2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 三 相似三角形的判定及性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修4-1.docx

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三　相似三角形的判定及性質(zhì) [學(xué)習(xí)目標] 1.理解相似三角形的定義. 2.理解預(yù)備定理的本質(zhì). 3.會證明判定定理1，2，3，理解這些定理的內(nèi)容，能應(yīng)用這些定理證明相關(guān)的幾何問題. 4.掌握直角三角形相似的判定定理，會應(yīng)用定理證明相關(guān)的幾何問題. [知識鏈接] 1.在初中我們學(xué)習(xí)過相似三角形，想一想，相似三角形及相似比是如何定義的？ 提示　對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù)). 2.判斷下列各命題的正確性，正確的打“√”，錯誤的打“” (1)兩個等邊三角形相似(√) (2)兩個直角三角形相似() (3)兩個等腰直角三角形相似(√) (4)有一個角為50的兩個等腰三角形相似() (5)有一個角為100的兩個等腰三角形相似(√) [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1.相似三角形 (1)定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫作相似三角形，相似三角形對應(yīng)邊的比值叫作相似比(或相似系數(shù)). (2)記法：兩個三角形相似，用符號“∽”表示，例如△ABC與△A′B′C′相似，記作△ABC∽△A′B′C′. 2.相似三角形的判定 定理 內(nèi)容 簡述 作用 預(yù) 備 定 理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 判定兩個三角形相似 判 定 定 理 1 對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似 兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似 判定兩個三角形相似 判 定 定 理 2 對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似 判定兩個三角形相似 引理 如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例那么這條直線平行于三角形的第三邊 判定兩條直線平行 判 定 定 理 3 對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似 三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似 判定兩個三角形相似 3.直角三角形相似的判定定理 (1)如果兩個直角三角形有一個銳角對應(yīng)相等，那么它們相似. (2)如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么它們相似. (3)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似. 4.相似三角形的性質(zhì)定理 (1)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比. (2)相似三角形周長的比等于相似比. (3)相似三角形面積的比等于相似比的平方. 5.兩個相似三角形外接(內(nèi)切)圓的直徑比、周長比、面積比與相似比的關(guān)系 相似三角形外接(內(nèi)切)圓的直徑比、周長比等于相似比，外接(內(nèi)切)圓的面積比等于相似比的平方. 6.相似三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)比較 全等三角形 相似三角形 對應(yīng)邊相等 對應(yīng)邊成比例 對應(yīng)角相等 對應(yīng)角相等 對應(yīng)中線相等 對應(yīng)中線的比等于相似比 對應(yīng)角平分線相等 對應(yīng)角平分線的比等于相似比 對應(yīng)高相等 對應(yīng)高的比等于相似比 周長相等 周長比等于相似比 面積相等 面積比等于相似比的平方 外接(內(nèi)切)圓的直徑相等 外接(內(nèi)切)圓的直徑比等于相似比 外接(內(nèi)切)圓的周長相等 外接(內(nèi)切)圓的周長比等于相似比 外接(內(nèi)切)圓的面積相等 外接(內(nèi)切)圓的面積比等于相似比的平方 要點一　相似三角形的判定 例1　如圖所示，∠ABC＝∠D＝90，AC＝a，BC＝b，當BD與a，b之間滿足怎樣的關(guān)系時，△ABC與△CDB相似？ 