2019-2020年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案:第3講 函數(shù)概念與表示.doc
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2019-2020年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案:第3講 函數(shù)概念與表示 課題 函數(shù)概念與表示(共 2 課) 修改與創(chuàng)新 課標(biāo)要 求 1.通過(guò)豐富實(shí)例,進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴(lài)關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型,在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù),體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用;了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域;了解映射的概念; 2.在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法)表示函數(shù); 3.通過(guò)具體實(shí)例,了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù),并能簡(jiǎn)單應(yīng)用; 命題走 向 函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn),其中函數(shù)思想是最重要的數(shù)學(xué)思想方法,函數(shù)問(wèn)題在歷年的高考中都占據(jù)相當(dāng)大的比例。 從近幾年來(lái)看,對(duì)本部分內(nèi)容的考察形勢(shì)穩(wěn)中求變,向著更靈活的的方向發(fā)展,對(duì)于函數(shù)的概念及表示多以下面的形式出現(xiàn):通過(guò)具體問(wèn)題(幾何問(wèn)題、實(shí)際應(yīng)用題)找出變量間的函數(shù)關(guān)系,再求出函數(shù)的定義域、值域,進(jìn)而研究函數(shù)性質(zhì),尋求問(wèn)題的結(jié)果。 高考對(duì)函數(shù)概念與表示考察是以選擇或填空為主,以解答題形式出現(xiàn)的可能性相對(duì)較小,本節(jié)知識(shí)作為工具和其他知識(shí)結(jié)合起來(lái)命題的可能性依然很大。 預(yù)測(cè)xx年高考對(duì)本節(jié)的考察是: 1.題型是1個(gè)選擇和1個(gè)填空; 2.熱點(diǎn)是函數(shù)概念及函數(shù)的工具作用,以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)成為新的熱點(diǎn)。 教學(xué)準(zhǔn)備 多媒體 教學(xué)過(guò)程 要點(diǎn)精講: 1.函數(shù)的概念: 設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱(chēng)f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。記作:y=f(x),x∈A。其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域。 注意:(1)“y=f(x)”是函數(shù)符號(hào),可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”; (2)函數(shù)符號(hào)“y=f(x)”中的f(x)表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,一個(gè)數(shù),而不是f乘x。 2.構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域 (1)解決一切函數(shù)問(wèn)題必須認(rèn)真確定該函數(shù)的定義域,函數(shù)的定義域包含三種形式: ①自然型:指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍(如:分式函數(shù)的分母不為零,偶次根式函數(shù)的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù),等等); ②限制型:指命題的條件或人為對(duì)自變量x的限制,這是函數(shù)學(xué)習(xí)中重點(diǎn),往往也是難點(diǎn),因?yàn)橛袝r(shí)這種限制比較隱蔽,容易犯錯(cuò)誤; ③實(shí)際型:解決函數(shù)的綜合問(wèn)題與應(yīng)用問(wèn)題時(shí),應(yīng)認(rèn)真考察自變量x的實(shí)際意義。 (2)求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題,中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的值域問(wèn)題。 ①配方法(將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù));②判別式法(將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程);③不等式法(運(yùn)用不等式的各種性質(zhì));④函數(shù)法(運(yùn)用基本函數(shù)性質(zhì),或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等)。 3.兩個(gè)函數(shù)的相等: 函數(shù)的定義含有三個(gè)要素,即定義域A、值域C和對(duì)應(yīng)法則f。當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對(duì)應(yīng)法則確定之后,函數(shù)的值域也就隨之確定。因此,定義域和對(duì)應(yīng)法則為函數(shù)的兩個(gè)基本條件,當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí),這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)。 4.區(qū)間 (1)區(qū)間的分類(lèi):開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間; (2)無(wú)窮區(qū)間; (3)區(qū)間的數(shù)軸表示。 