2019-2020年人教版高中數(shù)學必修三教案：3-3-1 幾何概型.doc
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2019-2020年人教版高中數(shù)學必修三教案：3-3-1 幾何概型 項目 內(nèi)容 課題 3.3.1 幾何概型 （共 1 課時） 修改與創(chuàng)新 教學 目標 1.通過師生共同探究,體會數(shù)學知識的形成,正確理解幾何概型的概念；掌握幾何概型的概率公式： P（A）=,學會應用數(shù)學知識來解決問題,體會數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系,培養(yǎng)邏輯推理能力. 2.本節(jié)課的主要特點是隨機試驗多,學習時養(yǎng)成勤學嚴謹?shù)膶W習習慣,會根據(jù)古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系來判別某種概型是古典概型還是幾何概型,會進行簡單的幾何概率計算,培養(yǎng)學生從有限向無限探究的意識. 教學重、 難點 教學重點：理解幾何概型的定義、特點,會用公式計算幾何概率. 教學難點：等可能性的判斷與幾何概型和古典概型的區(qū)別. 教學 準備 多媒體課件 教學過程 導入新課 思路1 復習古典概型的兩個基本特點：（1）所有的基本事件只有有限個；（2）每個基本事件發(fā)生都是等可能的.那么對于有無限多個試驗結(jié)果的情況相應的概率應如何求呢?為此我們學習幾何概型,教師板書本節(jié)課題幾何概型. 思路2 下圖中有兩個轉(zhuǎn)盤,甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲,規(guī)定當指針指向B區(qū)域時,甲獲勝,否則乙獲勝.在兩種情況下分別求甲獲勝的概率是多少? 為解決這個問題,我們學習幾何概型. 思路3 在概率論發(fā)展的早期,人們就已經(jīng)注意到只考慮那種僅有有限個等可能結(jié)果的隨機試驗是不夠的,還必須考慮有無限多個試驗結(jié)果的情況.例如一個人到單位的時間可能是8：00至9：00之間的任何一個時刻；往一個方格中投一個石子,石子可能落在方格中的任何一點……這些試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果都是無限多個.這就是我們要學習的幾何概型. 推進新課 新知探究 提出問題 (1)隨意拋擲一枚均勻硬幣兩次,求兩次出現(xiàn)相同面的概率？ (2)試驗1.取一根長度為3 m的繩子,拉直后在任意位置剪斷.問剪得兩段的長都不小于1 m的概率有多大？ 試驗2.射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環(huán).從外向內(nèi)為白色,黑色,藍色,紅色,靶心是金色.金色靶心叫“黃心”.奧運會的比賽靶面直徑為122 cm,靶心直徑為12.2 cm.運動員在70 m外射箭.假設射箭都能射中靶面內(nèi)任何一點都是等可能的.問射中黃心的概率為多少？ (3)問題(1)(2)中的基本事件有什么特點?兩事件的本質(zhì)區(qū)別是什么? (4)什么是幾何概型?它有什么特點? (5)如何計算幾何概型的概率?有什么樣的公式? (6)古典概型和幾何概型有什么區(qū)別和聯(lián)系? 活動：學生根據(jù)問題思考討論,回顧古典概型的特點,把問題轉(zhuǎn)化為學過的知識解決,教師引導學生比較概括. 討論結(jié)果：(1)硬幣落地后會出現(xiàn)四種結(jié)果：分別記作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每種結(jié)果出現(xiàn)的概率相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=1/4.兩次出現(xiàn)相同面的概率為. (2)經(jīng)分析,第一個試驗,從每一個位置剪斷都是一個基本事件,剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點. 第二個試驗中,射中靶面上每一點都是一個基本事件,這一點可以是靶面直徑為122 cm的大圓內(nèi)的任意一點. 在這兩個問題中,基本事件有無限多個,雖然類似于古典概型的“等可能性”,但是顯然不能用古典概型的方法求解. 考慮第一個問題,如右圖,記“剪得兩段的長都不小于1 m”為事件A.把繩子三等分,于是當剪斷位置處在中間一段上時,事件A發(fā)生.由于中間一段的長度等于繩長的, 于是事件A發(fā)生的概率P(A)=. 第二個問題,如右圖,記“射中黃心”為事件B,由于中靶心隨機地落在面積為π1222 cm2的大圓內(nèi),而當中靶點落在面積為π12.22 cm2的黃心內(nèi)時,事件B發(fā)生,于是事件B發(fā)生的概率P(B)==0.01. (3)硬幣落地后會出現(xiàn)四種結(jié)果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,繩子從每一個位置剪斷都是一個基本事件,剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點,也是等可能的,射中靶面內(nèi)任何一點都是等可能的,但是硬幣落地后只出現(xiàn)四種結(jié)果,是有限的;而剪斷繩子的點和射中靶面的點是無限的;即一個基本事件是有限的,而另一個基本事件是無限的. (4)幾何概型. 對于一個隨機試驗,我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點,該區(qū)域中的每一個點被取到的機會都一樣,而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點.這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機試驗,稱為幾何概型. 