2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.6 曲線與方程 2.6.2 求曲線的方程講義(含解析)蘇教版選修2-1.doc
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2.6.2 求曲線的方程 在平面直角坐標(biāo)系中,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,-3),(4,-1). 問(wèn)題1:求平面上任一點(diǎn)M(x,y)到A點(diǎn)的距離. 提示:MA=. 問(wèn)題2:試列出到點(diǎn)A、B距離相等的點(diǎn)滿足的方程. 提示:MA=MB, 即 =. 求曲線方程的一般步驟 正確認(rèn)識(shí)求曲線方程的一般步驟: (1)“建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系”所謂“適當(dāng)”是指若曲線是軸對(duì)稱圖形,則可以選它的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸;其次,可以選曲線上的特殊點(diǎn)作為原點(diǎn). (2)“設(shè)曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)”.這一步實(shí)際上是在挖掘形成曲線的條件中所含的等量關(guān)系. (3)“列出符合p(M)的方程f(x,y)=0.”這里就是等量關(guān)系的坐標(biāo)化,完成這一步需要使用解析幾何的基本公式及平面幾何、三角等基礎(chǔ)知識(shí). (4)“化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式”.化簡(jiǎn)時(shí)需要使用代數(shù)中的恒等變形的方法. (5)“說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”.這一步的證明是必要的.從教材內(nèi)容看,這一步不作要求,可以省略,但在完成第(4)步時(shí),所用的變形方法應(yīng)都是可逆的,否則要作適當(dāng)說(shuō)明. 直接法求曲線方程 [例1] △ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a>c>b,且a,c,b成等差數(shù)列,AB=2,求頂點(diǎn)C的軌跡方程. [思路點(diǎn)撥] 由a,c,b成等差數(shù)列可得a+b=2c;由a>c>b可知所求軌跡方程是整個(gè)軌跡方程的一部分;由AB=2可建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.于是可按求曲線方程的一般步驟求解. [精解詳析] 以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸, 建立平面直角坐標(biāo)系,則A(-1,0), B(1,0),設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y), 由已知得AC+BC=2AB. 即 +=4, 整理化簡(jiǎn)得3x2+4y2-12=0,即+=1. 又∵a>c>b,∴x<0且x≠-2. 所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為 +=1(x<0且x≠-2). [一點(diǎn)通] 1.“直接法”求曲線方程遵循求曲線方程的五個(gè)步驟,在實(shí)際求解時(shí)可簡(jiǎn)化為三大步,即:建系、設(shè)點(diǎn)→根據(jù)條件列方程→化簡(jiǎn); 2.其中“建系”是指建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系.所謂“適當(dāng)”應(yīng)使計(jì)算量較小,且所得的方程形式較簡(jiǎn)單.若坐標(biāo)系建立不當(dāng),計(jì)算量就會(huì)大大增加,有時(shí)很可能得不到正確的結(jié)果. 1.若將本例已知條件“a>c>b且a,c,b成等差數(shù)列”改為“△ABC的周長(zhǎng)為6且AB=2”,求頂點(diǎn)C的軌跡方程. 解:以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系. 則A(-1,0),B(1,0),設(shè)C(x,y), 由已知得AC+BC+AB=6. 即+=4. 化簡(jiǎn)整理得3x2+4y2-12=0,即+=1. ∵A、B、C三點(diǎn)不能共線, ∴x≠2. 綜上,點(diǎn)C的軌跡方程為+=1(x≠2). 2.已知三點(diǎn)O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線C上任意一點(diǎn)M(x,y)滿足|+ |=(+)+2.求曲線C的方程. 解:由=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),得 |+|=, 又(+)=(x,y)(0,2)=2y, 由已知得 =2y+2, 化簡(jiǎn)得曲線C的方程是x2=4y. 定義法求曲線方程 [例2] 已知圓A:(x+2)2+y2=1與定直線l:x=1,且動(dòng)圓P和圓A外切并與直線l相切,求動(dòng)圓的圓心P的軌跡方程. [思路點(diǎn)撥] 利用平面幾何的知識(shí),分析點(diǎn)P滿足的條件為拋物線,可用定義法求解. [精解詳析] 如圖,作PK垂直于直線x=1,垂足為K,PQ垂直于直線x=2,垂足為Q,則KQ=1,所以PQ=r+1,又AP=r+1, 所以AP=PQ, 故點(diǎn)P到圓心A(-2,0)的距離和到定直線x=2的距離相等,所以點(diǎn)P的軌跡為拋物線, A(-2,0)為焦點(diǎn),直線x=2為準(zhǔn)線. ∴=2,∴p=4, ∴點(diǎn)P的軌跡方程為y2=-8x. [一點(diǎn)通] 若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何條件滿足某種已知曲線的定義,可以設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程,然后用待定系數(shù)法求解,這種求軌跡的方法稱為定義法,利用定義法求軌跡要善于抓住曲線的定義的特征. 