2019高考數(shù)學一輪復(fù)習 函數(shù)的概念及其性質(zhì)學案理.doc

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函數(shù)的概念及其性質(zhì) 知識點一、函數(shù)的基本概念 1、函數(shù)與映射的概念 函數(shù) 映射 兩集合A，B 設(shè)A，B是非空的數(shù)集 設(shè)A，B是非空的集合 對應(yīng)關(guān)系f：A→B 如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)與之對應(yīng) 如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng) 名稱 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù) 稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個映射 記法 y＝f(x)，x∈A 對應(yīng)f：A→B 2、函數(shù)的定義域、值域 (1)在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域． (2)函數(shù)的三要素是：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系． 3、表示函數(shù)的常用方法 列表法、圖象法和解析法． 4、分段函數(shù) 在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)． 分段函數(shù)是一個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集． 小題速通 1、若函數(shù)y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是(　　) 2、下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x相同的函數(shù)是(　　) A．y＝　 B．y＝() C．y＝lg 10x D．y＝2log2x 3、已知函數(shù)f(x)＝則f＝(　　) A．－2 B．4 C．2 D．－1 4、已知f＝2x－5，且f(a)＝6，則a等于(　　) A. B．－ C. D．－ 易錯點 1、解決函數(shù)有關(guān)問題時，易忽視“定義域優(yōu)先”的原則． 2、易混“函數(shù)”與“映射”的概念：函數(shù)是特殊的映射，映射不一定是函數(shù)，從A到B的一個映射，A，B若不是數(shù)集，則這個映射便不是函數(shù)． 1、(2018合肥八中模擬)已知函數(shù)f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)，則(　　) A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2) B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4) C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2) D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4) 2、下列對應(yīng)關(guān)系： ①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：x→x的平方根； ②A＝R，B＝R，f：x→x的倒數(shù)； ③A＝R，B＝R，f：x→x2－2； ④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)平方． 其中是A到B的映射的是(　　) A．①③ B．②④ C．③④ D．②③ 知識點二、函數(shù)定義域的求法 函數(shù)y＝f(x)的定義域 小題速通 1、函數(shù)f(x)＝(a＞0且a≠1)的定義域為________． 2、函數(shù)y＝lg(1－2x)＋的定義域為________． 易錯點 1、求復(fù)合型函數(shù)的定義域時，易忽視其滿足內(nèi)層函數(shù)有意義的條件. 2、求抽象函數(shù)的定義域時，易忽視同一個對應(yīng)關(guān)系后的整體范圍. 1、(2018遼寧錦州模擬)已知函數(shù)f(x2－3)＝lg，則f(x)的定義域為________． 2、已知函數(shù)f(x)的定義域為[0,2]，則函數(shù)g(x)＝f(2x)＋的定義域為________． 知識點三、函數(shù)的單調(diào)性與最值 1、函數(shù)的單調(diào)性 (1)單調(diào)函數(shù)的定義 增函數(shù) 減函數(shù) 定義 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2 當x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù) 圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的 (2)單調(diào)區(qū)間的定義 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間． 2、函數(shù)的最值 前提 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足 條件 (1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)對于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 結(jié)論 M為最大值 M為最小值 小題速通 1、(2018珠海摸底)下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是(　　) A．y＝2－x　 B．y＝x C．y＝log2x D．y＝－ 2、函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調(diào)減區(qū)間是(　　) A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞) 3、(2018長春質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，－1] C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 4、已知定義在R上的函數(shù)f(x)為增函數(shù)，當x1＋x2＝1時，不等式f(x1)＋f(0)>f(x2)＋f(1)恒成立，則實數(shù)x1的取值范圍是(　　) A．(－∞，0) B. C. D．(1，＋∞) 5、函數(shù)f(x)＝的最大值為________． 