2019-2020年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案:第12講 三角恒等變換及應(yīng)用.doc
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2019-2020年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案:第12講 三角恒等變換及應(yīng)用 課題 三角恒等變換及應(yīng)用(共 6 課時(shí)) 修改與創(chuàng)新 教學(xué)目標(biāo) 1.經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程,進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用; 2.能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系; 3.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式,但不要求記憶)。 命題走向 從近幾年的高考考察的方向來看,這部分的高考題以選擇、解答題出現(xiàn)的機(jī)會(huì)較多,有時(shí)候也以填空題的形式出現(xiàn),它們經(jīng)常與三角函數(shù)的性質(zhì)、解三角形及向量聯(lián)合考察,主要題型有三角函數(shù)求值,通過三角式的變換研究三角函數(shù)的性質(zhì)。 本講內(nèi)容是高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)之一,三角函數(shù)的化簡、求值及三角恒等式的證明是三角變換的基本問題。歷年高考中,在考察三角公式的掌握和運(yùn)用的同時(shí),還注重考察思維的靈活性和發(fā)散性,以及觀察能力、運(yùn)算及觀察能力、運(yùn)算推理能力和綜合分析能力。 教學(xué)準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 一.知識(shí)梳理: 1.兩角和與差的三角函數(shù) ; ; 。 2.二倍角公式 ; ; 。 3.三角函數(shù)式的化簡 常用方法:①直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng);②切割化弦,異名化同名,異角化同角;③ 三角公式的逆用等。(2)化簡要求:①能求出值的應(yīng)求出值;②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少;③使項(xiàng)數(shù)盡量少;④盡量使分母不含三角函數(shù);⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。 (1)降冪公式 ;;。 (2)輔助角公式 , 。 4.三角函數(shù)的求值類型有三類 (1)給角求值:一般所給出的角都是非特殊角,要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系,利用三角變換消去非特殊角,轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題; (2)給值求值:給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題的關(guān)鍵在于“變角”,如等,把所求角用含已知角的式子表示,求解時(shí)要注意角的范圍的討論; (3)給值求角:實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題,由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。 5.三角等式的證明 (1)三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征,通過三角恒等變換,應(yīng)用化繁為簡、左右同一等方法,使等式兩端化“異”為“同”; (2)三角條件等式的證題思路是通過觀察,發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系,采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明。 二.典例分析 (xx廣東高考)已知函數(shù)f(x)=2sin,x∈R. (1)求f的值; (2)設(shè)α,β∈,f=,f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值. (1)∵f(x)=2sin, ∴f=2sin=2sin=. (2)∵α,β∈,f=,f(3β+2π)=, ∴2sin α=,2sin=. 即sin α=,cos β=. ∴cos α=,sin β=. ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β =-=. 由題悟法 兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣,可用α、β的三角函數(shù)表示αβ的三角函數(shù),在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí),特別要注意角與角之間的關(guān)系,完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的. 以題試法 1.(1)已知sin α=,α∈,則=________. (2)(xx濟(jì)南模擬)已知α為銳角,cos α=,則tan=( ) A.-3 B.- C.- D.-7 解析:(1)==cos α-sin α, ∵sin α=,α∈,∴cos α=-. ∴原式=-. (2)依題意得,sin α=,故tan α=2,tan 2α==-,所以tan==-. 答案:(1)- (2)B 三角函數(shù)公式的逆用與變形應(yīng)用 典題導(dǎo)入 (xx德州一模)已知函數(shù)f(x)=2cos2-sin x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域; (2)若α為第二象限角,且f=,求的值. (1)∵f(x)=2cos2-sin x=1+cos x-sin x=1+2cos, ∴周期T=2π,f(x)的值域?yàn)椋? (2)∵f=,∴1+2cos α=,即cos α=-. ∵α為第二象限角,∴sin α=. ∴= ===. 由題悟法 運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí),不但要熟練、準(zhǔn)確,而且要熟悉公式的逆用及變形,如tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多種變形等. 以題試法 2.(1)(xx贛州模擬)已知sin+cos α=,則sin的值為( ) A. B. C. D. (2)若α+β=,則(1-tan α)(1-tan β)的值是________. 解析:(1)由條件得sin α+cos α=, 即sin α+cos α=. ∴sin=. (2)-1=tan=tan(α+β)=, ∴tan αtan β-1=tan α+tan β. ∴1-tan α-tan β+tan αtan β=2, 即(1-tan α)(1-tan β)=2. 答案:(1)A (2)2 角 的 變 換 典題導(dǎo)入 (1)(xx溫州模擬)若=3,tan(α-β)=2,則tan(β-2α)=________. (2)(xx江蘇高考)設(shè)α為銳角,若cos=,則sin的值為________. (1)由條件知==3, 則tan α=2. 