2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項和 第1課時 等差數(shù)列的前n項和學(xué)案 新人教A版必修5.doc
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第1課時 等差數(shù)列的前n項和 學(xué)習(xí)目標(biāo):1.了解等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程(難點).2.掌握等差數(shù)列前n項和公式及其應(yīng)用(重點). [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1.?dāng)?shù)列的前n項和的概念 一般地,稱a1+a2+…+an為數(shù)列{an}的前n項和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+…+an. 思考:如何用Sn和Sn-1的表達(dá)式表示an? [提示] an= 2.等差數(shù)列的前n項和公式 已知量 首項、末項與項數(shù) 首項、公差與項數(shù) 求和公式 Sn= Sn=na1+d 思考:等差數(shù)列{an}中,若已知a2=7,能求出前3項和S3嗎? [提示] S3==3a2=21. [基礎(chǔ)自測] 1.思考辨析 (1)數(shù)列的前n項和就是指從數(shù)列的第1項a1起,一直到第n項an所有項的和.( ) (2)an=Sn-Sn-1(n≥2)化簡后關(guān)于n與an的函數(shù)式即為數(shù)列{an}的通項公式.( ) (3)在等差數(shù)列{an}中,當(dāng)項數(shù)m為偶數(shù)2n時,則S偶-S奇=an+1.( ) [答案] (1)√ (2) (3) 提示:(1)正確.由前n項和的定義可知正確. (2)錯誤.例如數(shù)列{an}中,Sn=n2+2. 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1. 又因為a1=S1=3, 所以a1不滿足an=Sn-Sn-1=2n-1,故命題錯誤. (3)錯誤.當(dāng)項數(shù)m為偶數(shù)2n時,則S偶-S奇=nd. 2.等差數(shù)列{an}中,a1=1,d=1,則其前n項和Sn=________. [因為a1=1,d=1, 所以Sn=n+1===.] 3.在等差數(shù)列{an}中,S10=120,那么a1+a10=________. 【導(dǎo)學(xué)號:91432163】 24 [由S10==120.解得a1+a10=24.] 4.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=,S4=20,則S6=________. 48 [設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由已知得4a1+d=20,即4+d=20, 解得d=3,所以S6=6+3=3+45=48.] [合 作 探 究攻 重 難] 等差數(shù)列前n項和的有關(guān)計算 在等差數(shù)列{an}中, (1)已知a1=,an=-,Sn=-5,求n和d; (2)已知a1=4,S8=172,求a8和d. 【導(dǎo)學(xué)號:91432164】 [解] (1)由題意得,Sn===-5,解得n=15. 又a15=+(15-1)d=-, ∴d=-.∴n=15,d=-. (2)由已知得S8===172,解得a8=39, 又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5. ∴a8=39,d=5. [規(guī)律方法] a1,d,n稱為等差數(shù)列的三個基本量,an和Sn都可以用這三個基本量來表示,五個量a1,d,n,an,Sn中可知三求二,一般通過通項公式和前n項和公式聯(lián)立方程(組)求解,在求解過程中要注意整體思想的運(yùn)用. [跟蹤訓(xùn)練] 1.在等差數(shù)列{an}中, (1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10; (2)已知a3+a15=40,求S17. [解] (1) 解得a1=-5,d=3. ∴a8=a6+2d=10+23=16, S10=10a1+d=10(-5)+593=85. (2)S17====340. an與Sn的關(guān)系的應(yīng)用 [探究問題] 1.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則關(guān)系式an=Sn-Sn-1的使用條件是什么? 提示:使用條件是n≥2. 2.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a2 016+a2 017+a2 018如何用前n項和Sn表示? 提示:a2 016+a2 017+a2 018=S2 018-S2 015. 3.已知數(shù)列{an}的通項公式an,可利用Sn=a1+a2+…+an求前n項和Sn;反之,如果知道了數(shù)列{an}的前n項和Sn,如何求出它的通項公式? 提示:對所有數(shù)列都有Sn=a1+a2+…an-1+an,Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2).因此,當(dāng)n≥2時,有an=Sn-Sn-1;當(dāng)n=1時,有a1=S1.所以an與Sn的關(guān)系為an= 當(dāng)a1也適合an時,則通項公式要統(tǒng)一用一個解析式an=f(n)(n∈N*)來表示. 設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn=2n2-30n. (1)求a1及an. (2)判斷這個數(shù)列是否是等差數(shù)列. 【導(dǎo)學(xué)號:91432165】 思路探究:(1)利用a1=S1,求a1,借助于an=Sn-Sn-1(n≥2)求通項公式但要驗證a1是否符合條件;(2)利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可. [解] (1)因為Sn=2n2-30n,所以當(dāng)n=1時, a1=S1=212-301=-28, 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1 =2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32. 驗證當(dāng)n=1時上式成立, 所以an=4n-32. (2)由an=4n-32,得an-1=4(n-1)-32(n≥2), 所以an-an-1=4n-32-[4(n-1)-32]=4(常數(shù)), 所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列. 母題探究:1.(變條件變結(jié)論)將本例的條件“Sn=2n2-30n”改為“l(fā)og2(Sn+1)=n+1”,其他條件不變,求an. [解] 由log2(Sn+1)=n+1得Sn+1=2n+1,∴Sn=2n+1-1 當(dāng)n≥2時an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n. 