易錯點 1、易混淆兩個概念：“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)”，前者指函數(shù)具備單調(diào)性的“最大”的區(qū)間，后者是前者“最大”區(qū)間的子集． 2、若函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，則這兩個區(qū)間要分開寫，不能寫成并集．例如，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,0)上是減函數(shù)，在(0,1)上是減函數(shù)，但在(－1,0)∪(0,1)上卻不一定是減函數(shù)，如函數(shù)f(x)＝. 1、函數(shù)f(x)＝在(　　) A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函數(shù) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是減函數(shù) C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函數(shù) D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是減函數(shù) 2、設(shè)定義在[－1,7]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的增區(qū)間為________． 知識點四、函數(shù)的奇偶性 1、定義及圖象特征 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 關(guān)于y軸對稱 奇函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 關(guān)于原點對稱 2、函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論 (1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)集． (4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性． 小題速通 1、下列函數(shù)中的偶函數(shù)是(　　) A．y＝2x－ B．y＝xsin x C．y＝excos x D．y＝x2＋sin x 2、定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－2)＝f(x＋2)，且當x∈[－2,0]時，f(x)＝3x－1，則f(9)＝(　　) A．－2 B．2 C．－ D. 3、(2018綿陽診斷)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)f(1) C．f(m)＝f(1) D．f(m)與f(1)大小不能確定 2、函數(shù)f(x)＝的奇偶性為________． 知識點五、函數(shù)的周期性 1、周期函數(shù) 對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期． 2、最小正周期 如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期． 3、重要結(jié)論 周期函數(shù)的定義式f(x＋T)＝f(x)對定義域內(nèi)的x是恒成立的，若f(x＋a)＝f(x＋b)，則函數(shù)f(x)的周期為T＝|a－b|. 若在定義域內(nèi)滿足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝，f(x＋a)＝－(a>0)．則f(x)為周期函數(shù)，且T＝2a為它的一個周期． 4、對稱性與周期的關(guān)系 (1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a和直線x＝b對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a－b|是它的一個周期． (2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)和點(b,0)對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a－b|是它的一個周期． (3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)和直線x＝b對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，4|a－b|是它的一個周期． 小題速通 1、已知函數(shù)f(x)＝則f(－5)的值為(　　) A．0 B. C．1 D. 2、已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(31)＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 3、(2018晉中模擬)已知f(x)是R上的奇函數(shù)，f(1)＝2，且對任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，則f(2017)＝________. 易錯點 在利用周期性定義求解問題時，易忽視定義式f（x＋T）＝f（x）（T≠0）的使用而致誤. 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x＋2)＝－，當2≤x≤3時，f(x)＝x，則f(105.5)＝________. 過關(guān)檢測練習 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)＝lg(x－1)－的定義域為(　　) A．(－∞，4] B．(1,2)∪(2,4] C．(1,4] D．(2,4] 2．(2017唐山期末)已知f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，則f(－a)＝(　　) A．－4 B．－2 C．－1 D．－3 3．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，則a的值為(　　) A．－3 B．3 C．－1 D．1 4．下列幾個命題正確的個數(shù)是(　　) (1)若方程x2＋(a－3)x＋a＝0有一個正根，一個負根，則a<0； (2)函數(shù)y＝＋是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)； (3)函數(shù)f(x＋1)的定義域是[－1,3]，則f(x2)的定義域是[0,2]； (4)若曲線y＝|3－x2|和直線y＝a(a∈R)的公共點個數(shù)是m，則m的值不可能是1. A．1 B．2 C．3 D．4 5．如果二次函數(shù)f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在區(qū)間(－∞，1)上是減函數(shù)，則(　　) A．a(chǎn)＝－2 B．a(chǎn)＝2 C．a(chǎn)≤－2 D．a(chǎn)≥2 6．