2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計案例 階段復(fù)習(xí)課 第3課 統(tǒng)計案例學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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第三課　統(tǒng)計案例 [核心速填] (建議用時4分鐘) 1．分析判斷兩個變量相關(guān)關(guān)系常用的方法 (1)散點圖法：把樣本數(shù)據(jù)表示的點在直角坐標(biāo)系中標(biāo)出，得到散點圖，由散點圖的形狀分析． (2)相關(guān)指數(shù)法：利用相關(guān)指數(shù)R2進(jìn)行檢驗，在確認(rèn)具有相關(guān)關(guān)系后，再求線性回歸方程． 2．求線性回歸方程的步驟 (1)畫散點圖：從直觀上觀察兩個變量是否線性相關(guān)． (2)計算：利用公式求回歸方程的系數(shù)的值． ＝＝，＝－. (3)寫出方程：依據(jù)＝＋x，寫出回歸直線方程． 3．兩種特殊可線性化回歸模型的轉(zhuǎn)化 (1)將冪型函數(shù)y＝axm(a為正的常數(shù)，x，y取正值)化為線性函數(shù)． 如果將y＝axm兩邊同取以10為底的對數(shù)，則有l(wèi)g y＝mlg x＋lg a．令u＝lg y，v＝lg x，lg a＝b，代入上式，得u＝mv＋b，其中m，b是常數(shù)．這是u，v的線性函數(shù)．如果以u為縱坐標(biāo)，v為橫坐標(biāo)，則u＝mv＋b的圖象就是一直線． (2)將指數(shù)型函數(shù)y＝cax(a＞0且a≠1，c＞0且為常數(shù))化為線性函數(shù)． 將y＝cax兩邊同取以10為底的對數(shù)，有l(wèi)g y＝xlg a＋lg c，令lg y＝u，lg a＝k，lg c＝b，得u＝kx＋b，其中，k和b是常數(shù)，與冪型函數(shù)不同的是x依然保持原來的，只是用y的對數(shù)lg y代替了y. 4．在實際問題中常用的三個數(shù)值 (1)當(dāng)K2＞6.635時，表示有99%的把握認(rèn)為“事件A與B有關(guān)系”． (2)當(dāng)K2＞3.841時，表示有95%的把握認(rèn)為“事件A與B有關(guān)系”． (3)當(dāng)K2≤3.841時，認(rèn)為事件A與B是無關(guān)的． [體系構(gòu)建] [題型探究] 線性回歸分析 回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法．根據(jù)兩個變量的一組觀測值，可以畫出散點圖或利用相關(guān)系數(shù)r，判斷兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，可得出線性回歸直線方程． 利用公式求回歸直線方程時應(yīng)注意以下幾點： (1)求時，利用公式＝＝，先求出＝(x1＋x2＋x3＋…＋xn)，＝(y1＋y2＋y3＋…＋yn)．再由＝－ 求的值，并寫出回歸直線方程． (2)回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心(，)． (3)回歸直線方程中的截距和斜率都是通過樣本估計得來的，存在誤差，這種誤差可能導(dǎo)致預(yù)報結(jié)果的偏差． (4)回歸直線方程＝＋x中的表示x每增加1個單位時預(yù)報變量y的平均變化量，而表示預(yù)報變量y不隨x的變化而變化的部分． 　以下是某地收集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)： 房屋面積x/m2 115 110 80 135 105 銷售價格y/萬元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖； (2)若線性相關(guān)，求線性回歸方程； (3)根據(jù)(2)的結(jié)果估計當(dāng)房屋面積為150 m2時的銷售價格. 【導(dǎo)學(xué)號：95032252】 [解]　(1)數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖如圖所示． (2)由散點圖知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系．由表中數(shù)據(jù)知＝i＝109，＝i＝23.2，＝60 975，iyi＝12 952.設(shè)所求回歸直線方程為＝x＋，則＝≈0.196 2，＝－≈1.814 2，故所求回歸直線方程為＝0.196 2x＋1.814 2. (3)根據(jù)(2)，當(dāng)x＝150時，銷售價格的估計值為＝0.1962150＋1.814 2＝31.244 2(萬元)． [規(guī)律方法]　在散點圖中樣本點大致分布在一條直線附近，則利用線性回歸模型進(jìn)行研究，可近似地利用回歸直線方程＝x＋來預(yù)報，利用公式求出回歸系數(shù)，，即可寫出回歸直線方程，并用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測說明． [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知某連鎖經(jīng)營公司的5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表： 商店名稱 A B C D E 銷售額x(千萬元) 3 5 6 7 9 利潤額y(千萬元) 2 3 3 4 5 (1)畫出散點圖； (2)根據(jù)如下的參考公式與參考數(shù)據(jù)，求利潤額y與銷售額x之間的線性回歸方程； (3)若該公司還有一個零售店某月銷售額為10千萬元，試估計它的利潤額是多少． (參考公式：＝，＝－. 其中，iyi＝112，＝200) [解]　(1)散點圖． (2)由已知數(shù)據(jù)計算得n＝5，＝＝6，＝＝3.4，＝＝0.5，＝3.4－0.56＝0.4. 則線性回歸方程為＝0.5x＋0.4. (3)將x＝10代入線性回歸方程中得到＝0.510＋0.4＝5.4(千萬元)． 即估計該零售店的利潤額約為5.4千萬元． 回歸模型分析 對于建立的回歸模型，我們必須對模型的擬合效果進(jìn)行分析，也就是對利用回歸模型解決實際問題的效果進(jìn)行評價．一方面可以對比殘差或殘差平方和的大小，同時觀察殘差圖，進(jìn)行殘差分析；另一方面也可以研究數(shù)據(jù)的R2(相關(guān)系數(shù)r)．對模型擬合效果的分析能夠幫助我們利用最優(yōu)化的模型來解決實際問題． 　