(通用版)2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題三 導(dǎo)數(shù)的幾何意義及簡單應(yīng)用講義 理(重點生含解析).doc
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專題三 數(shù)的幾何意義及簡單應(yīng)用 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 奇函數(shù)的定義及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程T5 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程T13 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)值T14 利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性T21(1) 2017 利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性T21(1) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值T11 _______ 利用導(dǎo)數(shù)的極值點求參數(shù)T21(1) 2016 ________ 導(dǎo)數(shù)的計算與幾何意義、直線方程、斜率計算公式T16 函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程T15 利用導(dǎo)數(shù)公式直接求導(dǎo)T21(1) 縱向 把握 趨勢 卷Ⅰ3年3考,涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及討論函數(shù)的單調(diào)性,其中利用導(dǎo)數(shù)求切線方程難度偏小,而用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性難度偏大.預(yù)計2019年仍會以解答題的形式考查函數(shù)單調(diào)性的討論 卷Ⅱ3年4考,涉及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值,題型為選擇、填空題,難度適中.預(yù)計2019年高考會考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,難度偏大 卷Ⅲ3年3考,涉及導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用,題型多為填空題.預(yù)計2019年仍會考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用,另外,要重點關(guān)注利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 橫向 把握 重點 1.高考對導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查,多在選擇題、填空題中出現(xiàn),難度較小. 2.高考重點考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,即利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題,多在選擇、填空的后幾題中出現(xiàn),難度中等,有時也出現(xiàn)在解答題第一問. 3.近幾年全國卷對定積分及其應(yīng)用的考查極少,題目一般比較簡單,但也不能忽略. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 [題組全練] 1.(2018全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f (x)=x3+(a-1)x2+ax,若f (x)為奇函數(shù),則曲線y=f (x)在點(0,0)處的切線方程為( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 解析:選D ∵f (x)=x3+(a-1)x2+ax, ∴f ′(x)=3x2+2(a-1)x+a. 又∵f (x)為奇函數(shù),∴f (-x)=-f (x)恒成立, 即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立, ∴a=1,∴f ′(x)=3x2+1,∴f ′(0)=1, ∴曲線y=f (x)在點(0,0)處的切線方程為y=x. 2.過點(0,-1)的直線l與曲線y=ln x相切,則原點到l的距離為( ) A.1 B. C. D. 解析:選C 設(shè)切點為(x0,ln x0). 由y=ln x,得y′=, 所以直線l的斜率k=y(tǒng)′|x=x0=, 所以切線方程為y-ln x0=(x-x0), 即y=x+ln x0-1. 因為切線過點(0,-1), 則-1=ln x0-1, 即x0=1, 所以切線方程為y=x-1, 即x-y-1=0, 所以原點到l的距離d==,故選C. 3.(2018唐山模擬)曲線y=與其在點(0,-1)處的切線及直線x=1所圍成的封閉圖形的面積為( ) A.1-ln 2 B.2-2ln 2 C.2ln 2-1 D.ln 2 解析:選C 因為y=,所以y′=′=,則曲線y=在(0,-1)處的切線的斜率k=2,切線方程為y=2x-1,則曲線y=與其在點(0,-1)處的切線及直線x=1所圍成的封閉圖形的面積S=2x-1-dx=2x-1-1+dx=[x2-2x+2ln(x+1)] =2ln 2-1. 4.(2018全國卷Ⅲ)曲線y=(ax+1)ex在點(0,1)處的切線的斜率為-2,則a=________. 解析:∵y′=(ax+a+1)ex,∴當(dāng)x=0時,y′=a+1, ∴a+1=-2,解得a=-3. 答案:-3 5.已知曲線y=x+ln x在點(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=________. 解析:由y=x+ln x,得y′=1+,則曲線y=x+ln x在點(1,1)處的切線斜率為2,故切線方程為y=2x-1,與y=ax2+(a+2)x+1聯(lián)立,得ax2+ax+2=0,顯然a≠0,所以由Δ=a2-8a=0?a=8. 答案:8 [系統(tǒng)方法] 1.求過切點切線問題的基本思路 設(shè)曲線在(x0,y0)處的切線為l,則根據(jù) 2.過非切點的切線的求法 設(shè)出切點坐標(biāo)(x0,f (x0)),先求出在x=x0處的切線方程,然后把所過點的坐標(biāo)代入即求出x0,從而得出切線方程. 3.由曲線的切線求參數(shù)的方法 已知曲線在某點處的切線求參數(shù)的關(guān)鍵是用“方程思想”來破解,先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),從而求出在某點處的導(dǎo)數(shù)值;再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與已知條件,建立關(guān)于參數(shù)的方程,通過解方程求出參數(shù)的值. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 [多維例析] 角度一 討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)單調(diào)區(qū)間 已知函數(shù)f (x)=x2+2cos x,g(x)=ex(cos x-sin x+2x-2),其中e是自然對數(shù)的底數(shù). (1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)討論函數(shù)h(x)=g(x)-af (x)(a∈R)的單調(diào)性. [解] (1)g′(x)=(ex)′(cos x-sin x+2x-2)+ex(cos x-sin x+2x-2)′=ex(cos x-sin x+2x-2-sin x-cos x+2)=2ex(x-sin x). 記p(x)=x-sin x, 則p′(x)=1-cos x. 因為cos x∈[-1,1],所以p′(x)=1-cos x≥0,所以函數(shù)p(x)在R上單調(diào)遞增. 