若函數(shù)f(x)滿足“對任意x1，x2∈(0，＋∞)，當x1f(x2)”，則f(x)的解析式可以是(　　) A．f(x)＝(x－1)2 B．f(x)＝ex C．f(x)＝ D．f(x)＝ln(x＋1) 7．已知函數(shù)f(x)＝log(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C. D. 8．(2018長春調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝，若f(a)＝，則f(－a)＝(　　) A. B．－ C. D．－ 二、填空題 9．f(x)＝asin x－blog3(－x)＋1(a，b∈R)，若f(lg(log310))＝5，則f(lg(lg 3))＝________. 10．設(shè)a為實常數(shù)，y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，f(x)＝9x＋＋7，若f(x)≥a＋1對一切x≥0成立，則a的取值范圍為________． 11．設(shè)f(x)＝x3＋log2(x＋)，則對任意實數(shù)a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的________條件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要)． 12．設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足以下條件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③當0≤x<1時，f(x)＝2x－1，則f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________. 三、解答題 13．設(shè)函數(shù)f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)． (1)求f(x)的解析式；(2)畫出f(x)的圖象． 14．設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x. (1)求f(π)的值；(2)當－4≤x≤4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積． 高考研究課：一)函數(shù)的定義域、解析式及分段函數(shù) 全國卷5年命題分析 考點 考查頻度 考查角度 函數(shù)的概念 5年1考 函數(shù)定義問題 分段函數(shù) 5年3考 分段函數(shù)求值及不等式恒成立問題 題型一、函數(shù)的定義域問題 [典例]　(1)(2018長沙模擬)函數(shù)y＝的定義域是(　　) A．(－1，＋∞)　　 B．[－1，＋∞) C．(－1,2)∪(2，＋∞) D．[－1,2)∪(2，＋∞) (2)若函數(shù)f(x)＝ 的定義域為R，則a的取值范圍為________． 方法技巧 函數(shù)定義域問題的3種常考類型及求解策略 (1)已知函數(shù)的解析式：構(gòu)建使解析式有意義的不等式(組)求解． (2)抽象函數(shù)： ①若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出． ②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域． (3)實際問題：既要使構(gòu)建的函數(shù)解析式有意義，又要考慮實際問題的要求．　　 即時演練 1、函數(shù)f(x)＝＋lg 的定義域為(　　) A．(2,3) B．(2,4] C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6] 2、已知函數(shù)f(2－x)＝，則函數(shù)f()的定義域為(　　) A．[0，＋∞) B．[0,16] C．[0,4] D．[0,2] 題型二、函數(shù)解析式的求法 函數(shù)的解析式是函數(shù)的基礎(chǔ)知識，高考中重視對待定系數(shù)法、換元法、利用函數(shù)性質(zhì)求解析式的考查.題目難度不大，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn). [典例](1)如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切)．已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為(　　) A．y＝x3－x2－x B．y＝x3＋x2－3x C．y＝x3－x D．y＝x3＋x2－2x (2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)．若當0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，則當－1≤x≤0時，f(x)＝________. (3)(2018合肥模擬)已知f(x)的定義域為{x|x≠0}，滿足3f(x)＋5f＝＋1，則函數(shù)f(x)的解析式為________． 方法技巧 求函數(shù)解析式的常見方法 待定系數(shù)法 若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，根據(jù)函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出待定系數(shù)即可 換元法 已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)時，往往可設(shè)h(x)＝t，從中解出x，代入g(x)進行換元，求出f(t)的解析式，再將t替換為x即可 構(gòu)造法 已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的問題，往往把右邊的g(x)整理構(gòu)造成只含h(x)的式子，用x將h(x)替換 函數(shù)方程法 已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如f(－x)，f，則可根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，通過解方程組求出f(x) 即時演練 1．如果f＝，則當x≠0且x≠1時，f(x)等于(　　) A. B. C. D.－1 2．已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(x)＝________. 題型三、分段函數(shù) 分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)，是高考的命題熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為低檔題或中檔題. 常見的命題角度有： (1)分段函數(shù)求值問題； (2)求參數(shù)值或自變量的取值范圍； (3)研究分段函數(shù)的性質(zhì). 