（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級(jí) 重點(diǎn)增分 專題七 空間幾何體的三視圖、表面積及體積講義 理（普通生含解析）.doc

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重點(diǎn)增分專題七　空間幾何體的三視圖、表面積及體積 [全國卷3年考情分析] 年份 全國卷Ⅰ 全國卷Ⅱ 全國卷Ⅲ 2018 空間幾何體的三視圖、直觀圖及最短路徑問題T7 圓錐的性質(zhì)及側(cè)面積的計(jì)算T16 三視圖與數(shù)學(xué)文化T3 與外接球有關(guān)的空間幾何體體積的最值問題T10 2017 空間幾何體的三視圖與直觀圖、面積的計(jì)算T7 空間幾何體的三視圖及組合體體積的計(jì)算T4 球的內(nèi)接圓柱、圓柱的體積的計(jì)算T8 2016 有關(guān)球的三視圖及表面積的計(jì)算T6 空間幾何體的三視圖及組合體表面積的計(jì)算T6 空間幾何體的三視圖及表面積的計(jì)算T9 與直三棱柱有關(guān)的球體積的最值問題T10 (1)“立體幾何”在高考中一般會(huì)以“兩小一大”或“一小一大”的命題形式出現(xiàn)，這“兩小”或“一小”主要考查三視圖，幾何體的表面積與體積，空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系(特別是平行與垂直)． (2)考查一個(gè)小題時(shí)，本小題一般會(huì)出現(xiàn)在第4～8題的位置上，難度一般；考查兩個(gè)小題時(shí)，其中一個(gè)小題難度一般，另一小題難度稍高，一般會(huì)出現(xiàn)在第10～16題的位置上，本小題雖然難度稍高，主要體現(xiàn)在計(jì)算量上，但仍是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本公式的考查． 保分考點(diǎn)練后講評(píng) 1.下列三視圖所對(duì)應(yīng)的直觀圖是(　　) 解析：選C　由三視圖知，幾何體的直觀圖下部是長方體，上部是圓柱，并且高相等，所以C選項(xiàng)符合題意． 2.如圖是一個(gè)空間幾何體的正視圖和俯視圖，則它的側(cè)視圖為(　　) 解析：選A　由正視圖和俯視圖可知，該幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的，結(jié)合正視圖的寬及俯視圖的直徑可知側(cè)視圖應(yīng)為A，故選A. 3.(2018全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　) 解析：選A　由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A. [解題方略] 1．識(shí)別三視圖的步驟 (1)應(yīng)把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚或根據(jù)幾何體的具體形狀，明確幾何體的擺放位置． (2)根據(jù)三視圖的有關(guān)規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側(cè)視圖． (3)被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線． 2．由三視圖還原到直觀圖的思路 (1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面． (2)根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置． (3)確定幾何體的直觀圖形狀． 3．由幾何體的部分視圖判斷剩余的視圖的思路 先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分三視圖是否符合． 幾何體的表面積與體積 增分考點(diǎn)講練沖關(guān) [典例]　(1)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中提到了一種名為“芻甍”的五面體，如圖所示，四邊形ABCD為矩形，棱EF∥AB.若此幾何體中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形，則該幾何體的表面積為(　　) A．8　　　　　　　 　B．8＋8 C．6＋2 D．8＋6＋2 (2)(2017全國卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　) A．90π B．63π C．42π D．36π (3)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90，點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)AD＋DC1最小時(shí)，三棱錐DABC1的體積為________． [解析]　(1)如圖所示，取BC的中點(diǎn)P， 連接PF，則PF⊥BC，過F作FQ⊥AB，垂足為Q. 因?yàn)椤鰽DE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形，且EF∥AB， 所以四邊形ABFE為等腰梯形，F(xiàn)P＝， 則BQ＝(AB－EF)＝1，F(xiàn)Q＝＝， 所以S梯形EFBA＝S梯形EFCD＝(2＋4)＝3， 又S△ADE＝S△BCF＝2＝， S矩形ABCD＝42＝8， 所以該幾何體的表面積S＝32＋2＋8＝8＋8.