2018年秋高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關系 1.1.2 四種命題 1.1.3 四種命題間的相互關系學案 新人教A版選修2-1.doc

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1.1.2　四種命題 1.1.3　四種命題間的相互關系 學習目標：1.了解四種命題的概念，能寫出某命題的逆命題、否命題和逆否命題．(重點)2.知道四種命題之間的相互關系以及真假性之間的聯(lián)系．(易混點)3.會利用命題的等價性解決問題．(難點) [自 主 預 習探 新 知] 1．四種命題的概念及表示形式 名稱 定義 表示形式 互逆 命題 對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這樣的兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題叫做原命題，另一個叫做原命題的逆命題. 原命題為“若p，則q”；逆命題為“若q，則p” 互否 命題 對于兩個命題，其中一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定，這樣的兩個命題叫做互否命題．如果把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的否命題 原命題為“若p，則q”；否命題為“若﹁p，則﹁q” 互為 逆否 命題 對于兩個命題，其中一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，這樣的兩個命題叫做互為逆否命題．如果把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的逆否命題 原命題為“若p，則q”；逆否命題為“若﹁q，則﹁p” 2.四種命題間的相互關系 (1)四種命題之間的關系 (2)四種命題間的真假關系 原命題 逆命題 否命題 逆否命題 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 由上表可知四種命題的真假性之間有如下關系： ①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； ②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系． 思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？ (2)在原命題，逆命題、否命題和逆否命題四個命題中．真命題的個數(shù)會是奇數(shù)嗎？ [提示]　(1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一個不等于0”． (2)真命題的個數(shù)只能是0,2,4，不會是奇數(shù)． [基礎自測] 1．思考辨析 (1)命題“若﹁p，則q”的否命題為“若﹁p，則﹁q”．(　　) (2)同時否定原命題的條件和結論，所得的命題是否命題．(　　) (3)命題“若A∩B＝A，則A∪B＝B”的逆否命題是“若A∪B≠B，則A∩B≠A”．(　　) [答案]　(1)　(2)√　(3)√ 2．命題“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的相反數(shù)是正數(shù)”的逆命題是(　　) A．“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的相反數(shù)不是正數(shù)” B．“若一個數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，則它是負數(shù)” C．“若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的相反數(shù)不是正數(shù)” D．“若一個數(shù)的相反數(shù)不是正數(shù)，則它不是負數(shù)” B　[根據(jù)逆命題的定義知，選B.] 3．命題“若m＝10，則m2＝100”與其逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，真命題是(　　) 【導學號：46342008】 A．原命題、否命題　　 B．原命題、逆命題 C．原命題、逆否命題 D．逆命題、否命題 C　[原命題正確，則逆否命題正確，逆命題不正確，從而否命題不正確．故選C．] [合 作 探 究攻 重 難] 四種命題 　把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題和逆否命題． (1)相似三角形對應的角相等； (2)當x>3時，x2－4x＋3>0； (3)正方形的對角線互相平分． [解]　(1)原命題：若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三個角對應相等； 逆命題：若兩個三角形的三個角對應相等，則這兩個三角形相似； 否命題：若兩個三角形不相似，則這兩個三角形的三個角對應不相等； 逆否命題：若兩個三角形的三個角對應不相等，則這兩個三角形不相似． (2)原命題：若x>3，則x2－4x＋3>0； 逆命題：若x2－4x＋3>0，則x>3； 否命題：若x≤3，則x2－4x＋3≤0； 逆否命題：若x2－4x＋3≤0，則x≤3. (3)原命題：若一個四邊形是正方形，則它的對角線互相平分； 逆命題：若一個四邊形對角線互相平分，則它是正方形； 否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的對角線不互相平分； 逆否命題：若一個四邊形對角線不互相平分，則它不是正方形． [規(guī)律方法]　1.寫出一個命題的逆命題，否命題，逆否命題的方法 (1)寫命題的四種形式時，首先要找出命題的條件和結論，然后寫出命題的條件的否定和結論的否定，再根據(jù)四種命題的結構寫出所求命題． (2)在寫命題時，為了使句子更通順，可以適當?shù)靥砑右恍┰~語，但不能改變條件和結論． 2．寫否命題時應注意一些否定詞語，列表如下： 原詞語 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是 都是 至多有一個 否定 詞語 不等于 (≠) 不大于 (≤) 不小于 (≥) 不是 不都是 至少有 兩個 原詞語 至少有 一個 至多有 n個 任意的 任意兩個 所有的 能 否定 詞語 一個也 沒有 至少有 (n＋1)個 某一個 (確定的) 某兩個 某些 不能 [跟蹤訓練] 1．