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2019-2020年人教A版高中數(shù)學 高三一輪（文） 第三章 3-3三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)《教案》
1．用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖
正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．
余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0,2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．
2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù)
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
圖象
定義域
R
R
{x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
單調(diào)性
[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上遞增；
[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上遞減
[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上遞增；[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上遞減
(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上遞增
最值
x＝＋2kπ(k∈Z)時，ymax＝1；
x＝－＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)時，ymax＝1；
x＝π＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝－1
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
對稱
中心
(kπ，0)(k∈Z)
(＋kπ，0)
(k∈Z)
(，0)(k∈Z)
對稱軸
方程
x＝＋kπ
(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
【思考辨析】
判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”)
(1)常函數(shù)f(x)＝a是周期函數(shù)，它沒有最小正周期．( √ )
(2)y＝sin x在x∈[0，]上是增函數(shù)．( √ )
(3)y＝cos x在第一、二象限上是減函數(shù)．( )
(4)y＝tan x在整個定義域上是增函數(shù)．( )
(5)y＝ksin x＋1(x∈R)，則ymax＝k＋1.( )
(6)若sin x>，則x>.( )
1．(xx陜西改編)函數(shù)f(x)＝cos(2x－)的最小正周期是________．
答案 π
解析 最小正周期為T＝＝＝π.
2．若函數(shù)f(x)＝sin ωx (ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則ω＝________.
答案
解析 ∵f(x)＝sin ωx(ω>0)過原點，
∴當0≤ωx≤，即0≤x≤時，y＝sin ωx是增函數(shù)；
當≤ωx≤，即≤x≤時，y＝sin ωx是減函數(shù)．
由f(x)＝sin ωx (ω>0)在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減知，＝，∴ω＝.
3．(xx湖北改編)將函數(shù)y＝cos x＋sin x(x∈R) 的圖象向左平移m(m＞0)個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是________．
答案
解析 y＝cos x＋sin x＝2sin(x＋)向左平移m個單位長度后得到y(tǒng)＝2sin(x＋＋m)，它關(guān)于y軸對稱可得
sin(＋m)＝1，
∴＋m＝kπ＋，k∈Z，
∴m＝kπ＋，k∈Z，
∵m>0，∴m的最小值為.
4．函數(shù)y＝lg sin 2x＋的定義域為________________．
答案 {x|－3≤x<－或0
0)的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡單化原則，將解析式先化簡，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”．
(3)求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．
(xx北京)求函數(shù)y＝sin＋cos的周期、單調(diào)區(qū)間及最大、最小值．
解 ∵＋＝，
∴cos＝cos
＝cos＝sin.
∴y＝2sin，周期T＝＝.
當－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ (k∈Z)時，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為 (k∈Z)．
當＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ (k∈Z)時，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴函數(shù)的遞減區(qū)間為(k∈Z)．
當x＝＋ (k∈Z)時，ymax＝2；
當x＝－＋ (k∈Z)時，ymin＝－2.
題型三 三角函數(shù)的奇偶性和對稱性
例3 (1)已知f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，函數(shù)y＝f(x＋φ) 的圖象關(guān)于直線x＝0對稱，則φ的值為________．
(2)如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點中心對稱，那么|φ|的最小值為________．
答案 (1) (2)
解析 (1)f(x)＝2sin，
y＝f(x＋φ)＝2sin圖象關(guān)于x＝0對稱，
即f(x＋φ)為偶函數(shù)．
∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，
又∵|φ|≤，∴φ＝.
(2)由題意得3cos＝3cos
＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值為.
思維升華 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則當x＝0時，f(x)取得最大值或最小值．
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則當x＝0時，f(x)＝0.
如果求f(x)的對稱軸，只需令ωx＋φ＝＋kπ (k∈Z)，求x.
如果求f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令ωx＋φ＝kπ (k∈Z)即可．
(1)若函數(shù)f(x)＝sin ax＋cos ax(a>0)的最小正周期為1，則它的圖象的對稱中心為________．
(2)設(shè)函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期為π，且其圖象關(guān)于直線x＝對稱，則在下面四個結(jié)論：①圖象關(guān)于點(，0)對稱；②圖象關(guān)于點(，0)對稱；③在[0，]上是增函數(shù)；④在[－，0]上是增函數(shù)中，所有正確結(jié)論的編號為________．
答案 (1)(－，0)(k∈Z) (2)②④
解析 (1)由條件得f(x)＝sin(ax＋)，
又函數(shù)的最小正周期為1，故＝1，∴a＝2π，
故f(x)＝sin(2πx＋)．
則2πx＋＝kπ，k∈Z，
x＝－，k∈Z.