故選B. (2)法一：(分割法)由題意知，該幾何體是一個(gè)組合體，下半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積V1＝π324＝36π； 上半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為6的圓柱的一半， 其體積V2＝π326＝27π. 所以該組合體的體積V＝V1＋V2＝36π＋27π＝63π. 法二：(補(bǔ)形法)由題意知，該幾何體是一圓柱被一平面截去一部分后所得的幾何體，在該幾何體上方再補(bǔ)上一個(gè)與其相同的幾何體，讓截面重合，則所得幾何體為一個(gè)圓柱，該圓柱的底面半徑為3，高為10＋4＝14，該圓柱的體積V1＝π3214＝126π.故該幾何體的體積為圓柱體積的一半，即V＝V1＝63π. (3)將平面AA1B1B沿著B1B旋轉(zhuǎn)到與平面CC1B1B在同一平面上(點(diǎn)B在線段AC上)，連接AC1與B1B相交于點(diǎn)D，此時(shí)AD＋DC1最小，BD＝CC1＝1.因?yàn)樵谥比庵?，BC⊥AB，BC⊥BB1，且BB1∩AB＝B，所以BC⊥平面AA1B1B，又CC1∥平面AA1B1B，所以V三棱錐DABC1＝V三棱錐C1ABD＝V三棱錐CABD＝S△ABDBC＝112＝. [答案]　(1)B　(2)B　(3) [解題方略] 1．求幾何體的表面積的方法 (1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn)． (2)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成柱、錐、臺(tái)體，先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差求得所給幾何體的表面積． 2．求空間幾何體體積的常用方法 公式法 直接根據(jù)常見柱、錐、臺(tái)等規(guī)則幾何體的體積公式計(jì)算 等積法 根據(jù)體積計(jì)算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更容易，或是求出一些體積比等 割補(bǔ)法 把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為可計(jì)算體積的幾何體 [多練強(qiáng)化] 1．(2018全國卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(　　) A．12π B．12π C．8π D．10π 解析：選B　設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x， 則x2＝8，得x＝2， ∴S圓柱表＝2S底＋S側(cè)＝2π()2＋2π2 ＝12π.故選B. 2．(2019屆高三湖北五校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是(　　) A．13 B．14 C．15 D．16 解析：選C　所求幾何體可看作是將長方體截去兩個(gè)三棱柱得到的幾何體，在長方體中還原該幾何體如圖中ABCDA′B′C′D′所示，長方體的長、寬、高分別為4,2,3，兩個(gè)三棱柱的高為2，底面是兩直角邊長分別為3和1.5的直角三角形，故該幾何體的體積V＝423－232＝15. 3．如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，點(diǎn)P在棱CC1上，則三棱錐PABA1的體積為_______． 解析：由題意，得V三棱錐PABA1＝V三棱錐CABA1＝V三棱錐A1ABC＝S△ABCAA1＝323＝. 答案： [析母題] [典例]　在三棱錐PABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱錐PABC的外接球的體積為(　　) A.π　　　　　　　　　 B.π C．27π D．27π [解析]　∵在三棱錐PABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3， ∴△PAB≌△PBC≌△PAC. ∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥PB. 以PA，PB，PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體(如圖所示)， 則正方體的外接球同時(shí)也是三棱錐PABC的外接球． ∵正方體的體對(duì)角線長為＝3， ∴其外接球半徑R＝. 因此三棱錐PABC的外接球的體積V＝3＝π. [答案]　B [練子題] 1．在本例條件下，求三棱錐PABC的內(nèi)切球的半徑為________． 解析：由本例解析知， S△PAB＝S△PBC＝S△PAC＝， S△ABC＝33sin 60＝. 設(shè)三棱錐PABC的內(nèi)切球的半徑為r， 則VPABC＝APS△PBC＝(S△PAC＋S△PBA＋S△PBC＋S△ABC)r， ∴3＝r， 解得r＝， ∴所求三棱錐內(nèi)切球的半徑為. 答案： 2．若本例變?yōu)椋阂阎狝，B，C，D是球O上不共面的四點(diǎn)，且AB＝BC＝AD＝1，BD＝AC＝，BC⊥AD，則球O的體積為________． 解析：因?yàn)锳B＝BC＝1，AC＝，所以AB2＋BC2＝AC2，所以BC⊥AB，又BC⊥AD，AD∩AB＝A，所以BC⊥平面ABD.