在研究彈簧伸長長度y(cm)與拉力x(N)的關(guān)系時，對不同拉力的6根彈簧進(jìn)行測量，測得如下表中的數(shù)據(jù)： x/N 5 10 15 20 25 30 y/cm 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 若依據(jù)散點圖及最小二乘法求出的回歸直線方程為＝0.18x＋6.34，求R2，并結(jié)合殘差說明擬合效果. 【導(dǎo)學(xué)號：95032253】 [解]　列表求值如下： xi 5 10 15 20 25 30 yi 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 xiyi 36.25 81.2 134.25 198 272.5 354 x 25 100 225 400 625 900 yi－i 0.01 －0.02 －0.09 －0.04 0.06 0.06 yi－ －2.24 －1.37 －0.54 0.41 1.41 2.31 ＝17.5，≈9.49，iyi＝1 076.2，＝2 275，(yi－i)2＝0.017 4，(yi－)2＝14.678 4. ∴R2＝1－≈0.998 81，回歸模型擬合效果較好．由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差比較均勻地落在寬度不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高． [規(guī)律方法]　在一元線性回歸模型中，相關(guān)指標(biāo)R2與相關(guān)系數(shù)r都能刻畫線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果．|r|越大，R2就越大，用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果就越好． [跟蹤訓(xùn)練] 2．關(guān)于x與y有以下數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 已知x與y線性相關(guān)，由最小二乘法得＝6.5， (1)求y與x的線性回歸方程； (2)現(xiàn)有第二個線性模型：＝7x＋17，且R2＝0.82. 若與(1)的線性模型比較，哪一個線性模型擬合效果比較好，請說明理由． [解]　(1)依題意設(shè)y與x的線性回歸方程為＝6.5x＋. ＝＝5， ＝＝50， ∴＝6.5x＋經(jīng)過(，)， ∴50＝6.55＋，∴＝17.5， ∴y與x的線性回歸方程為＝6.5x＋17.5. (2)由(1)的線性模型得yi－i與yi－的關(guān)系如下表： yi－i －0.5 －3.5 10 －6.5 0.5 yi－ －20 －10 10 0 20 所以(yi－i)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋(－10)2＋(－6.5)2＋0.52＝155. (yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000. 所以R＝1－＝1－＝0.845. 由于R＝0.845，R2＝0.82知R>R2， 所以(1)的線性模型擬合效果比較好． 獨立性檢驗 獨立性檢驗是判斷兩個分類變量之間是否有關(guān)系的一種方法．在判斷兩個分類變量之間是否有關(guān)系時，作出等高條形圖只能近似地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，而獨立性檢驗可以精確地得到可靠的結(jié)論． 　為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān)，在某地對540名40歲以上的人進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果是：患胃病者生活不規(guī)律的共60人，患胃病者生活規(guī)律的共20人，未患胃病者生活不規(guī)律的共260人，未患胃病者生活規(guī)律的共200人． (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)列出22列聯(lián)表； (2)判斷40歲以上的人患胃病與生活規(guī)律是否有關(guān). 【導(dǎo)學(xué)號：95032254】 [思路探究]　(1)解決本題關(guān)鍵是首先弄清問題中的兩個分類變量及其取值分別是什么，其次掌握22列聯(lián)表的結(jié)構(gòu)特征． (2)利用22列聯(lián)表計算K2的觀測值，再結(jié)合臨界值表來分析相關(guān)性的大?。? [解]　(1)由已知可列22列聯(lián)表如下： 患胃病 未患胃病 總計 生活規(guī)律 20 200 220 生活不規(guī)律 60 260 320 總計 80 460 540 (2)根據(jù)列聯(lián)表得K2的觀測值為 k＝≈9.638. 因為9.638>7.879， 因此，我們在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為40歲以上的人患胃病和生活規(guī)律有關(guān)． [規(guī)律方法]　獨立性檢驗的一般步驟： (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成22列聯(lián)表． (2)根據(jù)公式計算K2的觀測值k. (3)比較k與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計推斷． [跟蹤訓(xùn)練] 3．為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班50人進(jìn)行問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表： 喜愛打籃球 不喜愛打籃球 總計 男生 5 女生 10 總計 50 已知在全部50人中隨機抽取1人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為0.6. (1)請將上面的列聯(lián)表補充完整(不用寫計算過程)； (2)能否有99%的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)？說明你的理由． (參考公式：K2＝， 其中n＝a＋b＋c＋d) [解]　(1)依題意可知喜愛打籃球的學(xué)生的人數(shù)為500.6＝30. 列聯(lián)表補充如下： 喜愛打籃球 不喜愛打籃球 總計 男生 20 5 25 女生 10 15 25 總計 30 20 50 (2)因為k＝≈8.333>6.635，所以，有99%的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)．