2018版高中數(shù)學 第二章 概率 2.5.1 離散型隨機變量的均值學案 蘇教版選修2-3.doc
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2.5.1 離散型隨機變量的均值 學習目標 1.通過實例理解離散型隨機變量均值的概念,能計算簡單離散型隨機變量的均值.2.理解離散型隨機變量的均值的性質(zhì).3.掌握兩點分布、二項分布的均值.4.會利用離散型隨機變量的均值,反映離散型隨機變量的取值水平,解決一些相關的實際問題. 知識點一 離散型隨機變量的均值或數(shù)學期望 設有12個西瓜,其中4個重5 kg,3個重6 kg,5個重7 kg. 思考1 任取1個西瓜,用X表示這個西瓜的重量,試問X可以取哪些值? 思考2 當X取上述值時,對應的概率分別是多少? 思考3 如何求每個西瓜的平均重量? 梳理 離散型隨機變量的均值或數(shù)學期望 一般地,若離散型隨機變量X的概率分布如下表: X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)數(shù)學期望:E(X)=μ=________________________________________________________________________. (2)性質(zhì) ①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=1. (3)數(shù)學期望的含義:它反映了離散型隨機變量取值的____________. 知識點二 兩點分布、超幾何分布、二項分布的均值 1.兩點分布:若X~0-1分布,則E(X)=________. 2.超幾何分布:若X~H(n,M,N),則E(X)=________. 3.二項分布:若X~B(n,p),則E(X)=________. 類型一 離散型隨機變量的均值 例1 某同學參加科普知識競賽,需回答三個問題,競賽規(guī)則規(guī)定:每題回答正確得100分,回答不正確得-100分,假設這名同學回答正確的概率均為0.8,且各題回答正確與否相互之間沒有影響. (1)求這名同學回答這三個問題的總得分X的概率分布和均值; (2)求這名同學總得分不為負分(即X≥0)的概率. 反思與感悟 求隨機變量X的均值的方法和步驟 (1)理解隨機變量X的意義,寫出X所有可能的取值. (2)求出X取每個值的概率P(X=k). (3)寫出X的分布列. (4)利用均值的定義求E(X). 跟蹤訓練1 在有獎摸彩中,一期(發(fā)行10 000張彩票為一期)有200個獎品是5元,20個獎品是25元,5個獎品是100元.在不考慮獲利的前提下,一張彩票的合理價格是多少元? 引申探究 在重復5次投籃時,命中次數(shù)為Y,隨機變量η=5Y+2.求E(η).例2 某運動員投籃命中率為p=0.6. (1)求投籃1次命中次數(shù)X的均值; (2)求重復5次投籃,命中次數(shù)Y的均值. 反思與感悟 (1)常見的兩種分布的均值 設p為一次試驗中成功的概率,則 ①兩點分布E(X)=p; ②二項分布E(X)=np. 熟練應用上述兩公式可大大減少運算量,提高解題速度. (2)兩點分布與二項分布辨析 ①相同點:一次試驗中要么發(fā)生要么不發(fā)生. ②不同點: a.隨機變量的取值不同,兩點分布隨機變量的取值為0,1,二項分布中隨機變量的取值X=0,1,2,…,n. b.試驗次數(shù)不同,兩點分布一般只有一次試驗;二項分布則進行n次試驗. 跟蹤訓練2 根據(jù)以往統(tǒng)計資料,某地車主購買甲種保險的概率為0.5,購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3,設各車主購買保險相互獨立. (1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率; (2)X表示該地的100位車主中,甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù),求X的均值. 例3 一個口袋內(nèi)有n(n>3)個大小相同的球,其中有3個紅球和(n-3)個白球.已知從口袋中隨機取出一個球是紅球的概率是.不放回地從口袋中隨機取出3個球,求取到白球的個數(shù)ξ的均值E(ξ). 反思與感悟 (1)超幾何分布模型 一般地,在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中含有X件次品,則P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*. (2)超幾何分布均值的計算公式 若一個隨機變量X的分布列服從超幾何分布,則E(X)=. 跟蹤訓練3 設在15個同類型的零件中有2個次品,每次任取1個,共取3次,并且每次取出后不再放回,若以X表示取出次品的個數(shù),求均值E(X). 類型二 均值的應用 例4 甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽,其中兩人比賽,另一人當裁判,每局比賽結束時,負的一方在下一局當裁判.設各局中雙方獲勝的概率均為,各局比賽的結果相互獨立,第1局甲當裁判. (1)求第4局甲當裁判的概率; (2)X表示前4局中乙當裁判的次數(shù),求X的均值. 反思與感悟 解答此類題目,應首先把實際問題概率模型化,然后利用有關概率的知識去分析相應各事件可能性的大小,并列出概率分布表,最后利用有關的公式求出相應的概率及均值. 跟蹤訓練4 某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額的商品后即可抽獎,每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機摸出1個球,在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎. (1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率; (2)若某顧客有3次抽獎機會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的概率分布和均值. 1.現(xiàn)有一個項目,對該項目每投資10萬元,一年后利潤是1.2萬元,1.18萬元,1.17萬元的概率分別為,,.隨機變量X表示對此項目投資10萬元一年后的利潤,則X的均值為________. 2.