因?yàn)锳B＝AD＝1，BD＝，所以AB2＋AD2＝BD2，所以AB⊥AD，此時(shí)可將點(diǎn)A，B，C，D看成棱長為1的正方體上的四個(gè)頂點(diǎn)，球O為正方體的外接球，設(shè)球O的半徑為R，故2R＝，所以R＝，則球O的體積V＝πR3＝π. 答案：π [解題方略] 1．空間幾何體與球接、切問題的求解方法 (1)確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與幾何體的位置和數(shù)量關(guān)系． (2)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解． (3)補(bǔ)成正方體、長方體、正四面體、正棱柱、圓柱等規(guī)則幾何體． 2．與球有關(guān)的組合體的常用結(jié)論 (1)長方體的外接球： ①球心：體對(duì)角線的交點(diǎn)； ②半徑：r＝(a，b，c為長方體的長、寬、高)． (2)正方體的外接球、內(nèi)切球 ①外接球：球心是正方體中心，半徑r＝a(a為正方體的棱長)； ②內(nèi)切球：球心是正方體中心，半徑r＝(a為正方體的棱長)． [多練強(qiáng)化] 1．(2018福州質(zhì)檢)已知正三棱柱ABCA1B1C1中，底面積為，一個(gè)側(cè)面的周長為6，則正三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面積為(　　) A．4π B．8π C．16π D．32π 解析：選C　如圖所示，設(shè)底面邊長為a，則底面面積為a2＝，所以a＝.又一個(gè)側(cè)面的周長為6，所以AA1＝2.設(shè)E，D分別為上、下底面的中心，連接DE，設(shè)DE的中點(diǎn)為O，則點(diǎn)O即為正三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心，連接OA1，A1E，則OE＝，A1E＝＝1.在Rt△OEA1中，OA1＝＝2，即外接球的半徑R＝2，所以外接球的表面積S＝4πR2＝16π. 2．(2019屆高三武昌調(diào)研)已知底面半徑為1，高為的圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球O的球面上，則球O的表面積為(　　) A. B．4π C. D．12π 解析：選C　如圖，△ABC為圓錐的軸截面，O為其外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為R，連接OB，OA，并延長AO交BC于點(diǎn)D，則AD⊥BC，由題意知，AO＝BO＝R，BD＝1，AD＝，則在 Rt△BOD中，有R2＝(－R)2＋12，解得R＝，所以外接球O的表面積S＝4πR2＝，故選C. 3．(2018全國卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐DABC體積的最大值為(　　) A．12 B．18 C．24 D．54 解析：選B　由等邊△ABC的面積為9，可得AB2＝9，所以AB＝6，所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝AB＝2.設(shè)球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d＝＝＝2.所以三棱錐DABC高的最大值為2＋4＝6，所以三棱錐DABC體積的最大值為96＝18. 4.(2017江蘇高考)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________． 解析：設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)榍騉與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，所以圓柱的底面半徑為R、高為2R，所以＝＝. 答案： 直觀想象——三視圖中相關(guān)問題的求解 [典例]　已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于(　　) A．2π＋4 B．4π＋2 C.＋4 D.＋8 [解析]　由三視圖可知，該幾何體的直觀圖為左側(cè)半球、中間正方體、右側(cè)圓錐的組合體．其中，半球的半徑r1與圓錐的底面半徑r2相等，皆為1，即r1＝r2＝1，正方體的棱長a＝2，圓錐的高h(yuǎn)＝2. 所以半球的體積V1＝r＝13＝， 正方體的體積V2＝a3＝23＝8， 圓錐的體積V3＝πrh＝π122＝. 所以該組合體的體積V＝V1＋V2＋V3＝＋8＋＝＋8.故選D. [答案]　D [素養(yǎng)通路] 本題以組合體的三視圖為背景，主要是根據(jù)幾何體的三視圖及三視圖中的數(shù)據(jù)，求幾何體的體積或側(cè)(表)面積．此類問題難點(diǎn)：一是根據(jù)三視圖的形狀特征確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征；二是將三視圖中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為幾何體的幾何度量．考查了直觀想象這一核心素養(yǎng)． 一、選擇題 1．如圖所示是一個(gè)物體的三視圖，則此三視圖所描述物體的直觀圖是(　　) 解析：選D　先觀察俯視圖，由俯視圖可知選項(xiàng)B和D中的一個(gè)正確，由正視圖和側(cè)視圖可知選項(xiàng)D正確． 2．設(shè)一個(gè)球形西瓜，切下一刀后所得切面圓的半徑為4，球心到切面圓心的距離為3，則該西瓜的體積為(　　) A．100π　　　　　　　　　 B.π C.π D.