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考點測試9 指數與指數函數
高考概
覽
考綱研讀
1．了解指數函數模型的實際背景
2．理解有理數指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算
3．理解指數函數的概念，理解指數函數的單調性，掌握指數函數圖象通過的特殊點
4．體會指數函數是一類重要的函數模型
一、基礎小題
1．下列運算不正確的是( )
A．＝π－3 B．e2x＝(ex)2
C．＝a－b D．＝
答案 D
解析 當a，b小于0時，選項D不正確．其他均正確．故選D．
2．已知a>0，則下列運算正確的是( )
A．aa＝a B．aa－＝0
C．(a)2＝a D．aa－＝a
答案 D
解析 由指數冪運算性質可得選項D正確．故選D．
3．計算：44＝( )
A．a16 B．a8 C．a4 D．a2
答案 C
解析 44＝(a)4(a)4＝a4．故選C．
4．若函數f(x)＝(2a－5)ax是指數函數，則f(x)在定義域內( )
A．為增函數 B．為減函數
C．先增后減 D．先減后增
答案 A
解析 由指數函數的定義知2a－5＝1，解得a＝3，所以f(x)＝3x，所以f(x)在定義域內為增函數．故選A．
5．設a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
答案 A
解析 由題意，根據指數函數的性質可得0<<<1，根據冪函數的性質可得<，
∴a>c>b．故選A．
6．已知函數f(x)＝4＋ax－1的圖象恒過定點P，則點P的坐標是( )
A．(1，5) B．(1，4) C．(0，4) D．(4，0)
答案 A
解析 當x＝1時，f(x)＝5．故選A．
7．當x>0時，函數f(x)＝(a2－1)x的值總大于1，則實數a的取值范圍是( )
A．1<|a|<2 B．|a|<1
C．|a|> D．|a|<
答案 C
解析 ∵x>0時，f(x)＝(a2－1)x的值總大于1，
∴a2－1>1，即a2>2．∴|a|>．故選C．
8．函數f(x)＝ax－(a>0，a≠1)的圖象可能是( )
答案 D
解析 當a>1時，將y＝ax的圖象向下平移個單位長度得f(x)＝ax－的圖象，A，B都不符合；當0
2x；
②當a>1時，任取x∈R都有ax>a－x；
③y＝()－x是增函數；
④y＝2|x|的最小值為1；
⑤在同一坐標系中，y＝2x與y＝2－x的圖象關于y軸對稱．
A．①②④ B．④⑤ C．②③④ D．①⑤
答案 B
解析 ①中令x＝－1，則3－1<2－1，故①錯誤；②中當x<0時，axlog23>0，而函數f(x)＝2|x|－1在(0，＋∞)上為增函數，∴f(log25)>f(log23)>f(0)，即b>a>c，故選C．
15．(2015江蘇高考)不等式2x2－x<4的解集為________．
答案 {x|－10，函數f(x)＝的圖象經過點Pp，，Qq，－．若2p＋q＝36pq，則a＝________．
答案 6
解析 由已知條件知f(p)＝，f(q)＝－，
所以
①＋②，得＝1，
整理得2p＋q＝a2pq，又2p＋q＝36pq，
∴36pq＝a2pq，又pq≠0，
∴a2＝36，∴a＝6或a＝－6，又a>0，得a＝6．
三、模擬小題
18．(2018河南安陽月考)化簡(a>0，b>0)的結果是( )
A． B．ab C．a2b D．
答案 D
解析 原式＝＝＝＝ab－1＝．故選D．
19．(2018福建廈門第一次質量檢查)已知a＝0．3，b＝log0．3，c＝ab，則a，b，c的大小關系是( )
A．alog0．5＝1，
∴ac，∴c1且a≠2)在區(qū)間(0，＋∞)上具有不同的單調性，則M＝(a－1)0．2與N＝0．1的大小關系是( )
A．M＝N B．M≤N C．MN
答案 D
解析 因為f(x)＝x2－a與g(x)＝ax(a>1且a≠2)在區(qū)間(0，＋∞)上具有不同的單調性，所以a>2，所以M＝(a－1)0．2>1，N＝0．1<1，所以M>N，故選D．
21．(2018湖南郴州第二次教學質量檢測)已知函數f(x)＝ex－，其中e是自然對數的底數，則關于x的不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集為( )
A．－∞，－∪(2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．－∞，∪(2，＋∞)
D．(－∞，2)
答案 B
解析 函數f(x)＝ex－的定義域為R，
∵f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函數，那么不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0等價于f(2x－1)>－f(－x－1)＝f(1＋x)，易證f(x)是R上的遞增函數，∴2x－1>x＋1，解得x>2，∴不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集為(2，＋∞)，故選B．
22．(2018湖南益陽4月調研)已知函數f(x)＝(a∈R)的圖象關于點0，對稱，則a＝________．
答案 1
解析 由已知，得f(x)＋f(－x)＝1，即＋＝1，
整理得(a－1)[22x＋(a－1)2x＋1]＝0，
當a－1＝0，即a＝1時，等式成立．
23．(2018浙江麗水月考)當x∈(－∞，－1]時，不等式(m2－m)4x－2x<0恒成立，則實數m的取值范圍是________．
答案 (－1，2)
解析 原不等式變形為m2－m0，t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0，
又t>0，故t＝2，即x＝2，解得x＝－1，故滿足條件的x的值為－1．
2．(2018河南新鄉(xiāng)月考)已知函數f(x)＝a3－ax(a>0且a≠1)．
(1)當a＝2時，f(x)<4，求x的取值范圍；
(2)若f(x)在[0，1]上的最小值大于1，求a的取值范圍．
解 (1)當a＝2時，f(x)＝23－2x<4＝22，
3－2x<2，得x>．
(2)y＝3－ax在定義域內單調遞減，
當a>1時，函數f(x)在[0，1]上單調遞減，
f(x)min＝f(1)＝a3－a>1＝a0，得11，不成立．所以10，a≠1)的圖象經過點A(1，6)，B(3，24)．
(1)試確定f(x)；
(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求實數m的取值范圍．
解 (1)∵f(x)＝bax的圖象過點A(1，6)，B(3，24)，
∴
②①得a2＝4．
又a>0，且a≠1，∴a＝2，b＝3，
∴f(x)＝32x．
(2)由(1)知x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立轉化為m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝x＋x，
則g(x)在(－∞，1]上單調遞減，
∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝．
故所求實數m的取值范圍是．
4．(2018湖南衡陽八中月考)已知函數f(x)＝ex＋ae－x，x∈R．
(1)當a＝1時，證明f(x)為偶函數；
(2)若f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，求實數a的取值范圍；
(3)若a＝1，求實數m的取值范圍，使m[f(2x)＋2]≥f(x)＋1在R上恒成立．
解 (1)證明：當a＝1時，f(x)＝ex＋e－x，定義域(－∞，＋∞)關于原點對稱，而f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)為偶函數．
(2)設x1，x2∈[0，＋∞)且x10恒成立，即a
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