2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修1-2）3.3《復(fù)數(shù)的幾何意義》word教案2篇.doc

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2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修1-2）3.3《復(fù)數(shù)的幾何意義》word教案2篇 　　菱形、矩形、正方形等特殊的平面幾何圖形與某些復(fù)數(shù)式之間存在某種聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化的途徑．在求解復(fù)數(shù)問題時(shí)，若能善于觀察條件中給定的或者是通過(guò)推理所得的復(fù)數(shù)形式的結(jié)構(gòu)特征，往往能獲得簡(jiǎn)捷明快的解決方法．下面列舉幾例，以供參考． 　　一、復(fù)數(shù)式與矩形的轉(zhuǎn)化 　　例1　已知復(fù)數(shù)滿足，，且，求與的值． 　　解析：設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由于，故，故以，為鄰邊的平行四邊形是矩形，從而，則；． 　　二、復(fù)數(shù)式與正方形的轉(zhuǎn)化 　　例2　已知復(fù)數(shù)滿足，且，求證：． 　　證明：設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由條件知，以，為鄰邊的平行四邊形為正方形，而在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的向量為正方形的一條對(duì)角線，所以． 　　點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系賦予了復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義的運(yùn)用是本題考查的重點(diǎn)． 　　三、復(fù)數(shù)式與菱形的轉(zhuǎn)化 　　例3　已知，，，求 　　解析：設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由知，以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，在中，由余弦定理，得， 　　∴，∴，因此，是正三角形， ∴． 　　點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)復(fù)數(shù)模的幾何意義的應(yīng)用來(lái)判斷四邊形的形狀，并且應(yīng)用到了余弦定理，使得問題解決的很巧妙． 　　例4　求使（）為純虛數(shù)的充要條件． 　　解析：∵是純虛數(shù)，∴可設(shè)．設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，以為鄰邊的平行四邊形是菱形，∴， ∴．考慮到時(shí)，；時(shí)，無(wú)意義，故使為純虛數(shù)的充要條件是，且，． 復(fù)數(shù)的加減法符合平行四邊形法則，是復(fù)數(shù)與平行四邊形家族聯(lián)姻的前提．通過(guò)本文我們發(fā)現(xiàn)深入抓住復(fù)數(shù)加減法的幾何意義的本質(zhì)，可使我們求解復(fù)數(shù)問題的思路更加廣闊，方法也更加靈活． 復(fù)數(shù)中的數(shù)形結(jié)合 因?yàn)閺?fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，體現(xiàn)了數(shù)與形的對(duì)應(yīng)，所以在復(fù)數(shù)中利用數(shù)形結(jié)合解某些問題不僅巧妙，而且也體現(xiàn)出一種數(shù)學(xué)之美． 知識(shí)點(diǎn)鏈接：設(shè)動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)分別表示復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則 （1）表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離 （2）表示以為半徑，點(diǎn)為圓心的圓； （3）表示線段的垂直平分線； （4），當(dāng)時(shí)，表示線段； 當(dāng)時(shí)，表示以點(diǎn)為焦點(diǎn)，2a為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓． 上述幾種曲線都可以結(jié)合（1）中的的幾何含義來(lái)理解．比如，（3）中表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離相等，所以，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線． 下面舉例說(shuō)明數(shù)形結(jié)合的用法： 例1　若，則的最大值為________． 解析：由知，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的軌跡是以2為半徑，點(diǎn)為圓心的圓及其內(nèi)部，所以的最大值為． 例2　如果復(fù)數(shù)z滿足，那么的最小值為（ （A）　?。˙）　　（C）　?。―） 解析：如右圖，由知，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是線段，其中． 　　又表示點(diǎn)到線段上點(diǎn)的距離，故當(dāng)時(shí)，． 例3　復(fù)數(shù)z滿足條件，則的最小值為______． 解析：由知，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為線段的垂直平分線，其中，即原點(diǎn)到垂直平分線上的點(diǎn)的距離．故． 例4　復(fù)數(shù)z滿足，則的取值范圍是（ ） （A）　　　　　（B） （C） 　　?。―） 解析：由可得 　　因此復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以，為圓心，1為半徑的圓周，而，故點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，最大值為． 復(fù)平面與高斯 歷史上，人們對(duì)虛數(shù)的認(rèn)識(shí)與對(duì)負(fù)數(shù)、無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí)一樣，經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程． 　　眾所周知，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)負(fù)數(shù)偶次方根不存在．公元1545年，意大利人卡爾丹（Ｃardan）討論這樣一個(gè)問題：把10分成兩部分，使它們的積為40，他找到的答案是和．即 　　， 　　． 卡爾丹沒有因?yàn)橛羞`前人負(fù)數(shù)不能開平方的原則而予以否定，笛卡兒給這個(gè)還找不到合理解釋的數(shù)起了個(gè)名字———“虛數(shù)”．由理論思維得出的數(shù)能表示自然界中哪些量呢？從此“虛數(shù)”這個(gè)令人不解的怪物困擾數(shù)學(xué)界達(dá)幾百年之久．即使在1730年棣莫弗得到公式、1748年歐拉發(fā)現(xiàn)關(guān)系式的情況下，這種困擾仍沒有澄清． 　　