π 解析：選D　因?yàn)榍忻鎴A的半徑r＝4，球心到切面的距離d＝3，所以球的半徑R＝＝＝5，故球的體積V＝πR3＝π53＝π，即該西瓜的體積為π. 3．(2019屆高三開封高三定位考試)某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為(　　) A．4π B．2π C. D．π 解析：選B　由題意知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體為圓柱的一部分，設(shè)底面扇形的圓心角為α，由tan α＝＝，得α＝，故底面面積為22＝，則該幾何體的體積為3＝2π. 4．《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中間的實(shí)線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側(cè)面積為(　　) A．2 B．4＋2 C．4＋4 D．4＋6 解析：選C　由三視圖知，該幾何體是直三棱柱ABCA1B1C1，其直觀圖如圖所示，其中AB＝AA1＝2，BC＝AC＝，∠C＝90，側(cè)面為三個(gè)矩形，故該“塹堵”的側(cè)面積S＝(2＋2)2＝4＋4. 5．(2018惠州二調(diào))如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)全等的等腰直角三角形，且直角邊長都等于1，則該幾何體的外接球的體積為(　　) A.π　　　　　　　　 B.π C．3π　　　　　 　　 　 D.π 解析：選B　還原幾何體為如圖所示的三棱錐ABCD，將其放入棱長為1的正方體中，如圖所示，則三棱錐ABCD外接球的半徑R＝，該幾何體的外接球的體積V＝πR3＝π，故選B. 6．已知某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個(gè)幾何體的體積是(　　) A. cm3 B. cm3 C．2 cm3 D．4 cm3 解析：選B　由三視圖可知，該幾何體為底面是正方形，且邊長為2 cm，高為2 cm的四棱錐，如圖，故V＝222＝(cm3)． 7．如圖，已知△EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA＝EB＝3，AD＝2，∠AEB＝60，則多面體EABCD的外接球的表面積為(　　) A. B．8π C．16π D．64π 解析：選C　由題知△EAB為等邊三角形，設(shè)球心為O，O在平面ABCD的射影為矩形ABCD的中心，O在平面ABE上的射影為△EAB的重心G，又由平面EAB⊥平面ABCD，則△OGA為直角三角形，OG＝1，AG＝，所以R2＝4，所以多面體EABCD的外接球的表面積為4πR2＝16π. 8．(2018昆明摸底)古人采取“用臼舂米”的方法脫去稻谷的外殼，獲得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石頭或木頭制成．一個(gè)“臼”的三視圖如圖所示，則鑿去部分(看成一個(gè)簡單的組合體)的體積為(　　) A．63π B．72π C．79π D．99π 解析：選A　由三視圖得鑿去部分是圓柱與半球的組合體，其中圓柱的高為5，底面圓的半徑為3，半球的半徑為3，所以組合體的體積為π325＋π33＝63π. 9．(2019屆高三武漢調(diào)研)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為(　　) A．28 B．24＋2 C．20＋4 D．20＋2 解析：選B　根據(jù)該幾何體的三視圖作出其直觀圖如圖所示，可知該幾何體是一個(gè)底面是梯形的四棱柱．根據(jù)三視圖給出的數(shù)據(jù)，可得該幾何體中梯形的上底長為2，下底長為3，高為2，所以該幾何體的表面積S＝ (2＋3)22＋22＋23＋22＋2＝24＋2，故選B. 10.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，其中正視圖是邊長為2的等邊三角形，側(cè)視圖是直角邊長分別為1和的直角三角形，俯視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的內(nèi)接三棱錐的體積的最大值為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　由三視圖可知該幾何體為半個(gè)圓錐，圓錐的母線長l＝2，底面半徑r＝1，高h(yuǎn)＝.由半圓錐的直觀圖可得，當(dāng)三棱錐的底面是斜邊，為半圓直徑，高為半徑的等腰直角三角形，棱錐的高為半圓錐的高時(shí)，其內(nèi)接三棱錐的體積達(dá)到最大值，最大體積為V＝21＝，故選B. 11．(2019屆高三貴陽摸底考試)某實(shí)心幾何體是用棱長為1 cm的正方體無縫粘合而成的，其三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．50 cm2 B．61 cm2 C．84 cm2 D．86 cm2 解析：選D　根據(jù)題意可知該幾何體由3個(gè)長方體(最下面長方體的長、寬、高分別為5 cm,5 cm, 1 cm；中間長方體的長、寬、高分別為3 cm,3 cm,1 cm；最上面長方體的長、寬、高分別為1 cm,1 cm,1 cm)疊合而成，長、寬、高分別為5 cm,5 cm,1 cm的長方體的表面積為2(55＋51＋51)＝235＝70(cm2)；長、寬、高分別為3 cm,3 cm,1 cm的長方體的表面積為2(33＋31＋31)＝215＝30(cm2)；長、寬、高分別為1 cm，1 cm,1 cm的長方體的表面積為2(11＋11＋11)＝23＝6(cm2)．