2018年秋高中數(shù)學 第一章 集合與函數(shù)概念 1.2 函數(shù)及其表示 1.2.1 函數(shù)的概念學案 新人教A版必修1.doc
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1.2.1 函數(shù)的概念 學習目標:1.進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關系的重要數(shù)學模型.能用集合與對應的語言刻畫出函數(shù),體會對應關系在刻畫數(shù)學概念中的作用.(重點、難點)2.了解構成函數(shù)的要素,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.(重點)3.能夠正確使用區(qū)間表示數(shù)集.(易混點) [自 主 預 習探 新 知] 1.函數(shù)的概念 定義 設A,B是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應,那么對稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù) 三要素 對應關系 y=f(x),x∈A 定義域 自變量x的取值范圍 值域 與x的值相對應的y的值的集合{f(x)|x∈A} 思考1:(1)有人認為“y=f(x)”表示的是“y等于f與x的乘積”,這種看法對嗎? (2)f(x)與f(a)有何區(qū)別與聯(lián)系? [提示] (1)這種看法不對. 符號y=f(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學表示,應理解為x是自變量,它是關系所施加的對象;f是對應關系,它可以是一個或幾個解析式,可以是圖象、表格,也可以是文字描述;y是自變量的函數(shù),當x允許取某一具體值時,相應的y值為與該自變量值對應的函數(shù)值.y=f(x)僅僅是函數(shù)符號,不表示“y等于f與x的乘積”.在研究函數(shù)時,除用符號f(x)外,還常用g(x),F(xiàn)(x),G(x)等來表示函數(shù). (2)f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系:f(a)表示當x=a時,函數(shù)f(x)的值,是一個常量,而f(x)是自變量x的函數(shù),一般情況下,它是一個變量,f(a)是f(x)的一個特殊值,如一次函數(shù)f(x)=3x+4,當x=8時,f(8)=38+4=28是一個常數(shù). 2.區(qū)間及有關概念 (1)一般區(qū)間的表示 設a,b∈R,且a0得x>-1. 所以函數(shù)的定義域為(-1,+∞).] 3.若f(x)=,則f(3)=________. 【導學號:37102085】 - [f(3)==-.] 4.集合{x|x≤-2}用區(qū)間可表示為________. (-∞,-2] [{x|x≤-2}表示小于等于-2的數(shù)組成的集合,即用區(qū)間表示為(-∞,-2].] [合 作 探 究攻 重 難] 函數(shù)的概念 (1)判斷下列對應是不是從集合A到集合B的函數(shù). ①A=N,B=N*,對應法則f:對集合A中的元素取絕對值與B中元素對應; ②A={-1,1,2,-2},B={1,4},對應法則f:x→y=x2,x∈A,y∈B; ③A={-1,1,2,-2},B={1,2,4},對應法則f:x→y=x2,x∈A,y∈B; ④A={三角形},B={x|x>0},對應法則f:對A中元素求面積與B中元素對應. (2)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是( ) ①f(x)=與g(x)=x; ②f(x)=x與g(x)=; ③f(x)=x0與g(x)=; ④f(x)=x2-2x-1與g(t)=t2-2t-1. A.①② B.①③ C.③④ D.①④ [解] (1)①對于A中的元素0,在f的作用下得0,但0不屬于B,即A中的元素0在B中沒有元素與之對應,所以不是函數(shù). ②對于A中的元素1,在f的作用下與B中的1對應,A中的元素2,在f的作用下與B中的4對應,所以滿足A中的任一元素與B中唯一元素對應,是“多對一”的對應,故是函數(shù). ③對于A中的任一元素,在對應關系f的作用下,B中都有唯一的元素與之對應,如1對應1,2對應4,所以是函數(shù). ④集合A不是數(shù)集,故不是函數(shù). (2)C [①f(x)==|x|與y=x的對應法則和值域不同,故不是同一函數(shù). ②g(x)==|x|與f(x)=x的對應法則和值域不同,故不是同一函數(shù). ③f(x)=x0與g(x)=都可化為y=1且定義域是{x|x≠0},故是同一函數(shù). ④f(x)=x2-2x-1與g(t)=t2-2t-1的定義域都是R,對應法則也相同,而與用什么字母表示無關,故是同一函數(shù). 由上可知是同一函數(shù)的是③④. 故選C.] [規(guī)律方法] 判斷對應關系是否為函數(shù)的2個條件 (1)A,B必須是非空數(shù)集. (2)A中任意一元素在B中有且只有一個元素與之對應.,對應關系是“一對一”或“多對一”的是函數(shù)關系,“一對多”的不是函數(shù)關系 [跟蹤訓練] 1.下列四個圖象中,不是函數(shù)圖象的是( ) 【導學號:37102086】 A B C D B [根據(jù)函數(shù)的定義知:y是x的函數(shù)中,x確定一個值,y就隨之確定一個值,體現(xiàn)在圖象上,圖象與平行于y軸的直線最多只能有一個交點,對照選項,可知只有B不符合此條件.