2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題57 排列組合中的常見模型.doc

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專題57 排列組合中的常見模型 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 縱觀近幾年的高考試題，排列組合問題往往以實(shí)際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)、分類分步計數(shù)原理，同時考查分類討論的思想及解決問題的能力．除了以選擇、填空的形式考查，也往往在解答題中與古典概型概率計算相結(jié)合進(jìn)行考查． 本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，舉例說明排列組合中的常見模型的解法. （一）處理排列組合問題的常用思路： 1、特殊優(yōu)先：對于題目中有特殊要求的元素，在考慮步驟時優(yōu)先安排，然后再去處理無要求的元素. 例如：用組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有多少種排法？ 2、尋找對立事件：如果一件事從正面入手，考慮的情況較多，則可以考慮該事的對立面，再用全部可能的總數(shù)減去對立面的個數(shù)即可. 3、先取再排（先分組再排列）：排列數(shù)是指從個元素中取出個元素，再將這個元素進(jìn)行排列.但有時會出現(xiàn)所需排列的元素并非前一步選出的元素，所以此時就要將過程拆分成兩個階段，可先將所需元素取出，然后再進(jìn)行排列. （二）排列組合的常見模型 1、捆綁法（整體法）：當(dāng)題目中有“相鄰元素”時，則可將相鄰元素視為一個整體，與其他元素進(jìn)行排列，然后再考慮相鄰元素之間的順序即可. 2、插空法：當(dāng)題目中有“不相鄰元素”時，則可考慮用剩余元素“搭臺”，不相鄰元素進(jìn)行“插空”，然后再進(jìn)行各自的排序 注：（1）要注意在插空的過程中是否可以插在兩邊 （2）要從題目中判斷是否需要各自排序 3、錯位排列：排列好的個元素，經(jīng)過一次再排序后，每個元素都不在原先的位置上，則稱為這個元素的一個錯位排列.例如對于，則是其中一個錯位排列.3個元素的錯位排列有2種，4個元素的錯位排列有9種，5個元素的錯位排列有44種.以上三種情況可作為結(jié)論記住 4、依次插空：如果在個元素的排列中有個元素保持相對位置不變，則可以考慮先將這個元素排好位置，再將個元素一個個插入到隊(duì)伍當(dāng)中（注意每插入一個元素，下一個元素可選擇的空） 5、不同元素分組：將個不同元素放入個不同的盒中 6、相同元素分組：將個相同元素放入個不同的盒內(nèi)，且每盒不空，則不同的方法共有種.解決此類問題常用的方法是“擋板法”，因?yàn)樵叵嗤?，所以只需考慮每個盒子里所含元素個數(shù)，則可將這個元素排成一列，共有個空，使用個“擋板”進(jìn)入空檔處，則可將這個元素劃分為個區(qū)域，剛好對應(yīng)那個盒子. 7、涂色問題：涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可. 【經(jīng)典例題】 例1.【2017課標(biāo)II，理6】安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有（ ） A．12種 B．18種 C．24種 D．36種 【答案】D 【解析】 由題意可得，一人完成兩項(xiàng)工作，其余兩人每人完成一項(xiàng)工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份：有種方法，然后進(jìn)行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有種方法. 故選D. 例2.【重慶市2018屆三?！可匠寝r(nóng)業(yè)科學(xué)研究所將5種不同型號的種子分別試種在5塊并成一排的試驗(yàn)田里，其中兩型號的種子要求試種在相鄰的兩塊試驗(yàn)田里，且均不能試種在兩端的試驗(yàn)田里，則不同的試種方法數(shù)為 （ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B (1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法. 例3.