伴隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，1831年德國(guó)人高斯創(chuàng)立了虛數(shù)的幾何表示，它被理解為平面上的點(diǎn)或向量，即復(fù)數(shù)與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)和向量相互對(duì)應(yīng)，從而與物理學(xué)上的各種矢量相溝通，使復(fù)數(shù)成為研究力、位移、速度、電場(chǎng)強(qiáng)度等量的強(qiáng)有力的工具．比如在電工學(xué)中，交流電的電動(dòng)勢(shì)、電流都可以用復(fù)數(shù)表示： 　　， 　　， 由它們的模和輻角完全確定了電壓和電流的變化規(guī)律．從此復(fù)數(shù)才被普遍接受． 　　高斯是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一．他不僅以少年時(shí)代對(duì)“”的巧妙算法傾倒眾人，而且在他探索過(guò)的眾多科學(xué)領(lǐng)域，都留有重要的貢獻(xiàn)： 　　在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，他發(fā)現(xiàn)了素?cái)?shù)定理；發(fā)現(xiàn)并證明了數(shù)論中的二次互反律；首次嚴(yán)格證明了代數(shù)基本定理：一元n次方程在復(fù)數(shù)集上恰有n個(gè)根．他還解決了兩千年來(lái)古希臘人的遺留問題，找到了用直尺和圓規(guī)作正17邊形的方法…… 　　在物理學(xué)領(lǐng)域，他定出地磁南、北極的位置；給出了第一張地磁場(chǎng)圖；建立了電磁學(xué)的高斯單位制…… 　　在天文學(xué)領(lǐng)域，高斯創(chuàng)立計(jì)算行星軌道的方法；算出小行星谷神星的軌道，發(fā)現(xiàn)小行星智神星的位置；發(fā)表有關(guān)天體運(yùn)動(dòng)的重要著作《天體運(yùn)動(dòng)理論》…… 復(fù)數(shù)中的幾個(gè)結(jié)論及共應(yīng)用 數(shù)系由實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系之后，實(shí)數(shù)系中哪些公式和法則仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法則，是同學(xué)們不易弄清的問題，以下給出幾則在復(fù)數(shù)系中仍然成立的公式和法則及幾個(gè)新的公式和法則，并簡(jiǎn)單舉例說(shuō)明其應(yīng)用. 　　一、中點(diǎn)公式：A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點(diǎn)為兩點(diǎn)的中點(diǎn)，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，即． 　　例1　四邊形是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)． 　　解：由已知應(yīng)用中點(diǎn)公式可得的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 　　二、根與系數(shù)的關(guān)系：若實(shí)系數(shù)方程的兩復(fù)根為，，則有，． 　　推論：若實(shí)系數(shù)方程有兩虛數(shù)根，則這兩個(gè)虛數(shù)根共軛． 　　例2　方程的一個(gè)根為，求實(shí)數(shù)，的值． 　　解：已知實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根為，由推論知方程的另一根為，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，． 　　三、相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)：①為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)；②對(duì)任意復(fù)數(shù)有；③；④，特別地有；⑤；⑥． 　　例3　設(shè)，且，求證為實(shí)數(shù)． 　　證明：由條件可知，則 　　所以，， 　　所以為實(shí)數(shù)． 　　四、兩則幾何意義：①的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離；②中所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為以復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上的點(diǎn)． 　　例4　若，且，則的最小值為　　　　?。? 解：即，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為到點(diǎn)的距離為定值1的所有的點(diǎn)，即以為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)．即，為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離減去圓的半徑，可得結(jié)果為3． 復(fù)數(shù)與平行四邊形家族 菱形、矩形、正方形等特殊的平面幾何圖形與某些復(fù)數(shù)式之間存在某種聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化的途徑．在求解復(fù)數(shù)問題時(shí)，要善于考察條件中給定的或者是通過(guò)推理所得的復(fù)數(shù)形式的結(jié)構(gòu)特征，往往能獲得簡(jiǎn)捷明快、生動(dòng)活潑的解決方法．下面略舉幾例，以供參考． 　　一、復(fù)數(shù)式與長(zhǎng)方形的轉(zhuǎn)化 　　例1　復(fù)數(shù)，滿足，，證明：． 　　解析：設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，由知，以，為鄰邊的平行四邊形為矩形，，故可設(shè)，所以． 例2 已知復(fù)數(shù)，滿足，，且，求與的值． 　　解析：設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，由于，故 　　故以，為鄰邊的平行四邊形是矩形，從而，則；． 　　 二、復(fù)數(shù)式與正方形的轉(zhuǎn)化 　　例3　已知復(fù)數(shù)滿足，且，求證：． 　　證明：設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，由條件知，以，為鄰邊的平行四邊形為正方形，而在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的向量為正方形的一條對(duì)角線，所以 　　點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系賦予了復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)加法幾何意義的運(yùn)用是本題考查的重點(diǎn)． 　　三、復(fù)數(shù)式與菱形的轉(zhuǎn)化 　　例4　已知，，，求． 　　解析：設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由知，以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，，，考慮到時(shí)，；時(shí)，無(wú)意義，故使為純虛數(shù)的充要條件是，且，． 　　復(fù)數(shù)的加減法符合平行四邊形法則，是復(fù)數(shù)與平行四邊形家族聯(lián)姻的前提．通過(guò)本文我們發(fā)現(xiàn)深入抓住復(fù)數(shù)加減法的幾何意義的本質(zhì)，可使我們求解復(fù)數(shù)問題的思路更加廣闊，方法也更加靈活．