5.映射的概念 一般地,設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)f:AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f:AB”。 函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集間的一種對(duì)應(yīng),若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個(gè)非空集合”,按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這種的對(duì)應(yīng)就叫映射。 注意:(1)這兩個(gè)集合有先后順序,A到B的射與B到A的映射是截然不同的.其中f表示具體的對(duì)應(yīng)法則,可以用漢字?jǐn)⑹觥? (2)“都有唯一”什么意思? 包含兩層意思:一是必有一個(gè);二是只有一個(gè),也就是說(shuō)有且只有一個(gè)的意思。 6.常用的函數(shù)表示法 (1)解析法:就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系,用一個(gè)等式來(lái)表示,這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式,簡(jiǎn)稱(chēng)解析式; (2)列表法:就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系; (3)圖象法:就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。 7.分段函數(shù) 若一個(gè)函數(shù)的定義域分成了若干個(gè)子區(qū)間,而每個(gè)子區(qū)間的解析式不同,這種函數(shù)又稱(chēng)分段函數(shù); 8.復(fù)合函數(shù) 若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么y=f稱(chēng)為復(fù)合函數(shù),u稱(chēng)為中間變量,它的取值范圍是g(x)的值域。 典例解析: 1.(教材習(xí)題改編)設(shè)g(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),則f(x)等于( ) A.-2x+1 B.2x-1 C.2x-3 D.2x+7 解析:選D f(x)=g(x+2)=2(x+2)+3=2x+7. 2.(xx江西高考)設(shè)函數(shù)f(x)=則f(f(3))=( ) A. B.3 C. D. 解析:選D f(3)=,f(f(3))=2+1=. 3.已知集合A=,集合B=,則下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中,不能看作從A到B的映射的是( ) A.f:x→y=x B.f:x→y=x C.f:x→y=x D.f:x→y=x 解析:選D 按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f:x→y=x,對(duì)A中某些元素(如x=8),B中不存在元素與之對(duì)應(yīng). 4.已知f=x2+5x,則f(x)=____________. 解析:令t=,則x=.所以f(t)=+. 故f(x)=(x≠0). 答案:(x≠0) 5.(教材習(xí)題改編)若f(x)=x2+bx+c,且f(1)=0,f(3)=0,則f(-1)=________. 解析:由已知得得 即f(x)=x2-4x+3. 所以f(-1)=(-1)2-4(-1)+3=8. 答案:8 1.函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系 (1)函數(shù)是特殊的映射,其特殊性在于集合A與集合B只能是非 空數(shù)集,即函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射. (2)映射不一定是函數(shù),從A到B的一個(gè)映射,A、B若不是數(shù) 集,則這個(gè)映射便不是函數(shù). 2.定義域與值域相同的函數(shù),不一定是相同函數(shù) 如函數(shù)y=x與y=x+1,其定義域與值域完全相同,但不是相 同函數(shù);再如函數(shù)y=sin x與y=cos x,其定義域與值域完全相同, 但不是相同函數(shù).因此判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同,關(guān)鍵是看定義域和 對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同. 3.求分段函數(shù)應(yīng)注意的問(wèn)題 在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí),一定要首先判斷x0屬于定義域的 哪個(gè)子集,然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式;分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義 域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集. 函數(shù)的基本概念 典題導(dǎo)入 有以下判斷: (1)f(x)=與g(x)=表示同一函數(shù); (2)函數(shù)y=f(x)的圖象與直線(xiàn)x=1的交點(diǎn)最多有1個(gè); (3)f(x)=x2-2x+1與g(t)=t2-2t+1是同一函數(shù); (4)若f(x)=|x-1|-|x|,則f=0. 其中正確判斷的序號(hào)是________. 對(duì)于(1),由于函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)閧x|x∈R,且x≠0},而函數(shù)g(x)=的定義域是R,所以二者不是同一函數(shù);對(duì)于(2),若x=1不是y=f(x)定義域的值,則直線(xiàn)x=1與y=f(x)的圖象沒(méi)有交點(diǎn),如果x=1是y=f(x)定義域內(nèi)的值,由函數(shù)定義可知,直線(xiàn)x=1與y=f(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),即y=f(x)的圖象與直線(xiàn)x=1最多有一個(gè)交點(diǎn);對(duì)于(3),f(x)與g(t)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同,所以f(x)和g(t)表示同一函數(shù);對(duì)于(4),由于f=-=0,所以f=f(0)=1. 