而p(0)=0-sin 0=0,所以當(dāng)x<0時,p(x)<0,g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x>0時,p(x)>0,g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增. 綜上,函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞). (2)因為h(x)=g(x)-af (x)=ex(cos x-sin x+2x-2)-a(x2+2cos x), 所以h′(x)=2ex(x-sin x)-a(2x-2sin x) =2(x-sin x)(ex-a). 由(1)知,當(dāng)x>0時, p(x)=x-sin x>0;當(dāng)x<0時,p(x)=x-sin x<0. 當(dāng)a≤0時,ex-a>0, 所以x>0時,h′(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增; x<0時,h′(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減. 當(dāng)a>0時,令h′(x)=2(x-sin x)(ex-a)=0,解得x1=ln a,x2=0. ①若00,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增; x∈(ln a,0)時,ex-a>0,h′(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減; x∈(0,+∞)時,ex-a>0,h′(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增. ②若a=1,則ln a=0,所以x∈R時,h′(x)≥0,函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增. ③若a>1,則ln a>0, 所以x∈(-∞,0)時,ex-a<0,h′(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增; x∈(0,ln a)時,ex-a<0,h′(x)<0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞減; x∈(ln a,+∞)時,ex-a>0,h′(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增. 綜上所述, 當(dāng)a≤0時,函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,0)上單調(diào)遞減; 當(dāng)01時,函數(shù)h(x)在(-∞,0),(ln a,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,ln a)上單調(diào)遞減. [類題通法] 討論含參函數(shù)的單調(diào)性,其本質(zhì)就是討論導(dǎo)函數(shù)符號的變化情況,所以討論的關(guān)鍵是抓住導(dǎo)函數(shù)解析式中的符號變化部分.討論時要考慮參數(shù)所在的位置及參數(shù)取值對導(dǎo)函數(shù)符號的影響,一般來說需要進(jìn)行四個層次的分類: (1)最高次冪的系數(shù)是否為0; (2)導(dǎo)函數(shù)是否有變號零點; (3)導(dǎo)函數(shù)的變號零點是否在函數(shù)定義域或指定區(qū)間內(nèi); (4)導(dǎo)函數(shù)的變號零點之間的大小關(guān)系. 角度二 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍 已知函數(shù)f (x)=+ax+b(a,b∈R). (1)若函數(shù)f (x)在R上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍; (2)若函數(shù)f (x)在(-1,3)上單調(diào),求實數(shù)a的取值范圍. [解] (1)f ′(x)=+a=, 設(shè)g(x)=1-x+aex,由題意知g(x)≥0在R上恒成立,即1-x+aex≥0在R上恒成立. 由ex>0,分離參數(shù)可得a≥在R上恒成立. 設(shè)h(x)=,則h′(x)=, 由h′(x)>0,得x<2;由h′(x)<0,得x>2, 所以h(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減, 所以h(x)max=h(2)=,故a≥. 所以a的取值范圍為. (2)函數(shù)f (x)在(-1,3)上單調(diào),則函數(shù)f (x)在(-1,3)上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減. ①若函數(shù)f (x)在(-1,3)上單調(diào)遞增,則f ′(x)=≥0在(-1,3)上恒成立,即1-x+aex≥0在(-1,3)上恒成立,所以a≥在(-1,3)上恒成立. 設(shè)h(x)=,則h′(x)=,所以h(x)在(-1,2)上單調(diào)遞增,在(2,3)上單調(diào)遞減, 所以h(x)max=h(2)=(x∈(-1,3)),故a≥. 所以a的取值范圍為,+∞. ②若函數(shù)f (x)在(-1,3)上單調(diào)遞減,則f ′(x)=≤0在(-1,3)上恒成立,即1-x+aex≤0在(-1,3)上恒成立,所以a≤在(-1,3)上恒成立. 設(shè)h(x)=,則h′(x)=,所以h(x)在(-1,2)上單調(diào)遞增,在(2,3)上單調(diào)遞減. 又h(-1)==-2e,h(3)==. 顯然-2e<,所以h(x)>h(-1)=-2e(x∈(-1,3)), 所以a的取值范圍為(-∞,-2e]. 綜上,a的取值范圍為(-∞,-2e]∪. [類題通法] 由含參函數(shù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍問題的2個關(guān)注點 (1)準(zhǔn)確把握函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號之間的關(guān)系:若可導(dǎo)函數(shù)f (x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增,則f ′(x)≥0在區(qū)間M上恒成立;若可導(dǎo)函數(shù)f (x)在區(qū)間M上單調(diào)遞減,則f ′(x)≤0在區(qū)間M上恒成立. (2)注意參數(shù)在導(dǎo)函數(shù)解析式中的位置,先嘗試分離參數(shù),將問題的求解轉(zhuǎn)化為求解對應(yīng)函數(shù)的最值問題;若不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性無法利用導(dǎo)數(shù)解決,則可以直接轉(zhuǎn)化為求解含參函數(shù)的最值問題. [綜合訓(xùn)練] 1.已知a∈R,函數(shù)f (x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)). (1)當(dāng)a=2時,求函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若函數(shù)f (x)在(-1,1)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍; (3)函數(shù)f (x)是否為R上的單調(diào)減函數(shù)?若是,求出a的取值范圍?若不是,請說明理由. 解:(1)當(dāng)a=2時,f (x)=(-x2+2x)ex, 所以f ′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex. 令f ′(x)>0,即(-x2+2)ex>0, 因為ex>0,所以-x2+2>0, 解得-- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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