角度一：分段函數(shù)求值問題 1、已知函數(shù)f(x)＝則f[f(ln 2)]＝________. 角度二：求參數(shù)或自變量的取值范圍 2、設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是________． 3、已知函數(shù)f(x)＝若f(f(m))≥0，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．[－2,2] B．[－2,2]∪[4，＋∞) C．[－2,2＋] D．[－2,2＋]∪[4，＋∞) 角度三：研究分段函數(shù)的性質(zhì) 4、已知函數(shù)f(x)＝則下列結(jié)論正確的是(　　) A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是增函數(shù) C．f(x)是周期函數(shù) D．f(x)的值域為[－1，＋∞) 5、已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有兩個不同實根，則a的取值范圍為(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(0,1) D．(－∞，＋∞) 方法技巧 分段函數(shù)問題的3種類型及求解策略 (1)根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值 首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解． (2)已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍 應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍． (3)研究分段函數(shù)的性質(zhì) 可根據(jù)分段函數(shù)逐段研究其性質(zhì)，也可根據(jù)選項利用特殊值法作出判斷．　　 高考真題演練 1．(2016全國卷Ⅱ)下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y＝10lg x的定義域和值域相同的是(　　) A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ 2．(2015全國卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(－2)＋f(log212)＝(　　) A．3　　　　B．6　　　　　C．9　　　　　D．12 3．(2015全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝且f(a)＝－3，則f(6－a)＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 4．(2013全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] 高考達標檢測 一、選擇題 1．(2018廣東模擬)設(shè)函數(shù)f(x)滿足f＝1＋x，則f(x)的表達式為(　　) A.　　　　　 B. C. D. 2．函數(shù)f(x)＝的定義域是(　　) A. B.∪(0，＋∞) C. D．[0，＋∞) 3．設(shè)函數(shù)f：R→R滿足f(0)＝1，且對任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，則f(2 017)＝(　　) A．0 B．1 C．2 017 D．2 018 4．若f(x)對于任意實數(shù)x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，則f(1)＝(　　) A．2 B．0 C．1 D．－1 5．若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點，則g(x)的解析式為(　　) A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x 6．(2018青島模擬)已知函數(shù)f(x)＝則使f(x)＝2的x的集合是(　　) A. B. C. D. 7．(2018萊蕪模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為[3,6]，則函數(shù)y＝的定義域為(　　) A. B. C. D. 8．(2018武漢調(diào)研)函數(shù)f(x)＝滿足f(1)＋f(a)＝2，則a的所有可能取值為(　　) A．1或－ B．－ C．1 D．1或 二、填空題 9．已知函數(shù)y＝f(x2－1)的定義域為[－，]，則函數(shù)y＝f(x)的定義域為________． 10．已知函數(shù)y＝lg(kx2＋4x＋k＋3)的定義域為R，則實數(shù)k的取值范圍是________． 11．具有性質(zhì)：f＝－f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負”變換的函數(shù)．下列函數(shù)： ①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝其中滿足“倒負”變換的函數(shù)是________．(填序號) 12．(2016北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝ ①若a＝0，則f(x)的最大值為________； ②若f(x)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是________． 三、解答題 13．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝(1)求f(g(2))與g(f(2))；(2)求f(g(x))與g(f(x))的表達式． 14．水庫的儲水量隨時間而變化，現(xiàn)用t表示時間，以月為單位，以年初為起點，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的儲水量(單位：億立方米)關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為：v(t)＝ (1)該水庫的儲水量小于50的時期稱為枯水期，問：一年內(nèi)哪幾個月份是枯水期？ (2)求一年內(nèi)該水庫的最大儲水量．(取的值為4.6計算，e3的值為20計算) 能力提高訓(xùn)練題 1．已知函數(shù)f(x)＝在定義域[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且對于任意a≥0，方程f(x)＝a有且只有一個實數(shù)解，則函數(shù)g(x)＝f(x)－x在區(qū)間[0,2n](n∈N*)上的所有零點的和為(　　) A. B．22n－1＋2n－1 C. D．