解　(1)∵∠ABC＝∠CDB＝90， ∴當＝時，△ABC∽△CDB. 即＝， ∴BD＝時，△ABC∽△CDB. (2)∵∠ABC＝∠BDC＝90， ∴當＝時，△ABC∽△BDC， 即＝， ∴BD＝時，△ABC∽△BDC. 綜上，當BD＝或BD＝時，△ABC與△CDB相似. 規(guī)律方法　解決此類問題，重點應(yīng)放在“對應(yīng)關(guān)系”上，根據(jù)“對應(yīng)關(guān)系”進行合理的討論是解題的關(guān)鍵. 跟蹤演練1　如圖所示，等腰三角形ABC中，AB＝AC，D為CB延長線上一點，E為BC延長線上一點，滿足AB2＝DBCE. (1)求證：△ADB∽△EAC； (2)若∠BAC＝40，求∠DAE的度數(shù). (1)證明　∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ECA. 又∵AB2＝DBCE，∴＝＝， ∴＝，∴△ADB∽△EAC. (2)解　∵AB＝AC，∠BAC＝40，∴∠ABC＝70. 又∵△ADB∽△EAC，∴∠D＝∠EAC， ∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝∠DAB＋∠BAC＋∠D＝∠ABC＋∠BAC＝70＋40＝110. 要點二　直角三角形的判定 例2　如圖所示，矩形ABCD中，AB∶BC＝5∶6，點E在BC上，點F在CD上，且EC＝BC，F(xiàn)C＝CD. 求證：△AFD∽△FEC. 證明　設(shè)EC＝x，則BC＝AD＝6x，AB＝DC＝5x，∴FC＝3x，F(xiàn)D＝2x， ∴＝＝2，＝＝2， ∴＝，又∵∠D＝∠C＝90， ∴△AFD∽△FEC. 規(guī)律方法　直角三角形相似的判定方法很多，既可根據(jù)一般三角形相似的判定方法，又有其獨特的判定方法，在求證、識別的過程中可由已知條件結(jié)合圖形特征，確定合適的方法. 跟蹤演練2　如圖所示，直線EF交AB，AC于點F，E，交BC的延長線于點D，AC⊥BC，且ABCD＝DEAC. 求證：AECE＝DEEF. 證明　∵ABCD＝DEAC， ∴＝. ∵AC⊥BC，∴∠ACB＝∠DCE＝90， ∴Rt△ACB∽Rt△DCE， ∴∠A＝∠D. 又∵∠AEF＝∠DEC， ∴△AEF∽△DEC， ∴＝，∴AECE＝DEEF. 要點三　相似三角形的性質(zhì) 例3　如圖所示，在△ABC和△DBE中，＝＝＝. (1)若△ABC與△DBE的周長之差為10 cm，求△ABC的周長； (2)若△ABC與△DBE的面積之和為170 cm2，求△DBE的面積. 解　(1)∵＝＝， ∴△ABC∽△DBE. ∴＝＝. 設(shè)△ABC的周長為5xcm， 則△DBE的周長為3xcm， 依題意，得5x－3x＝10，解得x＝5. ∴△ABC的周長為25 cm. (2)∵△ABC∽△DBE， ∴＝＝＝. 設(shè)S△ABC＝25ycm2， 則S△DBE＝9ycm2， 依題意，得25y＋9y＝170，解得y＝5. ∴△DBE的面積為45 cm2. 規(guī)律方法　在利用相似三角形的性質(zhì)建立比例式時，一定要注意比的順序，才能得出正確的結(jié)果. 跟蹤演練3　如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，S△ADE∶S△ABC＝4∶9. 求：(1)AE∶EC； (2)S△ADE∶S△CDE. 解　(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC. ＝＝，∴＝，＝. (2)如圖所示，作DF⊥AC于F， 則S△ADE＝DFAE，S△CDE＝DFEC， ∴＝＝＝. 1.相似三角形判定定理的作用 (1)可以用來判定兩個三角形相似； (2)間接證明角相等，線段長成比例； (3)為計算線段的長度及角的大小創(chuàng)造條件. 2.三角形相似的判定定理的一些常見推論 推論1：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似； 推論2：腰和底對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似； 推論3：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個三角形相似. 