2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 3-1-5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 教案.doc

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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 3-1-5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 教案 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1、 掌握空間向量加減、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示。 2、會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷兩個(gè)向量共線或垂直。 3、掌握向量的長(zhǎng)度公式、兩向量夾角公式、空間兩點(diǎn)間距離公式；并會(huì)應(yīng)用這些知識(shí)解決簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題。 學(xué)習(xí)重點(diǎn)： 1、利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明線線垂直或平行。 2、利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求兩點(diǎn)間的距離。 學(xué)習(xí)難點(diǎn)： 利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求兩條異面直線所成的角。 學(xué)習(xí)方法： 類(lèi)比法和啟發(fā)探究 學(xué)習(xí)過(guò)程： 一、復(fù)習(xí)回顧 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算 已知=(,)，=(,)，寫(xiě)出下列向量的坐標(biāo)表示 +=(+，+) -=(-，-) =(，) = //=0 ⊥=0 設(shè)，則或 如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、， 那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式) cosq =（） 二、新授： 我們知道，向量在平面上可用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示，在空間則可用有序?qū)崝?shù)組表示。類(lèi)似平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，我們可以得出空間向量的加法、減法、數(shù)乘及數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示。 空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算： 1．設(shè)＝，＝，則 ⑴＋＝； ⑵－＝； ⑶λ＝； ⑷＝. 上述運(yùn)算法則怎樣證明呢？（將＝＋＋和＝＋＋代入即可） 2．兩個(gè)向量共線或垂直的判定：設(shè)＝，＝，則 ⑴//＝λ，； ⑵⊥=0 3．向量的模：設(shè)a＝，則｜a｜＝ 利用向量的長(zhǎng)度公式，我們還可以得出空間兩點(diǎn)間的距離公式： 4．空間兩點(diǎn)間的距離公式： 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則A，B兩點(diǎn)間的距離 5、兩個(gè)向量夾角公式 這個(gè)公式成為兩個(gè)向量的夾角公式．利用這個(gè)公式，我們可以求出兩個(gè)向量的夾角，并可以進(jìn)一步得出兩個(gè)向量的某些特殊位置關(guān)系： 當(dāng)cos＜、＞＝1時(shí)，與同向； 當(dāng)cos＜、＞＝－1時(shí)，與反向； 當(dāng)cos＜、＞＝0時(shí)，⊥． 三、典型例題 例1.設(shè)a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k. 解：(1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋32,5－33，－1－35)＝(7，－4，－16)．因?yàn)?ka＋b)∥(a－3b)，所以＝＝，解得k＝－. 例2.若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，cos〈a，b〉＝，則λ為(　　) A．2 B．－2 C．－2或 D．2或－ 答案　C 解析　由cos〈a，b〉＝＝＝，化得55λ2＋108λ－4＝0，由此可解得λ＝－2或λ＝. 例3.．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα， 1，cosα)，則向量 a＋b與a－b的夾角是(　　) A．90 B．60 C．30 D．0 答案　A解析　∵|a|＝|b|＝，∴(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝0. 例4. 如圖,在正方體中，點(diǎn)分別是的一個(gè)四等分點(diǎn)，求與所成的角的余弦值． 分析：如何建系？ → 點(diǎn)的坐標(biāo)？ → 如何用向量運(yùn)算求夾角？ 解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，如圖建 立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則　　　　 因此與所成的角的余弦值是。 例5： 如圖，正方體中，點(diǎn)E,F分別是的中點(diǎn)，求證：. 證明：如圖，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，分別以，,為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則 所以 又 所以 所以 因此 ,即。 四、課堂小結(jié) 1.基本知識(shí)： （1）空間向量坐標(biāo)表示及其運(yùn)算 （2）向量的長(zhǎng)度公式與兩點(diǎn)間的距離公式； （3）求兩個(gè)向量的夾角或角的余弦值的關(guān)鍵是在合適的直角坐標(biāo)系中找出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，然后再用公式計(jì)算. 2.思想方法： 用向量計(jì)算或證明幾何問(wèn)題時(shí)，可以先建立直角坐標(biāo)系，然后把向量、點(diǎn)坐標(biāo)化，借助向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算或證明。 五．鞏固練習(xí) 課本2、3題和7題。 六、作業(yè) 課本5、8、10題。