3.點(diǎn)P與定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到定直線x=8的距離的比是1∶2,求點(diǎn)P的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是什么圖形. 解:設(shè)d是點(diǎn)F到直線x=8的距離, 根據(jù)題意,得=. 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知,點(diǎn)P的軌跡是以F(2,0)為焦點(diǎn),x=8為準(zhǔn)線的橢圓,則解得 ∴b2=a2-c2=16-4=12. 故點(diǎn)P的軌跡方程為+=1. 4.如圖所示,已知點(diǎn)C為圓(x+)2+y2=4的圓心,點(diǎn)A(,0),P是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在圓的半徑CP上,且=0,=2.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)Q的軌跡方程. 解:圓(x+)2+y2=4的圓心為C(-,0),半徑r=2,∵=0,=2, ∴MQ⊥AP,點(diǎn)M為AP的中點(diǎn),即QM垂直平分AP. 連結(jié)AQ, 則AQ=QP, ∴|QC-QA|=|QC-QP|=CP=r=2. 又|AC|=2>2,根據(jù)雙曲線的定義,點(diǎn)Q的軌跡是以C(-,0),A(,0)為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線, 由c=,a=1,得b2=1, 因此點(diǎn)Q的軌跡方程為x2-y2=1. 代入法求曲線方程 [例3] 動(dòng)點(diǎn)M在曲線x2+y2=1上移動(dòng),M和定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)為P,求P點(diǎn)的軌跡方程. [思路點(diǎn)撥] 設(shè)出點(diǎn)P、M的坐標(biāo),用M的坐標(biāo)表示P的坐標(biāo),再借助M滿足的關(guān)系即可得到P的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系. [精解詳析] 設(shè)P(x,y),M(x0,y0), ∵P為MB的中點(diǎn),∴ 即 又∵M(jìn)在曲線x2+y2=1上, ∴(2x-3)2+(2y)2=1. ∴P點(diǎn)的軌跡方程為(2x-3)2+4y2=1. [一點(diǎn)通] 代入法:利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與某一已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系,把所求動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為已知?jiǎng)狱c(diǎn).具體地說(shuō),就是用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)來(lái)表示已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo),并代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足的曲線方程,由此即可求得所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的軌跡方程. 5.已知圓C的方程為x2+y2=4,過(guò)圓C上的一動(dòng)點(diǎn)M作平行于x軸的直線m,設(shè)直線m與y軸的交點(diǎn)為N,若=+,求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程. 解:設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)(y0≠0),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0,y0). 因?yàn)椋剑? 即(x,y)=(x0,y0)+(0,y0)=(x0,2y0), 則x0=x,y0=. 又因?yàn)辄c(diǎn)M在圓C上,所以x+y=4. 即x2+=4(y≠0). 所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是+=1(y≠0). 6.已知曲線C:y2=x+1,定點(diǎn)A(3,1),B為曲線C上的任意一點(diǎn),點(diǎn)P在線段AB上,且有BP∶PA=1∶2,當(dāng)B點(diǎn)在曲線C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)P的軌跡方程. 解:設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),B點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0), 由BP∶PA=1∶2,得=2, 即(3-x,1-y)=2(x-x0,y-y0). ∴ ∴ ∵點(diǎn)B(x0,y0)在曲線y2=x+1上, ∴2=+1. 