(1)命題“若y＝kx，則x與y成正比例關系”的否命題是(　　) 【導學號：46342009】 A．若y≠kx，則x與y成正比例關系 B．若y≠kx，則x與y成反比例關系 C．若x與y不成正比例關系，則y≠kx D．若y≠kx，則x與y不成正比例關系 D　[條件的否定為y≠kx，結論的否定為x與y不成比例關系，故選D.] (2)命題“若ab≠0，則a，b都不為零”的逆否命題是________． 若a，b至少有一個為零，則ab＝0　[“ab≠0”的否定是“ab＝0”，“a，b都不為零”的否定是“a，b中至少有一個為零”，因此逆否命題為“若a，b至少有一個為零，則ab＝0”．] 四種命題的關系及真假判斷 　(1)對于原命題：“已知a、b、c∈R，若a>b，則ac2>bc2”，以及它的逆命題、否命題、逆否命題，在這4個命題中，真命題的個數(shù)為(　　) A．0個　 B．1個　　　C．2個　　　D．4個 (2)判斷命題“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”的逆否命題的真假． [思路探究]　(1)只需判斷原命題和逆命題的真假即可． (2)思路一　→ 思路二　→→ [解析]　(1)當c＝0時，ac2>bc2不成立，故原命題是假命題，從而其逆否命題也是假命題；原命題的逆命題為“若ac2>bc2，則a>b”是真命題，從而否命題也是真命題，故選C． [答案]　C (2)法一：原命題的逆否命題：若x2＋x－a＝0無實根，則a<0. ∵x2＋x－a＝0無實根，∴Δ＝1＋4a<0，解得a<－<0， ∴原命題的逆否命題為真命題． 法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴對于方程x2＋x－a＝0，根的判別式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－a＝0有實根，故原命題為真命題． ∵原命題與其逆否命題等價，∴原命題的逆否命題為真命題． [規(guī)律方法]　判斷命題真假的方法 (1)解決此類問題的關鍵是牢記四種命題的概念，正確地寫出所涉及的命題，判定為真的命題需要簡單的證明，判定為假的命題要舉出反例加以驗證. (2)原命題與它的逆否命題同真同假，原命題的否命題與它的逆命題同真同假，故二者只判斷一個即可. [跟蹤訓練] 2．判斷下列四個命題的真假，并說明理由． (1)“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的否命題； (2)“若x>y，則x2>y2”的逆否命題； (3)“若x≤3，則x2－x－6>0”的否命題； (4)“對頂角相等”的逆命題． [解]　(1)命題“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題為“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”，則逆命題為真命題，因為原命題的逆命題和否命題具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的否命題是真命題． (2)令x＝1，y＝－2，滿足x>y，但x2y，則x2>y2”是假命題，因為原命題與其逆否命題具有相同的真假性，所以“若x>y，則x2>y2”的逆否命題也是假命題． (3)該命題的否命題為“若x>3，則x2－x－6≤0”，令x＝4，滿足x>3，但x2－x－6＝6>0，不滿足x2－x－6≤0，則該否命題是假命題． (4)該命題的逆命題為“相等的角是對頂角”是假命題，如等邊三角形的任意兩個內角都相等，但它們不是對頂角． 等價命題的應用 [探究問題] 1．當一個命題的條件與結論以否定形式出現(xiàn)時，為了研究方便，我們可以研究哪一個命題？ 提示：一個命題與其逆否命題等價，我們可研究其逆否命題． 2．在證明“若m2＋n2＝2，則m＋n≤2”時，我們也可以證明哪個命題成立． 提示：根據(jù)一個命題與其逆否命題等價，我們也可以證明“若m＋n>2，則m2＋n2≠2”成立． 　(1)命題“對任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________． (2)證明：已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0. 【導學號：46342010】 [思路探究]　(1)根據(jù)其逆否命題求解．(2)證明其逆否命題成立． [解析]　(1)∵命題“對任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立” 等價于“對任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”， 若a＝0，則－3≤0恒成立，∴a＝0符合題意． 若a≠0，由題意知即 ∴－3≤a<0 綜上知，a的取值范圍是－3≤a≤0. [答案]　[－3,0] (2)證明　原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，若a＋b<0，則f(a)＋f(b)－3，則a>－6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為 (　　) A．1　　 B．2　　　　C．3　　　　D．4 B　[原命題是真命題，從而其逆否命題是真命題，其逆命題是“若a>－6，則a>－3”，是假命題，從而其否命題也是假命題，故真命題的個數(shù)是2.] 4．命題“若m＞1，則mx2－2x＋1＝0無實根”的等價命題是________. 【導學號：46342011】 若mx2－2x＋1＝0有實根，則m≤1　[原命題的等價命題是其逆否命題，由定義可知其逆否命題為：“若mx2－2x＋1＝0有實根，則m≤1”．] 5．已知命題p：“若ac≥0，則二次不等式ax2＋bx＋c>0無解”． (1)寫出命題p的否命題； (2)判斷命題p的否命題的真假． [解]　(1)命題p的否命題為：“若ac<0，則二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”． (2)命題p的否命題是真命題． 判斷如下： 因為ac<0， 所以－ac>0?Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有實根?ax2＋bx＋c>0有解， 所以該命題是真命題．