∴函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為(－，0)(k∈Z)．
(2)∵T＝π，∴ω＝2.
又2＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
∵φ∈(－，)，∴φ＝，∴y＝sin(2x＋)，
由圖象及性質(zhì)可知②④正確．
三角函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、周期性
典例：(1)已知ω>0，函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是________．
(2)已知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b對任意實數(shù)x有f(x＋)＝f(－x)成立，且f()＝1，則實數(shù)b的值為________．
(3)(xx北京)設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且f＝f＝－f，則f(x)的最小正周期為________．
思維點撥 (1)(，π)為函數(shù)f(x)某個單調(diào)減區(qū)間的子集；(2)由f(x＋)＝f(－x)可得函數(shù)的對稱軸，應(yīng)用函數(shù)在對稱軸處的性質(zhì)求解即可；(3)利用正弦型函數(shù)圖象的對稱性求周期．
解析 (1)由0)的形式．
2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為.
3．對于函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、最值等)可以通過換元的方法令t＝ωx＋φ，將其轉(zhuǎn)化為研究y＝sin t的性質(zhì)．
失誤與防范
1．閉區(qū)間上最值或值域問題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對最值的影響．
2．要注意求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時ω的符號，盡量化成ω>0時的情況．
3．三角函數(shù)的最值可能不在自變量區(qū)間的端點處取得，直接將兩個端點處的函數(shù)值作為最值是錯誤的.
A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時間：40分鐘)
1．下列函數(shù)中，周期為π且在[0，]上是減函數(shù)的是________．(填序號)
①y＝sin(x＋); ②y＝cos(x＋)；
③y＝sin 2x; ④y＝cos 2x.
答案?、?
解析 對于函數(shù)y＝cos 2x，T＝π，
當x∈[0，]時，2x∈[0，π]，y＝cos 2x是減函數(shù)．
2．已知函數(shù)f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f()＝－2，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．
答案 [kπ－，kπ＋](k∈Z)
解析 由f()＝－2得
f()＝－2sin(2＋φ)
＝－2sin(＋φ)＝－2，
所以sin(＋φ)＝1.
因為|φ|<π，所以φ＝.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
3．將函數(shù)f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象經(jīng)過點，則ω的最小值是________．
答案 2
解析 根據(jù)題意平移后函數(shù)的解析式為
y＝sin ω，
將代入得sin ＝0，則ω＝2k，k∈Z，且ω>0，
故ω的最小值為2.
4．給出下列四個命題，其中不正確的命題為______．(填序號)
①若cos α＝cos β，則α－β＝2kπ，k∈Z；
②函數(shù)y＝2cos的圖象關(guān)于x＝中心對稱；
③函數(shù)y＝cos(sin x)(x∈R)為偶函數(shù)；
④函數(shù)y＝sin|x|是周期函數(shù)，且周期為2π.
答案?、佗?
解析 命題①：若α＝－β，則cos α＝cos β，假命題；命題②：x＝，cos＝cos ＝0，故x＝是y＝2cos的對稱中心；命題④：函數(shù)y＝sin|x|不是周期函數(shù)．
5．函數(shù)y＝cos 2x＋sin2x，x∈R的值域是________．
答案 [0,1]
解析 y＝cos 2x＋sin2x＝cos 2x＋＝.
∵cos 2x∈[－1,1]，∴y∈[0,1]．
6．函數(shù)y＝cos(－2x)的單調(diào)減區(qū)間為________．
答案 [kπ＋，kπ＋](k∈Z)
解析 由y＝cos(－2x)＝cos(2x－)得
2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
故kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
7．設(shè)函數(shù)f(x)＝3sin(x＋)，若存在這樣的實數(shù)x1，x2，對任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，則|x1－x2|的最小值為________．
答案 2
解析 f(x)＝3sin(x＋)的周期T＝2π＝4，
f(x1)，f(x2)應(yīng)分別為函數(shù)f(x)的最小值和最大值，
故|x1－x2|的最小值為＝2.