推論4：如果一個三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個三角形相似. 3.相似三角形的性質(zhì)定理的內(nèi)容歸納起來主要有兩個方面：一是相似三角形的對應(yīng)線段(高、中線、角平分線以及周長)的比等于相似比；二是相似三角形面積的比等于相似比的平方，運用性質(zhì)定理，拓寬思路，可以探討得到：兩個相似三角形中的所有對應(yīng)圖形(所有對應(yīng)線段如等分線段，等分角線以及外接圓與內(nèi)切圓的直徑、周長、面積等)與相似比都有一定的關(guān)系. 1.如圖，在△ABC中，DE∥BC，點F是BC上的一點，AF交DE于點G，則與△ADG相似的是(　　) A.△AEG　　　　　 B.△ABF C.△AFC D.△ABC 解析　在△ABF中，DG∥BF，則△ADG∽△ABF. 答案　B 2.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90，AD⊥BC，垂足為D，DE⊥AB，垂足為E，則圖中與Rt△ADE相似的三角形個數(shù)為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　圖中Rt△CBA，Rt△CAD，Rt△ABD，Rt△DBE均與Rt△ADE相似. 答案　D 3.(2016深圳調(diào)考)如圖所示，∠BAC＝∠DCB，∠CDB＝∠ABC＝90，AC＝a，BC＝b.則BD＝________(用a，b表示). 解析　由題意可得△ABC∽△CDB，∴＝，∴BD＝＝. 答案　 4.(2016天津南開中學(xué)檢測)如圖所示，已知點D是△ABC中AB上的一點，DE∥BC且交AC于點E，EF∥AB且交BC于點F，且S△ADE＝1，S△EFC＝4，求四邊形BFED的面積. 解　∵AB∥EF，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC， ∴△ADE∽△EFC. 又S△ADE∶S△EFC＝1∶4， ∴AE∶EC＝1∶2， ∴AE∶AC＝1∶3. ∴S△ADE∶S△ABC＝1∶9. ∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝9. ∴S四邊形BFED＝S△ABC－S△ADE－S△EFC＝9－1－4＝4. 一、基礎(chǔ)達標 1.在△ABC中，P為AB上一點，在下列四個條件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝APAB；④ABCP＝APCB.其中，能判定△APC與△ACB相似的條件是(　　) A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③ 解析　如圖，∵∠A＝∠A，∴①∠ACP＝∠B，②∠APC＝∠ACB時，都滿足三角形相似的條件； 當AC2＝APAB時， 即＝，∴③也滿足相似條件；④中兩個對應(yīng)邊的夾角不是∠A，故不相似. 答案　D 2.如圖所示，△ABC∽△AED∽△AFG，DE是△ABC的中位線，△ABC與△AFG的相似比是3∶2，則△AED與△AFG的相似比是(　　) A.3∶4 B.4∶3 C.8∶9 D.9∶8 解析　因為△ABC與△AFG的相似比是3∶2，故AB∶AF＝3∶2，又△ABC與△AED的相似比是2∶1，即AB∶AE＝2∶1，故△AED與△AFG的相似比k＝AE∶AF＝＝＝.故選A. 答案　A 3.在△ABC中，D，E分別為AB，AC上的點，且DE∥BC，△ADE的面積是2 cm2，梯形DBCE的面積為6 cm2，則DE∶BC的值為(　　) A.1∶ B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4 解析　如圖，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE∶S△ABC＝2∶(6＋2)＝1∶4，∴DE∶BC＝1∶2. 答案　B 4.(2016黃岡調(diào)考)如圖，在?ABCD中，AE∶EB＝1∶2，△AEF的面積為6， 則△ADF的面積為________. 解析　∵AE∥DC，AE∶EB＝1∶2， ∴△AEF∽△CDF，且相似比＝＝＝＝，又△AEF的邊EF上的高與△ADF的邊DF上的高相等， ∴＝＝. 又S△AEF＝6，∴S△ADF＝18. 答案　18 5.