當(dāng)n=1時,a1=S1=3.經(jīng)驗證不符合上式. ∴an= 2.(變條件變結(jié)論)將本例中的條件“Sn=2n2-30n”變?yōu)椤罢龜?shù)數(shù)列{bn}的前n項和Sn=(bn+1)2”,求{bn}的通項公式. [解] 當(dāng)n≥2時,bn=Sn-Sn-1, ∴bn=(bn+1)2-(bn-1+1)2 =(b-b+2bn-2bn-1). 整理得:b-b-2bn-2bn-1=0, ∴(bn+bn-1)(bn-bn-1-2)=0, ∵bn+bn-1>0,∴bn-bn-1=2(n≥2). ∴{bn}為等差數(shù)列. 又∵b1=(b1+1)2,∴b1=1, ∴bn=1+(n-1)2=2n-1. [規(guī)律方法] 已知數(shù)列{an}的前n項和公式Sn,求通項公式an的步驟: (1)當(dāng)n=1時,a1=S1. (2)當(dāng)n≥2時,根據(jù)Sn寫出Sn-1,化簡an=Sn-Sn-1. (3)如果a1也滿足當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1的通項公式,那么數(shù)列{an}的通項公式為an=Sn-Sn-1;如果a1不滿足當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1的通項公式,那么數(shù)列{an}的通項公式要分段表示為an= 等差數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用 某抗洪指揮部接到預(yù)報,24小時后有一洪峰到達(dá),為確保安全,指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道防線.經(jīng)計算,除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外,還需調(diào)用20臺同型號翻斗車,平均每輛車工作24小時.從各地緊急抽調(diào)的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用,每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達(dá),一共可調(diào)集25輛,那么在24小時內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線? 思路探究:因為每隔20分鐘到達(dá)一輛車,所以每輛車的工作量構(gòu)成一個等差數(shù)列.工作量的總和若大于欲完成的工作量,則說明24小時內(nèi)可完成第二道防線工程. [解] 從第一輛車投入工作算起,各車工作時間(單位:小時)依次設(shè)為a1,a2,…,a25.由題意可知,此數(shù)列為等差數(shù)列,且a1=24,公差d=-. 25輛翻斗車完成的工作量為:a1+a2+…+a25=2524+2512=500,而需要完成的工作量為2420=480.∵500>480,∴在24小時內(nèi)能構(gòu)筑成第二道防線. [規(guī)律方法] 1.本題屬于與等差數(shù)列前n項和有關(guān)的應(yīng)用題,其關(guān) 鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列. 2.遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時,可以考慮與數(shù)列知 識聯(lián)系,建立數(shù)列模型,具體解決要注意以下兩點: (1)抓住實際問題的特征,明確是什么類型的數(shù)列模型. (2)深入分析題意,確定是求通項公式an,或是求前 n項和Sn,還是求項數(shù)n. [跟蹤訓(xùn)練] 2.植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹,每人植樹一棵,相鄰兩棵樹相距10米,開始時需將樹苗集中放置在某一棵樹坑旁邊,使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小,此最小值為________米. 【導(dǎo)學(xué)號:91432166】 2 000 [假設(shè)20位同學(xué)是1號到20號依次排列,使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小,則樹苗需放在第10或第11號樹坑旁,此時兩側(cè)的同學(xué)所走的路程分別組成以20為首項,20為公差的等差數(shù)列,故所有同學(xué)往返的總路程為 S=920+20+1020+20=2 000(米).] [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1.(2018全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 B [通解 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵3S3=S2+S4,∴3=2a1+d+4a1+d,解得d=-a1,∵a1=2,∴d=-3, ∴a5=a1+4d=2+4(-3)=-10.故選B. 優(yōu)解 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵3S3=S2+S4,∴3S3=S3-a3+S3+a4,∴S3=a4-a3,∴3a1+d=d.∵a1=2,∴d=-3,∴a5=a1+4d=2+4(-3)=-10.故選B.] 2.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1+a3+a5=3,則S5=( ) 【導(dǎo)學(xué)號:91432167】 A.5 B.7 C.9 D.11 A [由題a1+a3+a5=3,∴3a3=3. ∴a3=1 又∵S5===5.] 3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=-n2,則( ) A.a(chǎn)n=2n+1 B.a(chǎn)n=-2n+1 C.a(chǎn)n=-2n-1 D.a(chǎn)n=2n-1 B [由an=Sn-Sn-1(n≥2)得an=1-2n, 當(dāng)n=1時,S1=a1=-1符合上式. ∴an=-2n+1.] 4.在一個等差數(shù)列中,已知a10=10,則S19=________. 190 [S19===190.] 5.已知等差數(shù)列{an}中,a1=,d=-,Sn=-15,求n及a12. 【導(dǎo)學(xué)號:91432168】 [解] ∵Sn=n+-=-15, 整理得n2-7n-60=0, 解之得n=12或n=-5(舍去), a12=+(12-1)=-4.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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