m 上 必須要求y sinx和y cosx的圖象不在y a 的同一側 所以m的最大值是 方法點睛 利用數形結合思想解不等式或求參數范圍問題的技巧求參數范圍或解不等式問題時經常聯系函數的圖象 根據不等式中量的特點 選擇適當的兩個 或多個 函數 利用兩個函數圖象的上 下位置關系轉化為數量關系來解決問題 跟蹤訓練 2 若不等式的解集為區(qū)間 a b 且b a 2 則k 世紀金榜導學號 解析 如圖 分別作出直線y k x 2 與半圓由題意 知直線在半圓的上方 由b a 2 可知b 3 a 1 所以直線y k x 2 過點 1 2 則k 答案 微題型三利用數形結合思想解決平面向量中的問題 典例3 1 2017 全國卷 已知 ABC是邊長為2的等邊三角形 P為平面ABC內一點 則的最小值 是 2 2018 泰安一模 已知a b是平面內兩個互相垂直的單位向量 若向量c滿足 a c b c 0 則 c 的最大值是 思路點撥 解析 1 選B 取BC的中點O 以BC為x軸 BC的垂直平分線AO為y軸 O為坐標原點建立平面直角坐標系 如圖所示 則B 1 0 C 1 0 設P x y 所以 1 x y 1 x y 所以 2x 2y 當時 取得最小值 最小值為 2 因為 a c b c 0 所以 a c b c 如圖所示 所以O A C B四點共圓 當且僅當OC為圓的直徑時 c 最大 且最大值為 答案 方法點睛 平面向量的數形結合的關注點 1 在解答平面向量問題時 根據題目條件建立相應的平面直角坐標系 2 利用平面向量的坐標 結合向量的坐標運算 數量積公式等求解 具有很強的操作性 解答過程流暢 解題方法巧妙 跟蹤訓練 3 2016 四川高考 已知正三角形ABC的邊長為2 平面ABC內的動點P M滿足的最大值是 解析 選B 因為正三角形ABC的邊長為2 我們以A為原點建立直角坐標系 B C D三點坐標分別為B 3 C 3 D 2 0 由設P點的坐標為 cos sin 其中 0 2 而即M是PC的中點 可以寫出M的坐標為 微題型四利用數形結合思想解決解析幾何相關問題 典例4 1 已知圓C x 3 2 y 4 2 1和兩點A m 0 B m 0 m 0 若圓C上存在點P 使得 APB 90 則m的最大值為 A 7B 6C 5D 4 2 已知拋物線的方程為x2 8y F是其焦點 點A 2 4 在此拋物線上求一點P 使 APF的周長最小 此時點P的坐標為 世紀金榜導學號 思路點撥 解析 1 選B 根據題意 畫出示意圖 如圖所示 則圓心C的坐標為 3 4 半徑r 1 且 AB 2m 因為 APB 90 連接OP 易知 要求m的最大值 即求圓C上的點P到原點O的最大距離 因為所以 OP max OC r 6 即m的最大值為6 2 因為 2 2 8 4 所以點A 2 4 在拋物線x2 8y的內部 如圖 設拋物線的準線為l 過點P作PQ l于點Q 過點A作AB l于點B 連接AQ 由拋物線的定義可知 APF的周長為 PF PA AF PQ PA AF AQ AF AB AF 當且僅當P B A三點共線時 APF的周長取得最小值 即 AB AF 因為A 2 4 所以不妨設 APF的周長最小時 點P的坐標為 2 y0 代入x2 8y 得故使 APF的周長最小的拋物線上的點P的坐標為答案 方法點睛 數形結合在解析幾何中的解題策略 1 數形結合思想中一個非常重要的方面是以數解形 通過方程等代數方法來研究幾何問題 也就是解析法 解析法與幾何法結合來解題 會有更大的功效 2 此類題目的求解要結合該曲線的定義及幾何性質 將條件信息和結論信息結合在一起 觀察圖形特征 轉化為代數語言 即方程 組 或不等式 組 從而將問題解決 跟蹤訓練 4 已知P是直線l 3x 4y 8 0上的動點 PA PB是圓x2 y2 2x 2y 1 0的兩條切線 A B是切點 C是圓心 則四邊形PACB面積的最小值為 世紀金榜導學號 解析 從運動的觀點看問題 當動點P沿直線3x 4y 8 0向左上方或右下方無窮遠處運動時 直角三角形PAC的面積越來越大 從而S四邊形PACB也越來越大 當點P從左上 右下兩個方向向中間運動 S四邊形PACB變小 顯然 當點P到達一個最特殊的位置 即 CP垂直于直線l時 S四邊形PACB應有唯一的最小值 此時答案 2