【2018年理新課標(biāo)I卷】從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫答案） 【答案】16 點(diǎn)睛：該題是一道關(guān)于組合計數(shù)的題目，并且在涉及到至多至少問題時多采用間接法，總體方法是得出選3人的選法種數(shù)，間接法就是利用總的減去沒有女生的選法種數(shù)，該題還可以用直接法，分別求出有1名女生和有兩名女生分別有多少種選法，之后用加法運(yùn)算求解. 例4.【2017浙江卷16】從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有______中不同的選法．（用數(shù)字作答） 【答案】660 【解析】由題意可得：總的選擇方法為種方法，其中不滿足題意的選法有種方法，則滿足題意的選法有：種． 例5.【2018年浙江卷】從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成___________個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答) 【答案】1260 點(diǎn)睛：求解排列、組合問題常用的解題方法： (1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法. 例6.【2017天津，理14】用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個.（用數(shù)字作答） 【答案】 【解析】 【名師點(diǎn)睛】計數(shù)原理包含分類計數(shù)原理（加法）和分步計數(shù)原理（乘法），組成四位數(shù)至多有一個數(shù)字是偶數(shù)，包括四位數(shù)字有一個是偶數(shù)和四位數(shù)字全部是奇數(shù)兩類，利用加法原理計數(shù). 例7.【2018屆浙江省教育綠色評價聯(lián)盟5月考試】有7個球，其中紅色球2個（同色不加區(qū)分），白色，黃色，藍(lán)色，紫色，灰色球各1個，將它們排成一行，要求最左邊不排白色，2個紅色排一起，黃色和紅色不相鄰，則有______種不同的排法（用數(shù)字回答）． 【答案】408 【解析】分析：把紅色球看做一個處理，利用分類計數(shù)原理結(jié)合分步計數(shù)原理，由左至右逐一排放，然后求和即可. 詳解： 1 2 3 4 5 6 排列方法有：，故答案為. 點(diǎn)睛：本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率. 例8.【2018屆安徽省合肥市三?！咳鐖D，給7條線段的5個端點(diǎn)涂色，要求同一條線段的兩個端點(diǎn)不能同色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)有 A. 24 B. 48 C. 96 D. 120 【答案】C 例9.【2018屆四川省成都市第七中學(xué)三診】已知參加某項(xiàng)活動的六名成員排成一排合影留念，且甲乙兩人均在丙領(lǐng)導(dǎo)人的同側(cè)，則不同的排法共有（ ） A. 240種 B. 360種 C. 480種 D. 600種 【答案】C 【解析】分析：本題屬于有限制條件的排列問題，解題時可按照領(lǐng)導(dǎo)丙的位置分為6類，求出每一類的排法后再根據(jù)分類加法計數(shù)原理求解總的排法． 詳解：用分類討論的方法解決．如圖中的6個位置， 1 2 3 4 5 6 ①當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)丙在位置1時，不同的排法有種； ②當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)丙在位置2時，不同的排法有種； ③當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)丙在位置3時，不同的排法有種； ④當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)丙在位置4時，不同的排法有種； ⑤當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)丙在位置5時，不同的排法有種； ⑥當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)丙在位置1時，不同的排法有種． 由分類加法計數(shù)原理可得不同的排法共有480種． 故選C． 例10.【2018屆甘肅省西北師范大學(xué)附屬中學(xué)沖刺診斷】第十九屆西北醫(yī)療器械展覽將于2018年5月18至20日在蘭州舉行,現(xiàn)將5名志愿者分配到3個不同的展館參加接待工作，每個展館至少分配一名志愿者的分配方案種數(shù)為 （ ） A. 540 B. 300 C. 180 D. 150 【答案】D 由分類計數(shù)原理得，共有種不同的分法，故選D． 