由于幾何體的疊加而減少的面積為2(33)＋2(11)＝210＝20(cm2)，所以所求表面積為70＋30＋6－20＝86(cm2)． 12．在棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1中，P在線段BD1上，且＝，M為線段B1C1上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐MPBC的體積為(　　) A．1 B. C. D．與M點(diǎn)的位置有關(guān) 解析：選B　∵＝，∴點(diǎn)P到平面BCC1B1的距離是D1到平面BCC1B1距離的，即為＝1.M為線段B1C1上的點(diǎn)，∴S△MBC＝33＝， ∴VMPBC＝VPMBC＝1＝. 13．(2018洛陽尖子生第一次聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．2 B．1 C. D. 解析：選C　由題圖可知該幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖所示，其中PD⊥平面ABCD，底面ABCD是一個(gè)對(duì)角線長為2的正方形，底面積S＝ 22＝2，高h(yuǎn)＝1，則該幾何體的體積V＝Sh＝，故選C. 14．(2018武漢調(diào)研)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　由三視圖知，該幾何體是在長、寬、高分別為2,1,1的長方體中，截去一個(gè)三棱柱AA1D1BB1C1和一個(gè)三棱錐CBC1D后剩下的幾何體，即如圖所示的四棱錐DABC1D1，四棱錐DABC1D1的底面積為S四邊形ABC1D1＝2＝2，高h(yuǎn)＝， 其體積V＝S四邊形ABC1D1h＝2＝. 15．(2019屆高三安徽知名示范高中聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．1 B. C. D. 解析：選C　法一：該幾何體的直觀圖為如圖所示的四棱錐SABCD，SD⊥平面ABCD，且SD＝1，四邊形ABCD是平行四邊形，且AB＝DC＝1，連接BD，由題意知BD⊥DC，BD⊥AB，且BD＝1，所以S四邊形ABCD＝1，所以VSABCD＝S四邊形ABCDSD＝. 法二：由三視圖易知該幾何體為錐體，所以V＝Sh，其中S指的是錐體的底面積，即俯視圖中四邊形的面積，易知S＝1，h指的是錐體的高，從正視圖和側(cè)視圖易知h＝1，所以V＝Sh＝. 16．(2018福州質(zhì)檢)已知三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝8.若平面ABC截球O所得截面的面積為9π，則球O的表面積為(　　) A．10π B．25π C．50π D．100π 解析：選D　設(shè)球O的半徑為R，由平面ABC截球O所得截面的面積為9π，得△ABC的外接圓的半徑為3.設(shè)該外接圓的圓心為D，因?yàn)锳B⊥BC，所以點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，所以DC＝3.因?yàn)镻A⊥平面ABC，易證PB⊥BC，所以PC為球O的直徑．又PA＝8，所以O(shè)D＝PA＝4，所以R＝OC＝＝5， 所以球O的表面積為S＝4πR2＝100π. 二、填空題 17．一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖為正三角形，則該四棱錐的體積是________． 解析：由四棱錐的三視圖可知，該四棱錐的直觀圖如圖中四棱錐PABCD所示，底面ABCD為邊長為1的正方形，△PAD是邊長為1的等邊三角形，作PO⊥AD于點(diǎn)O，則O為AD的中點(diǎn)，所以四棱錐的體積為V＝11＝. 答案： 18.如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)．若AA1＝4，AB＝2，則四棱錐BACC1D的體積為________． 解析：取AC的中點(diǎn)O，連接BO(圖略)，則BO⊥AC， 所以BO⊥平面ACC1D. 因?yàn)锳B＝2，所以BO＝. 因?yàn)镈為棱AA1的中點(diǎn)，AA1＝4，所以AD＝2， 所以S梯形ACC1D＝(2＋4)2＝6， 所以四棱錐BACC1D的體積為6＝2. 答案：2 19.如圖，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱，則圓柱的側(cè)面積最大值是________． 解析：設(shè)圓柱的上底面半徑為r，球的半徑與上底面夾角為α， 則r＝4cos α，圓柱的高為8sin α. 所以圓柱的側(cè)面積為32πsin 2α. 當(dāng)且僅當(dāng)α＝時(shí)，sin 2α＝1，圓柱的側(cè)面積最大， 所以圓柱的側(cè)面積的最大值為32π. 答案：32π 20．(2018沈陽質(zhì)檢)已知在正四棱錐SABCD中，SA＝6，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為________． 解析：設(shè)正四棱錐的底面正方形的邊長為a，高為h，因?yàn)樵谡睦忮FSABCD中，SA＝6，所以＋h2＝108，即a2＝216－2h2，所以正四棱錐的體積VSABCD＝a2h＝72h－h(huán)3，令y＝72h－h(huán)3，則y′＝72－2h2，令y′>0，得06，所以當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為6. 答案：6