化簡(jiǎn)得:2=. 即點(diǎn)P的軌跡方程為2=. 1.求曲線的方程時(shí),若題設(shè)條件中無(wú)坐標(biāo)系,則需要恰當(dāng)建系,要遵循垂直性和對(duì)稱性的原則,即借助圖形中互相垂直的直線建系,借助圖形的對(duì)稱性建系.一方面讓盡量多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,另一方面能使求出的軌跡方程形式簡(jiǎn)捷. 2.求曲線的方程常用的方法. (1)直接法; (2)定義法; (3)相關(guān)點(diǎn)代入法; (4)待定系數(shù)法等. [對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十六)] 1.到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是________. 解析:設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y),到兩坐標(biāo)軸的距離為|x|,|y|. 則|x|=|y|,∴x2=y(tǒng)2. 答案:x2=y(tǒng)2 2.等腰三角形底邊的兩個(gè)頂點(diǎn)是B(2,1),C(0,-3),則另一頂點(diǎn)A的軌跡方程是________. 解析:設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y). 由已知得AB=AC, 即=. 化簡(jiǎn)得 x+2y+1=0. ∵點(diǎn)A不能在直線BC上,∴x≠1, ∴頂點(diǎn)A的軌跡方程為x+2y+1=0(x≠1). 答案:x+2y+1=0(x≠1) 3.已知兩定點(diǎn)A(-1,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足=,則P點(diǎn)的軌跡方程是________. 解析:設(shè)P(x,y),由已知得=, 化簡(jiǎn)得:x2+4x+y2=0. 即(x+2)2+y2=4. 答案:(x+2)2+y2=4 4.已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0),如果動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=2PB,則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于________. 解析:設(shè)P(x,y),由題知(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理得x2-4x+y2=0,配方得(x-2)2+y2=4,可知圓的面積為4π. 答案:4π 5.已知直線l:2x+4y+3=0,P為l上的動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)Q分線段OP為1∶2兩部分,則Q點(diǎn)的軌跡方程是________. 解析:據(jù)題意,=3,設(shè)P(x′,y′),Q(x,y), 則又∵P(x′,y′)在2x+4y+3=0上, ∴2(3x)+4(3y)+3=0,即2x+4y+1=0, 即點(diǎn)Q的軌跡方程為2x+4y+1=0. 答案:2x+4y+1=0 6.若動(dòng)點(diǎn)P在曲線y=2x2+1上移動(dòng),求點(diǎn)P與Q(0,-1)連線中點(diǎn)M的軌跡方程. 解:設(shè)P(x0,y0),中點(diǎn)M(x,y), 則∴ 又P(x0,y0)在曲線y=2x2+1上, ∴2y+1=2(2x)2+1,即y=4x2. ∴點(diǎn)M的軌跡方程為y=4x2. 7.已知雙曲線2x2-2y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P為動(dòng)點(diǎn),若PF1+PF2=6,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程. 解:依題意雙曲線方程可化為-=1, 則F1F2=2. ∴PF1+PF2=6>F1F2=2, ∴點(diǎn)P的軌跡是以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓,其方程可設(shè)為+=1(a>b>0). 由2a=6,2c=2得a=3,c=1. ∴b2=a2-c2=8. 則所求橢圓方程為+=1. 故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為+=1. 8.如圖所示,A(m,m)和B(n,-n)兩點(diǎn)分別在射線OS,OT上移動(dòng),且=-,O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足=+. (1)求mn的值; (2)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,并說(shuō)明它表示什么曲線? 解:(1)由=(m,m)(n,-n)=-2mn. 得-2mn=-,即mn=. (2)設(shè)P(x,y)(x>0),由=+, 得(x,y)=(m,m)+(n,-n)=(m+n,m-n), ∴ 整理得x2-=4mn, 又mn=, ∴P點(diǎn)的軌跡方程為x2-=1(x>0). 它表示以原點(diǎn)為中心,焦點(diǎn)在x軸上,實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為4的雙曲線x2-=1的右支.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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