故tan(β-2α)=tan ===. (2)因?yàn)棣翞殇J角,cos=, 所以sin=,sin 2=, cos 2=, 所以sin=sin =-=. (1) (2) 由題悟法 1.當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí),一般把“所求角”表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式; 2.當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí),此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系,然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”. 3.常見的配角技巧: α=2;α=(α+β)-β; α=β-(β-α); α=; β=; +α=-;α=-. 以題試法 3.設(shè)tan=,tan=,則tan=( ) A. B. C. D. 解析:選C tan=tan ==. 化簡. 原式= == =cos 2x. 由題悟法 三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則 (1)一看“角”,這是最重要的一環(huán),通過看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理的拆分,從而正確使用公式; (2)二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式,常見的有“切化弦”; (3)三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,可以幫助我們找到變形的方向,如“遇到分式要通分”等. 以題試法 1.化簡. 解:法一:原式= = = ==. 法二:原式= = ==. 三角函數(shù)式的求值 典題導(dǎo)入 (1)(xx重慶高考)=( ) A.- B.- C. D.. (2)已知α、β為銳角,sin α=,cos=-,則2α+β=________. (1)原式= = ==sin 30=. (2)∵sin α=,α∈, ∴cos α=, ∵cos(α+β)=-,α+β∈(0,π), ∴sin(α+β)=, ∴sin(2α+β)=sin=sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)=+=0. 又2α+β∈. ∴2α+β=π. (1)C (2)π 由題悟法 三角函數(shù)求值有三類 (1)“給角求值”:一般所給出的角都是非特殊角,從表面上來看是很難的,但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系,解題時(shí),要利用觀察得到的關(guān)系,結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解. (2)“給值求值”:給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題關(guān)鍵在于“變角”,使其角相同或具有某種關(guān)系. (3)“給值求角”:實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”,先求角的某一函數(shù)值,再求角的范圍,確定角. 以題試法 2.(xx廣州一測)已知函數(shù)f(x)=tan. (1)求f的值; (2)設(shè)α∈,若f=2,求cos的值. 解:(1)f=tan===-2-. (2)因?yàn)閒=tan=tan(α+π)=tan α=2, 所以=2,即sin α=2cos α.① 又sin2α+cos2α=1,② 由①②解得cos2α=. 因?yàn)棣痢剩詂os α=-,sin α=-. 所以cos=cos αcos+sin αsin=-+=-. 三角恒等變換的綜合應(yīng)用 典題導(dǎo)入 (xx四川高考)已知函數(shù)f(x)=sin+cos,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期和最小值; (2)已知cos(β-α)=,cos(β+α)=-,0<α<β≤,求證:2-2=0. (1)∵f(x)=sin+cos =sin+sin=2sin, ∴T=2π,f(x)的最小值為-2. (2)證明:由已知得cos βcos α+sin βsin α=, cos βcos α-sin βsin α=-. 兩式相加得2cos βcos α=0. ∵0<α<β≤,∴β=.∴2-2=4sin2-2=0. 在本例條件不變情況下,求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的集合. 解:由(1)知f(x)=2sin, ∴sin=0,∴x-=kπ(k∈Z), ∴x=kπ+(k∈Z). 故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的集合為. 由題悟法 三角變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合,通過變換把函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式再研究性質(zhì),解題時(shí)注意觀察角、名、結(jié)構(gòu)等特征,注意利用整體思想解決相關(guān)問題. 以題試法 3.已知函數(shù)f(x)=2cos xcos-sin2x+sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)當(dāng)α∈時(shí),若f(α)=1,求α的值. 解:(1)因?yàn)閒(x)=2cos xcos-sin2x+sin xcos x =cos2 x+sin xcos x-sin2x+sin xcos x =cos 2x+sin 2x=2sin, 所以最小正周期T=π. (2)由f(α)=1,得2sin=1, 又α∈,所以2α+∈, 所以2α+=或2α+=, 故α=或α=. 板書設(shè)計(jì) 三角恒等變換及應(yīng)用 1.兩角和與差的三角函數(shù) ; ; 。 2.二倍角公式 ; ; 。 3.三角函數(shù)式的化簡 常用方法:①直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng);②切割化弦,異名化同名,異角化同角;③ 三角公式的逆用等。(2)化簡要求:①能求出值的應(yīng)求出值;②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少;③使項(xiàng)數(shù)盡量少;④盡量使分母不含三角函數(shù);⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。 (1)降冪公式 ;;。 (2)輔助角公式 , 。 教學(xué)反思 本講知識(shí)的復(fù)習(xí)不能僅僅要求學(xué)生記憶公式,應(yīng)該回顧推導(dǎo)公式,把握各公式之間的關(guān)系,利于學(xué)生整體掌握知識(shí)體系,靈活應(yīng)用公式解決相關(guān)問題。 公式的應(yīng)用包括求值、化簡、證明。特別是化簡,在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)篩選一定量的題目讓學(xué)生訓(xùn)練,使學(xué)生能靈活應(yīng)用公式。 對把函數(shù)式化成y=Asin(ωx+φ)形式,學(xué)生掌握的還不夠好,以后還要在選擇合適的題目加強(qiáng)訓(xùn)練。- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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