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型（geometric models of probability）,簡稱幾何概型. 幾何概型的基本特點： a.試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個； b.每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等. (5)幾何概型的概率公式： P（A）=. (6)古典概型和幾何概型的聯(lián)系是每個基本事件的發(fā)生都是等可能的;區(qū)別是古典概型的基本事件是有限的,而幾何概型的基本事件是無限的,另外兩種概型的概率計算公式的含義也不同. 應用示例 思路1 例1 判斷下列試驗中事件A發(fā)生的概率是古典概型,還是幾何概型. （1）拋擲兩顆骰子,求出現(xiàn)兩個“4點”的概率; （2）如下圖所示,圖中有一個轉(zhuǎn)盤,甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲,規(guī)定當指針指向B區(qū)域時,甲獲勝,否則乙獲勝,求甲獲勝的概率. 活動：學生緊緊抓住古典概型和幾何概型的區(qū)別和聯(lián)系,然后判斷. 解：（1）拋擲兩顆骰子,出現(xiàn)的可能結(jié)果有66=36種,且它們都是等可能的,因此屬于古典概型; （2）游戲中指針指向B區(qū)域時有無限多個結(jié)果,而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”,概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量,即與區(qū)域長度有關,因此屬于幾何概型. 點評：本題考查的是幾何概型與古典概型的特點,古典概型具有有限性和等可能性.而幾何概型則是在試驗中出現(xiàn)無限多個結(jié)果,且與事件的區(qū)域長度有關. 例2 某人午休醒來,發(fā)覺表停了,他打開收音機想聽電臺整點報時,求他等待的時間短于10分鐘的概率. 活動：學生分析,教師引導,假設他在0—60之間的任一時刻,打開收音機是等可能的,但0—60之間有無數(shù)個時刻,不能用古典概型的公式來計算隨機事件發(fā)生的概率,因為他在0—60之間的任一時刻打開收音機是等可能的,所以他在哪個時間段打開收音機的概率只與該時間段的長度有關,而與該時間段的位置無關,這符合幾何概型的條件,所以可用幾何概型的概率計算公式計算. 解：記“等待的時間小于10分鐘”為事件A,打開收音機的時刻位于［50,60］時間段內(nèi)則事件A發(fā)生.由幾何概型的求概率公式得P（A）=（60-50）/60=1/6，即“等待報時的時間不超過10分鐘”的概率為1/6. 打開收音機的時刻X是隨機的,可以是0—60之間的任何時刻,且是等可能的.我們稱X服從［0,60］上的均勻分布,X稱為［0,60］上的均勻隨機數(shù). 變式訓練 某路公共汽車5分鐘一班準時到達某車站,求任一人在該車站等車時間少于3分鐘的概率（假定車到來后每人都能上）. 解：可以認為人在任一時刻到站是等可能的.設上一班車離站時刻為a,則某人到站的一切可能時刻為Ω=(a,a+5),記Ag={等車時間少于3分鐘},則他到站的時刻只能為g=(a+2,a+5)中的任一時刻,故P(Ag)=. 點評：通過實例初步體會幾何概型的意義. 思路2 例1 某人欲從某車站乘車出差,已知該站發(fā)往各站的客車均每小時一班,求此人等車時間不多于20分鐘的概率. 活動：假設他在0—60分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的,但在0到60分鐘之間有無窮多個時刻,不能用古典概型公式計算隨機事件發(fā)生的概率.可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率.因為客車每小時一班,他在0到60分鐘之間任何一個時刻到站等車是等可能的,所以他在哪個時間段到站等車的概率只與該時間段的長度有關,而與該時間段的位置無關,這符合幾何概型的條件. 解：設A={等待的時間不多于10分鐘},我們所關心的事件A恰好是到站等車的時刻位于［40,60］這一時間段內(nèi),因此由幾何概型的概率公式,得P（A）=（60-40）/60=1/3. 即此人等車時間不多于10分鐘的概率為1/3. 點評：在本例中,到站等車的時刻X是隨機的,可以是0到60之間的任何一刻,并且是等可能的,我們稱X服從［0,60］上的均勻分布,X為［0,60］上的均勻隨機數(shù). 變式訓練 在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲藏著石油,假設在海域中任意一點鉆探,鉆到油層面的概率是多少？ 分析：石油在1萬平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機的，而40平方千米可看作構(gòu)成事件的區(qū)域面積,由幾何概型公式可以求得概率. 解：記“鉆到油層面”為事件A,則P(A)=0.004. 答：鉆到油層面的概率是0.004. 例2 小明家的晚報在下午5：30—6：30之間任何一個時間隨機地被送到,小明一家人在下午6：00—7：00之間的任何一個時間隨機地開始晚餐.則晚報在晚餐開始之前被送到的概率是多少？ 活動：學生讀題,設法利用幾何概型公式求得概率. 解：建立平面直角坐標系,如右圖中x=6,x=7,y=5.5,y=6.5圍成一個正方形區(qū)域G.設晚餐在x（6≤x≤7）時開始,晚報在y（5.5≤y≤6.5）時被送到,這個結(jié)果與平面上的點（x,y）對應.于是試驗的所有可能結(jié)果就與G中的所有點一一對應. 由題意知,每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的,因此,試驗屬于幾何概型.晚報在晚餐開始之前被送到,當且僅當y
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