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，對角線BD⊥DC，AD＝3，BC＝7，則BD2＝________. 解析　∵∠ADC＋∠BCD＝180，∠BDC＝90， ∴∠ADB＋∠BCD＝90. 而∠ADB＋∠ABD＝90， ∴∠ABD＝∠BCD. 又∠BAD＝∠BDC＝90， ∴Rt△ABD∽Rt△DCB. ∴＝. ∴BD2＝ADBC＝37＝21. 答案　21 6.如圖所示，在?ABCD中E，F(xiàn)分別在AD與CB的延長線上，請寫出圖中所有的相似三角形. 解　∵AB∥CD， ∴△EDH∽△EAG，△CHM∽△AGM，△FBG∽△FCH. 又∵AD∥BC， ∴△AEM∽△CFM，△EDH∽△FCH，△AEG∽△BFG，△ABC∽△CDA. ∴圖中的相似三角形有△AEM∽△CFM，△AGM∽△CHM，△EDH∽△EAG∽△FBG∽△FCH， △ABC∽△CDA. 二、能力提升 7.在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，點D為AC上一點，DC＝AC，在AB上取一點E，得到△ADE，若△ADE與△ABC相似，則DE的長為(　　) A.6 B.8 C.6或8 D.14 解析　當△ADE∽△ACB時，則＝，∴DE＝＝6，當△ADE∽△ABC時，則＝，∴DE＝＝8. 答案　C 8.如圖，BD⊥AE，∠C＝90，AB＝4，BC＝2，AD＝3.則DE＝________，CE＝________. 解析　在Rt△ACE和Rt△ADB中，∠A是公共角， ∴△ACE∽△ADB，∴＝. ∴AE＝＝＝＝8. 則DE＝AE－AD＝8－3＝5. 在Rt△ACE中，CE＝＝＝2. 答案　5　2 9.如圖所示，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________. 解析　∵∠B＝∠D，∠AEB＝∠ACD＝90，∴△AEB∽△ACD，從而得＝，＝，解得AE＝2，故BE＝＝4. 答案　4 10.如圖，已知在正方形ABCD中，P是BC上的點，有BP＝3PC，Q是CD的中點. 求證：△ADQ∽△QCP. 證明　在正方形ABCD中， ∵Q是CD的中點，∴＝2. ∵＝3，∴＝4. 又BC＝2DQ，∴＝2. 在△ADQ和△QCP中， ＝＝2，∠C＝∠D＝90， ∴△ADQ∽△QCP. 11.如圖所示，△ABC為正三角形，D，E分別是AC，BC邊上的點(不在頂點)，∠BDE＝60. (1)求證：△DEC∽△BDA； (2)若正三角形ABC的邊長為6，當D點在什么位置時，可使BE最短，此時BE長是多少？ (1)證明　∵∠BDE＝60， ∴∠BDC＝∠BDE＋∠CDE＝60＋∠CDE. 又∠BDC是△ABD的一個外角，且∠A＝60， ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝60＋∠ABD， ∴∠CDE＝∠ABD. 又∵∠A＝∠C＝60， ∴△DEC∽△BDA. (2)解　設(shè)DC＝x，BE＝y(tǒng)， 則EC＝6－y，AD＝6－x. 由(1)可得＝，整理得＝， 即y＝x2－x＋6(0AE). (1)△AEF與△ECF是否相似，若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由. (2)設(shè)＝k，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BCF相似，若存在，證明你的結(jié)論，并求出k的值；若不存在，請說明理由. 解　(1)相似.在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90. ∵EF⊥EC，A，D，E共線，∴∠AEF＋∠DEC＝90. 又∵∠DEC＋∠DCE＝90， ∴∠AEF＝∠DCE.∴△AEF∽△DCE. ∴＝.∵AE＝DE，∴＝. 又∵∠A＝∠FEC＝90，∴△AEF∽△ECF. (2)存在.由于∠AEF＝90－∠AFE<180－∠CFE－∠AFE＝∠BFC， ∴只能是△AEF∽△BCF. ∠AEF＝∠BCF. 由(1)知△AEF∽△DCE∽△ECF， ∴∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠BCF， 又∵∠DCE＋∠ECF＋∠BCF＝90， ∴∠DCE＝30， ∴＝＝＝，即k＝. 反過來，當k＝時，＝，∠DCE＝30，∠AEF＝∠DCE＝30，∠ECF＝∠AEF＝30， ∴∠BCF＝90－30－30＝30＝∠AEF. ∴△AEF∽△BCF.