2n－1 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[－1.5]＝－2，[2.5]＝2，若直線y＝k(x－1)(k<0)與函數(shù)y＝f(x)的圖象只有三個不同的交點，則k的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 高考研究課(二)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及周期性 全國卷5年命題分析 考點 考查頻度 考查角度 函數(shù)的單調(diào)性 5年4考 利用單調(diào)性解不等式、比較大小、求最值 函數(shù)的奇偶性 5年5考 奇偶性的判斷及應(yīng)用求值 函數(shù)的周期性 未考查 題型一、函數(shù)的單調(diào)性 高考對函數(shù)單調(diào)性的考查多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時也應(yīng)用于解答題中的某一問中.,常見的命題角度有： (1)確定函數(shù)的單調(diào)性； (2)求函數(shù)的值域或最值； (3)比較兩個函數(shù)值； (4)解函數(shù)不等式； (5)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍. 角度一：確定函數(shù)的單調(diào)性 1．(2018昆明調(diào)研)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減的是(　　) A．y＝－x　　　　　　 B．y＝x2－x C．y＝ln x－x D．y＝ex－x 2．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是(　　) A．y＝ B．y＝(x－1)2 C．y＝2－x D．y＝log0.5x 3．(2018廣東佛山聯(lián)考)討論函數(shù)f(x)＝(a>0)在(－1,1)上的單調(diào)性． 方法技巧 確定函數(shù)單調(diào)性的常用方法 定義法 先確定定義域，再根據(jù)取值、作差、變形、定號的順序得結(jié)論 圖象法 若函數(shù)是以圖象形式給出的，或者函數(shù)的圖象可作出，可由圖象的升、降寫出它的單調(diào)性 導(dǎo)數(shù)法 先求導(dǎo)，再確定導(dǎo)數(shù)值的正負，由導(dǎo)數(shù)的正負得函數(shù)的單調(diào)性 [提醒]　復(fù)合函數(shù)y＝f(φ(x))的單調(diào)性可以利用口訣——“同增異減”來判斷，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時，為增函數(shù)；單調(diào)性不同時為減函數(shù)． 角度二：求函數(shù)的值域或最值 4．函數(shù)y＝2x2＋2x的值域為(　　) A. B．[2，＋∞) C. D．(0,2] 5．(2016北京高考)函數(shù)f(x)＝(x≥2)的最大值為________． 方法技巧 利用單調(diào)性求函數(shù)的最值的關(guān)鍵是準確判斷其單調(diào)性，而判斷方法常用定義法及導(dǎo)數(shù)法．　　 角度三：比較兩個函數(shù)值 6．(2017天津高考)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)x1>1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，設(shè)a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a(chǎn)>c>b D．b>a>c 方法技巧 比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．　　 角度四：解函數(shù)不等式 8．已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞減，則滿足f(2x－1)f(2－a)，則a的取值范圍是________． 方法技巧 在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解．此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域．　　 角度五：利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 10．(2018濟寧模擬)函數(shù)f(x)＝滿足對任意的實數(shù)x1≠x2都有>0成立，則實數(shù)a的取值范圍為____________． 方法技巧 利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的策略 (1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)； (2)需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的．　　 題型二、函數(shù)的奇偶性 [典例]　(1)(2018重慶適應(yīng)性測試)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(　　) A．y＝x3＋3x2 B．y＝ C．y＝xsin x D．y＝log2 (2)(2018湖北武漢十校聯(lián)考)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)＝(　　) A．ex－e－x B.(ex＋e－x) C.(e－x－ex) D.(ex－e－x) (3)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，則a＝________. 方法技巧 應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的4類問題 (1)判定函數(shù)奇偶性 ①定義法： 　　 ②圖象法： ③性質(zhì)法： 設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇． (2)求解析式 先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式． (3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值 利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)f(－x)＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組)，進而得出參數(shù)的值． (4)利用函數(shù)的奇偶性求值 首先判斷函數(shù)解析式或解析式的一部分的奇偶性，然后結(jié)合已知條件通過化簡、轉(zhuǎn)換求值． 即時演練 1．若函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，則使f(x)>3成立的x的取值范圍為(　　) A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞) 2．