故選B.] 求函數(shù)值 設f(x)=2x2+2,g(x)=, (1)求f(2),f(a+3),g(a)+g(0)(a≠-2),g(f(2)). (2)求g(f(x)). 思路探究:(1)直接把變量的取值代入相應函數(shù)解析式,求值即可; (2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x)). [解] (1)因為f(x)=2x2+2, 所以f(2)=222+2=10, f(a+3)=2(a+3)2+2=2a2+12a+20.因為g(x)=, 所以g(a)+g(0)=+=+(a≠-2). g(f(2))=g(10)==. (2)g(f(x))===. [規(guī)律方法] 函數(shù)求值的方法 (1)已知f(x)的表達式時,只需用a替換表達式中的x即得f(a)的值. (2)求f(g(a))的值應遵循由里往外的原則. [跟蹤訓練] 2.已知f(x)=x3+2x+3,求f(1),f(t),f(2a-1)和f(f(-1))的值. 【導學號:37102087】 [解] f(1)=13+21+3=6; f(t)=t3+2t+3; f(2a-1)=(2a-1)3+2(2a-1)+3=8a3-12a2+10a; f(f(-1))=f((-1)3+2(-1)+3)=f(0)=3. 求函數(shù)的定義域 [探究問題] 1.已知函數(shù)的解析式,求其定義域時,能否可以對其先化簡再求定義域? 提示:不可以.如f(x)=.倘若先化簡,則f(x)=,從而定義域與原函數(shù)不等價. 2.若函數(shù)y=f(x)的定義域是[0,+∞),那么函數(shù)y=f(x+1)的定義域是什么? 提示:函數(shù)y=f(x)的定義域是[0,+∞),所以令x+1≥0,解得x≥-1,所以函數(shù)y=f(x+1)的定義域是[-1,+∞). 3.若函數(shù)y=f(x+1)的定義域是[1,2],這里的“[1,2]”是指誰的取值范圍?函數(shù)y=f(x)的定義域是什么? 提示:[1,2]是自變量x的取值范圍. 函數(shù)y=f(x)的定義域是x+1的范圍[2,3]. 求下列函數(shù)的定義域 (1)f(x)=2+; (2)f(x)=(x-1)0+; (3)f(x)=; (4)f(x)=-. 思路探究:要求函數(shù)的定義域,只需分母不為0,偶次方根中被開方數(shù)大于等于0即可. [解] (1)當且僅當x-2≠0,即x≠2時, 函數(shù)y=2+有意義, 所以這個函數(shù)的定義域為{x|x≠2}. (2)函數(shù)有意義,當且僅當 解得x>-1且x≠1, 所以這個函數(shù)的定義域為{x|x>-1且x≠1}. (3)函數(shù)有意義,當且僅當解得1≤x≤3, 所以這個函數(shù)的定義域為{x|1≤x≤3}. (4)要使函數(shù)有意義,自變量x的取值必須滿足解得x≤1且x≠-1, 即函數(shù)定義域為{x|x≤1且x≠-1}. 母題探究:1.(變結論)在本例(3)條件不變的前提下,求函數(shù)y=f(x+1)的定義域. [解] 由1≤x+1≤3得0≤x≤2. 所以函數(shù)y=f(x+1)的定義域為[0,2]. 2.(變化論)在本例(3)條件不變的前題下,求函數(shù)y=f(x+1)+的定義域. [解] 由,得1≤x≤2. ∴函數(shù)的定義域為[1,2]. [規(guī)律方法] 求函數(shù)定義域的常用方法 (1)若f(x)是分式,則應考慮使分母不為零. (2)若f(x)是偶次根式,則被開方數(shù)大于或等于零. (3)若f(x)是指數(shù)冪,則函數(shù)的定義域是使冪運算有意義的實數(shù)集合. (4)若f(x)是由幾個式子構成的,則函數(shù)的定義域是幾個部分定義域的交集. (5)若f(x)是實際問題的解析式,則應符合實際問題,使實際問題有意義. [當 堂 達 標固 雙 基] 1.已知函數(shù)f(x)=,則f=( ) A. B. C.a D.3a D [f=3a,故選D.] 2.下列表示的是y關于x的函數(shù)的是( ) 【導學號:37102088】 A.y=x2 B.y2=x C.|y|=x D.|y|=|x| A [結合函數(shù)的定義可知A正確,選A.] 3.下列函數(shù)中,與函數(shù)y=x相等的是( ) A.y=()2 B.y= C.y=|x| D.y= D [函數(shù)y=x的定義域為R;y=()2的定義域為[0,+∞);y==|x|,對應關系不同;y=|x|對應關系不同;y==x,且定義域為R.故選D.] 4.將函數(shù)y=的定義域用區(qū)間表示為________. (-∞,0)∪(0,1] [由 解得x≤1且x≠0, 用區(qū)間表示為(-∞,0)∪(0,1].] 5.已知函數(shù)f(x)=x+, (1)求f(x)的定義域; (2)求f(-1),f(2)的值; (3)當a≠-1時,求f(a+1)的值. 【導學號:37102089】 [解] (1)要使函數(shù)f(x)有意義,必須使x≠0, ∴f(x)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞). (2)f(-1)=-1+=-2,f(2)=2+=. (3)當a≠-1時,a+1≠0, ∴f(a+1)=a+1+.- 配套講稿:
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