若p為非負實數(shù),隨機變量ξ的概率分布如下表: ξ 0 1 2 P -p p 則E(ξ)的最大值為________. 3.設隨機變量X~B(40,p),且E(X)=16,則p=________. 4.袋中有20個大小相同的球,其中記上0號的有10個,記上n號的有n個(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,ξ表示所取球的標號. (1)求ξ的概率分布、均值; (2)若η=aξ+4,E(η)=1,求a的值. 1.求離散型隨機變量的均值的步驟 (1)確定離散型隨機變量X的取值. (2)寫出分布列,并檢查分布列的正確與否. (3)根據(jù)公式寫出均值. 2.若X、Y是兩個隨機變量,且Y=aX+b,則E(Y)=aE(X)+b;如果一個隨機變量服從兩點分布或二項分布,可直接利用公式計算均值. 答案精析 問題導學 知識點一 思考1 X=5,6,7. 思考2 P(X=5)==, P(X=6)==,P(X=7)=. 思考3 =5+6+7=. 梳理 (1)x1p1+x2p2+…+xnpn (3)平均水平 知識點二 1.p 2. 3.np 題型探究 例1 解 (1)X的可能取值為-300, -100,100,300. P(X=-300)=0.23=0.008, P(X=-100)=C0.80.22=0.096, P(X=100)=C0.820.21=0.384, P(X=300)=0.83=0.512, 所以X的概率分布如下表: X -300 -100 100 300 P 0.008 0.096 0.384 0.512 所以E(X)=(-300)0.008+(-100)0.096+1000.384+3000.512=180(分). (2)這名同學總得分不為負分的概率為P(X≥0)=P(X=100)+P(X=300) =0.384+0.512=0.896. 跟蹤訓練1 解 設一張彩票的中獎額為隨機變量X,顯然X的所有可能取值為0,5,25,100.依題意X的概率分布如下表: X 0 5 25 100 P 所以E(X)=0+5+25+100 =0.2,所以一張彩票的合理價格是0.2元. 例2 解 (1)投籃1次,命中次數(shù)X的概率分布如下表: X 0 1 P 0.4 0.6 則E(X)=0.6. (2)由題意知,重復5次投籃,命中次數(shù)Y服從二項分布,即Y~B(5,0.6), E(Y)=np=50.6=3. 引申探究 解 E(η)=E(5Y+2)=5E(Y)+2 =53+2=17. 跟蹤訓練2 解 設該車主購買乙種保險的概率為p,由題意知p(1-0.5)=0.3,解得p=0.6. (1)設所求概率為P1,則 P1=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8. 故該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率為0.8. (2)每位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率為 (1-0.5)(1-0.6)=0.2. ∴X~B(100,0.2), ∴E(X)=1000.2=20. ∴X的均值是20. 例3 解 ∵p=,∴=,∴n=5, ∴5個球中有2個白球. 方法一 白球的個數(shù)ξ可取0,1,2. 則P(ξ=0)==, P(ξ=1)==, P(ξ=2)==. ∴E(ξ)=0+1+2=. 方法二 取到白球的個數(shù)ξ服從參數(shù)為N=5,M=2,n=3的超幾何分布, 則E(ξ)===. 跟蹤訓練3 解 方法一 P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, 則E(X)=0+1+2 =. 方法二 由題意可知,X服從N=15,M=2,n=3的超幾何分布, ∴E(X)===. 例4 解 (1)記A1表示事件“第2局結果為甲勝”,A2表示事件“第3局甲參加比賽,結果為甲負”, A表示事件“第4局甲當裁判”. 則A=A1A2. P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=. (2)X的可能取值為0,1,2. 記A3表示事件“第3局乙和丙比賽時,結果為乙勝丙”,B1表示事件“第1局結果為乙勝丙”,B2表示事件“第2局乙和甲比賽時,結果為乙勝甲”,B3表示事件“第3局乙參加比賽時,結果為乙負”. 則P(X=0)=P(B1B2A3) =P(B1)P(B2)P(A3)=, P(X=2)=P(1B3)=P(1)P(B3) =, P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2) =1--=, E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)=. 跟蹤訓練4 解 (1)記事件A1={從甲箱中摸出的1個球是紅球}, A2={從乙箱中摸出的1個球是紅球}, B1={顧客抽獎1次獲一等獎},B2={顧客抽獎1次獲二等獎},C={顧客抽獎1次能獲獎}. 由題意,A1與A2相互獨立,A12與1A2互斥,B1與B2互斥,且B1=A1A2,B2=A12+1A2,C=B1+B2. 因為P(A1)==,P(A2)==, 所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)==, P(B2)=P(A12+1A2)=P(A12)+P(1A2) =P(A1)P(2)+P(1)P(A2) =P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2) =+ =. 故所求概率為 P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2) =+=. (2)顧客抽獎3次可視為3次獨立重復試驗,由(1)知,顧客抽獎1次獲一等獎的概率為,所以X~B. 于是P(X=0)=C03 =, P(X=1)=C12=, P(X=2)=C21=, P(X=3)=C30=. 故X的概率分布如下表: X 0 1 2 3 P 故X的均值為E(X)=3=. 當堂訓練 1.1.18 2. 3.0.4 4.解 (1)ξ的概率分布如下表: ξ 0 1 2 3 4 P ξ的均值為E(ξ)=0+1+2+3+4=. (2)E(η)=aE(ξ)+4=1,又E(ξ)=, 則a+4=1,∴a=-2.- 配套講稿:
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