8.已知函數(shù)f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分圖象如圖，則f()＝________.
答案
解析 由題中圖象可知，此正切函數(shù)的半周期等于－＝，即最小正周期為，
所以ω＝2.由題意可知，圖象過定點(，0)，
所以0＝Atan(2＋φ)，
即＋φ＝kπ(k∈Z)，
所以φ＝kπ－(k∈Z)，
又|φ|<，所以φ＝.
又圖象過定點(0,1)，所以A＝1.
綜上可知，f(x)＝tan(2x＋)，
故有f()＝tan(2＋)＝tan ＝.
9．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin (－π<φ<0)，y＝f(x)圖象的一條對稱軸是直線x＝.
(1)求φ；
(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間．
解 (1)令2＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又－π<φ<0，則φ＝－.
(2)由(1)得：f(x)＝sin，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
因此y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z.
10．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(－)－2cos2＋1.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)若函數(shù)y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，求當x∈[0，]時，y＝g(x)的最大值．
解 (1)f(x)＝sin cos －cos sin －cos
＝sin －cos ＝sin(－)，
故f(x)的最小正周期為T＝＝8.
(2)方法一 在y＝g(x)的圖象上任取一點(x，g(x))，
它關(guān)于x＝1的對稱點(2－x，g(x))．
由題設(shè)條件，知點(2－x，g(x))在y＝f(x)的圖象上，
從而g(x)＝f(2－x)＝sin[(2－x)－]
＝sin[－－]＝cos(＋)．
當0≤x≤時，≤＋≤，
因此y＝g(x)在區(qū)間[0，]上的最大值為
g(x)max＝cos ＝.
方法二 區(qū)間[0，]關(guān)于x＝1的對稱區(qū)間為[，2]，
且y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，
故y＝g(x)在[0，]上的最大值為
y＝f(x)在[，2]上的最大值．
由(1)知f(x)＝sin(－)，
當≤x≤2時，－≤－≤.
因此y＝g(x)在[0，]上的最大值為
g(x)max＝sin ＝.
B組 專項能力提升
(時間：20分鐘)
1．函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0且|φ|<)在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減，且函數(shù)值從1減小到－1，那么此函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標為________．
答案
解析 函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的最大值為1，最小值為－1，由該函數(shù)在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減，且函數(shù)值從1減小到－1，可知－＝為半周期，則周期為π，ω＝＝＝2，此時原函數(shù)式為y＝sin(2x＋φ)，又由函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的圖象過點(，1)，且|φ|<.代入可得φ＝，因此函數(shù)為y＝sin(2x＋)，令x＝0，可得y＝.
2．已知函數(shù)f(x)＝2msin x－ncos x，直線x＝是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸，則＝________.
答案?。?
解析 由x＝是函數(shù)f(x)圖象的對稱軸易得
f(0)＝f()，
∴－n＝2msin－ncos ，
∴－n＝m＋，
∴m＝－n，
∴＝－.
3．函數(shù)y＝tan(2x＋)的圖象與x軸交點的坐標是__________________________.
答案 (－，0)(k∈Z)
解析 由2x＋＝kπ(k∈Z)得，
x＝－(k∈Z)．
∴函數(shù)y＝tan(2x＋)的圖象與x軸交點的坐標是(－，0)(k∈Z)．
4．給出下列命題：
①函數(shù)f(x)＝4cos(2x＋)的一個對稱中心為(－，0)；
②已知函數(shù)f(x)＝min{sin x，cos x}，則f(x)的值域為[－1，]；
③若α、β均為第一象限角，且α>β，則sin α>sin β.
其中所有真命題的序號是________．
答案?、佗?
解析 對于①，令x＝－π，則2x＋＝－π＋＝－，有f(－π)＝0，因此(－π，0)為f(x)的一個對稱中心，①為真命題；對于②，結(jié)合圖象知f(x)的值域為[－1，]，②為真命題；對于③，令α＝390，β＝60，有390>60，但sin 390＝0，函數(shù)f(x)＝－2asin＋2a＋b，當x∈時，－5≤f(x)≤1.
(1)求常數(shù)a，b的值；
(2)設(shè)g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間．
解 (1)∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]．
∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lg g(x)>0，得g(x)>1，
∴4sin－1>1，∴sin>，
∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中當2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z時，
g(x)單調(diào)遞增，即kπ
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