點(diǎn)睛：本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件．解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率．在某些特定問題上，也可充分考慮“正難則反”的思維方式． 【精選精練】 1.【2018屆湖南省長沙市長郡中學(xué)模擬卷（二）】《中國詩詞大會》亮點(diǎn)頗多，十場比賽每場都有一首特別設(shè)計的開場詩詞，在聲光舞美的配合下，百人團(tuán)齊聲朗誦，別有韻味．因?yàn)榍八膱霾コ龊蠓错懞芎?，所以?jié)目組決定《將進(jìn)酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩首詩詞排在后六場，并要求《將進(jìn)酒》與《望岳》相鄰，且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰，且均不排在最后，則后六場開場詩詞的排法有（ ） A. 144種 B. 48種 C. 36種 D. 72種 【答案】C 【解析】分析：采取“捆綁法”、“插空法”，利用分步計數(shù)乘法原理可得結(jié)果. 詳解：將《將進(jìn)酒》與《望岳》捆綁在一起和另外確定的兩首詩詞進(jìn)行全排列共有種排法，再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在個空里（最后一個空不排），有種排法，則后六場的排法有種，故選C. 2.【2018屆貴州省凱里市第一中學(xué)高四?！考?，從集合中各取一個數(shù)，能組成（ ）個沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)？ A. 52 B. 58 C. 64 D. 70 【答案】B 【解析】分析：分別從集合A，B取一個數(shù)字，再全排列，根據(jù)分步計數(shù)原理即可得到答案． 詳解： 故選：B. 3.【山東省煙臺市2018年春季高考一?！坑忻麑W(xué)生站成一排照相，其中甲、乙兩人必須站在一起的排法有（ ） A. 種 B. 種 C. 種 D. 種 【答案】D ②將這個整體與其余人全排列，有種情況， 則甲、乙兩人必須站在一起的排法共有種排法，故選D． 點(diǎn)睛：本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件．解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率．在某些特定問題上，也可充分考慮“正難則反”的思維方式． 4.【2018屆浙江省寧波市5月模擬】若用紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色填涂如圖方格，要求有公共頂點(diǎn)的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方案數(shù)有 A. 種 B. 種 C. 種 D. 種 【答案】C 【解析】分析：直接按照乘法分步原理解答. 詳解： 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查排列組合計數(shù)原理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力和排列組合的基本運(yùn)算能力.解答排列組合時，要思路清晰，排組分清.（2）解答本題時，要注意審題，“有公共頂點(diǎn)的兩個格子顏色不同”，如C和D有公共的頂點(diǎn)，所以顏色不能相同. 5.【2018屆福建省泉州市5月檢查】李雷和韓梅梅兩人都計劃在國慶節(jié)的7天假期中，到“東亞文化之都--泉州”“二日游”，若他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出游的不同方案共有 A. 16種 B. 18種 C. 20種 D. 24種 【答案】C 【解析】分析：根據(jù)分類計數(shù)原理，“東亞文化之都﹣﹣泉州”“二日游”，任意相鄰兩天組合一起，一共有6種情況，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，分兩種情況討論即可． 詳情：任意相鄰兩天組合一起，一共有6種情況，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦， 若李雷選①②或⑥⑦，則韓梅梅有4種選擇， 選若李雷選②③或③④或④⑤或⑤⑥，則韓梅梅有3種選擇， 故他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出游的不同方案共有2（4+6）=20， 故答案為：C. 6．