已知函數(shù)f(x)＝asin x－btan x＋4cos ，且f(－1)＝1，則f(1)＝(　　) A．3 B．－3 C．0 D．4－1 3．已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函數(shù)，且其定義域為[6a－1，a]，則a＋b＝(　　) A. B．－1 C．1 D．7 題型三、函數(shù)的周期性 [典例]　(1)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝________. (2)(2018煙臺模擬)若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù)，且在[0,2]上的解析式為f(x)＝則f＋f＝________. 方法技巧 函數(shù)周期性問題的求解策略 (1)判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題． (2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．　　 即時演練 1．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x－1)＝f(x＋1)＝f(1－x)，當x∈[－1,0]時，f(x)＝e－x，設(shè)a＝f(－)，b＝f(3)，c＝f(8)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>a>c D．c>b>a 2．(2016江蘇高考)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，則f(5a)的值是________． 題型四、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 高考對于函數(shù)性質(zhì)的考查，一般不會單純地考查某一個性質(zhì)，而是對奇偶性、周期性、單調(diào)性的綜合考查. 常見的命題角度有： (1)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合； (2)周期性與奇偶性結(jié)合； (3)單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合. 角度一：單調(diào)性與奇偶性結(jié)合 1．定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－2)＝－f(x)，且在[0,1]上是增函數(shù)，則有(　　) A．f0，則x的取值范圍是________． 5．(2014全國卷Ⅱ)偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，f(3)＝3，則f(－1)＝________. 高考達標檢測 一、選擇題 1．(2017北京高考)已知函數(shù)f(x)＝3x－x，則f(x)(　　) A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) 2．(2018遼寧階段測試)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)＋mln (1－x)是偶函數(shù)，則(　　) A．m＝1，且f(x)在(0,1)上是增函數(shù) B．m＝1，且f(x)在(0,1)上是減函數(shù) C．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是增函數(shù) D．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是減函數(shù) 3．已知x，y∈R，且x>y>0，則(　　) A.－>0　　　　 B．sin x－sin y>0 C.x－y<0 D．ln x＋ln y>0 4．(2016山東高考)已知函數(shù)f(x)的定義域為R.當x＜0時，f(x)＝x3－1；當－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)；當x＞時，f＝f，則f(6)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 5．(2018湖南聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，若a＝f，b＝f，c＝f，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．bf(2x－1)成立的x的取值范圍是(　　) A. B.∪(1，＋∞) C. D.∪ 8．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(x＋4)，且當x∈(－1,0)時，f(x)＝2x＋，則f(log220)＝(　　) A．1 B. C．－1 D．－ 二、填空題 9．(2016天津高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若實數(shù)a滿足f(2|a－1|)＞f(－)，則a的取值范圍是________． 10．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0＜x＜1時，f(x)＝4x，則f＋f(1)＝________. 11．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，且對于任意x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，均有>0.若f＝，2f<1，則x的取值范圍為________． 12．(2017江蘇高考)已知函數(shù)f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，則實數(shù)a的取值范圍是________． 三、解答題 13．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(0)＝0，當x>0時，f(x)＝logx. (1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2. 14．(2018湖南長郡中學測試)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2，且當x∈(0,1)時，f(x)＝. (1)求f(x)在[－1,1]上的解析式；(2)證明：f(x)在(0,1)上是減函數(shù)． 能力提高訓(xùn)練題 1．已知奇函數(shù)f(x)(x∈D)，當x>0時，f(x)≤f(1)＝2.給出下列命題： ①D＝[－1,1]；②對?x∈D，|f(x)|≤2；③?x0∈D，使得f(x0)＝0；④?x1∈D，使得f(x1)＝1. 其中所有正確命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，若?x∈R，f(x－1)≤f(x)，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A. B. C. D.