綜上可知,正確的判斷是(2)(3). (2)(3) 由題悟法 兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù),取決于它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同,只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全 相同時(shí),才表示同一函數(shù).另外,函數(shù)的自變量習(xí)慣上用x表示,但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均表示同一函數(shù). 以題試法 1.已知f:x→-sin x是集合A(A?)到集合B=的一個(gè)映射,則集合A中的元素個(gè)數(shù)最多有( ) A.4個(gè) B.5個(gè) C.6個(gè) D.7個(gè) 解析:選B 當(dāng)-sin x=0時(shí)sin x=0,x可取0,π,2π; 當(dāng)-sin x=時(shí),sin x=-,x可取,,故集合A中的元素最多有5個(gè). 求函數(shù)的解析式 典題導(dǎo)入 (1)已知f=x2+,求f(x)的解析式; (2)已知f=lg x,求f(x)的解析式; (3)已知f(x)是二次函數(shù),且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x). (1)由于f=x2+=2-2, 所以f(x)=x2-2,x≥2或x≤-2, 故f(x)的解析式是f(x)=x2-2(x≥2或x≤-2). (2)令+1=t得x=,代入得f(t)=lg, 又x>0,所以t>1, 故f(x)的解析式是f(x)=lg(x>1). (3)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由f(0)=0,知c=0,f(x)=ax2+bx, 又由f(x+1)=f(x)+x+1, 得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, 即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1, 所以 解得a=b=. 所以f(x)=x2+x(x∈R). 由題悟法 函數(shù)解析式的求法 (1)配湊法:由已知條件f(g(x))=F(x),可將F(x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式(如例(1)); (2)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類(lèi)型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)),可用待定系數(shù)法(如例(3)); (3)換元法:已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式,可用換元法,此時(shí)要注意新元的取值范圍(如例(2)); (4)方程思想:已知關(guān)于f(x)與f或f(-x)的表達(dá)式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組,通過(guò)解方程組求出f(x)(如A級(jí)T6). 以題試法 2.(1)已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式; (2)設(shè)y=f(x)是二次函數(shù),方程f(x)=0有兩個(gè)相等實(shí)根,且f′(x)=2x+2,求f(x)的解析式. 解:(1)法一:設(shè)t=+1,則x=(t-1)2(t≥1); 代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. 故f(x)=x2-1(x≥1). 法二:∵x+2=()2+2+1-1=(+1)2-1, ∴f(+1)=(+1)2-1(+1≥1), 即f(x)=x2-1(x≥1). (2)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 則f′(x)=2ax+b=2x+2, ∴a=1,b=2,f(x)=x2+2x+c. 又∵方程f(x)=0有兩個(gè)相等實(shí)根, ∴Δ=4-4c=0,c=1,故f(x)=x2+2x+1. 分 段 函 數(shù) 典題導(dǎo)入 (xx廣州調(diào)研考試)設(shè)函數(shù)f(x)=若f(x)>4,則x的取值范圍是______. 當(dāng)x<1時(shí),由f(x)>4,得2-x>4,即x<-2; 當(dāng)x≥1時(shí),由f(x)>4得x2>4,所以x>2或x<-2, 由于x≥1,所以x>2. 綜上可得x<-2或x>2. (-∞,-2)∪(2,+∞) 若本例條件不變,試求f(f(-2))的值. 解:∵f(-2)=22=4, ∴f(f(-2))=f(4)=16. 由題悟法 求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí),應(yīng)根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應(yīng)的解析式求解,有時(shí)每段交替使用求值.若給出函數(shù)值 或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍,應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解,但要注意檢驗(yàn)所求自變量值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍. 以題試法 3.(xx衡水模擬)已知f(x)的圖象如圖,則f(x)的解析式為_(kāi)_______. 解析:由圖象知每段為線(xiàn)段. 設(shè)f(x)=ax+b,把(0,0),和,(2,0)分別代入, 解得 答案:f(x)= 函數(shù)的定義域和值域 1.(教材習(xí)題改編)若f(x)=x2-2x,x∈,則f(x)的值域?yàn)? ) A. B. C. D. 答案:A 2.函數(shù)y=的值域?yàn)? ) A.R B. C. D. 解析:選D ∵x2+2≥2,∴0<≤.∴0- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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