【騰遠(yuǎn)2018年浙江卷紅卷】北京兩會期間，有甲、乙、丙、丁、戊位國家部委領(lǐng)導(dǎo)人要去個分會場發(fā)言（每個分會場至少人），其中甲和乙要求不再同一分會場，甲和丙必須在同一分會場，則不同的安排方案共有__________種（用數(shù)字作答）. 【答案】30 【解析】分析：由題意甲和丙在同一分會場，甲和乙不在同一分會場，所以有“”和“”兩種分 點(diǎn)睛：本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件．解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率．在某些特定問題上，也可充分考慮“正難則反”的思維方式． 7．【2018屆湖南省益陽市5月18日統(tǒng)考】現(xiàn)有8本雜志，其中有3本是完全相同的文學(xué)雜志，還有5本是互不相同的數(shù)學(xué)雜志，從這8本里選取3本，則不同選法的種數(shù)為__________． 【答案】26 【解析】分析：從選取的數(shù)學(xué)雜志的本數(shù)入手討論即可. 詳解：若選取的三本書沒有數(shù)學(xué)雜志，有1種選法 若選取的三本書有1本數(shù)學(xué)雜志，有種選法 若選取的三本書有2本數(shù)學(xué)雜志，有種選法 若選取的三本書有1本數(shù)學(xué)雜志，有種選法 故不同選法的種數(shù)為26. 8．【2018屆浙江省杭州市第二次檢測】盒子里有完全相同的6個球，每次至少取出1個球(取出不放回)，取完為止，則共有_______種不同的取法（用數(shù)字作答）． 【答案】32 9．2018年6月份上合峰會在青島召開,面向高校招募志愿者,中國海洋大學(xué)海洋環(huán)境學(xué)院的8名同學(xué)符合招募條件并審核通過,其中大一、大二、大三、大四每個年級各2名.若將這8名同學(xué)分成甲乙兩個小組,每組4名同學(xué),其中大一的兩名同學(xué)必須分到同一組,則分到乙組的4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)是來自于同一年級的分組方式共有__________種． 【答案】24 【解析】分析：首先要明確該題應(yīng)該分類討論，第一類是大一的兩名同學(xué)在乙組，第二類是大一的兩名同學(xué)不在乙組，利用組合知識，求得相應(yīng)的數(shù)，之后應(yīng)用分類加法計數(shù)原理，求得結(jié)果，問題得以解決. 詳解：根據(jù)題意，第一類：大一的兩名同學(xué)在乙組，乙組剩下的兩個來自不同的年級，從三個年級中選兩個為種，然后分別從選擇的年級中再選擇一個學(xué)生為種，故有種； 第二類：大一的兩名同學(xué)不在乙組，則從剩下的三個年級中選擇一個年級的兩名同學(xué)在乙組，為種，然后再從剩下的兩個年級中分別選擇一人為種，這時共有種； 根據(jù)分類計數(shù)原理得，共有種不同的分組方式. 10．【2018屆山東省煙臺市高考適應(yīng)性練習(xí)（一）】上合組織峰會將于2018年6月在青島召開，組委會預(yù)備在會議期間將這五名工作人員分配到兩個不同的地點(diǎn)參與接待工作.若要求必須在同一組，且每組至少2人，則不同分配方法的種數(shù)為__________． 【答案】8. 【解析】分析：AB捆綁在一起，分兩類，一類是A、B兩人在一組，另三人在一組，一類是A、B再加另一人在一組，另一組只有2人，還要注意有兩個地點(diǎn)是不同的. 詳解：由題意不同的分配方法為， 故答案為8. 11．【2018屆天津市河?xùn)|區(qū)二模】一共有5名同學(xué)參加《我的中國夢》演講比賽，3名女生和2名男生，如果男生不排第一個演講，同時兩名男生不能相鄰演講，則排序方式有_______種．（用數(shù)字作答） 【答案】36. 12．【2018屆天津市部分區(qū)質(zhì)量調(diào)查（二）】天津大學(xué)某學(xué)院欲安排4名畢業(yè)生到某外資企業(yè)的三個部門實(shí)習(xí)，要求每個部門至少安排1人，其中甲大學(xué)生不能安排到部門工作的方法有_______種（用數(shù)字作答）. 【答案】24 【解析】分析：根據(jù)題意，設(shè)4名畢業(yè)生為甲、，分2種情況討論：①，甲單獨(dú)一人分配到或部門，②，甲和其他人一起分配到或部門，由加法原理計算可得答案． 詳解：根據(jù)題意，設(shè)4名畢業(yè)生為甲、，分2種情況討論： ①，甲單獨(dú)一人分配到或部門，則甲有2種情況， 將分成2組，有種分組方法，再將2組全排列，分配到其他2個部門，有種情況，