2018年秋高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 1.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù)學案 新人教A版選修2-2.doc

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1.3.2　函數(shù)的極值與導數(shù) 學習目標：1.了解極大值、極小值的概念．(難點)2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件．(重點、易混點)3.會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值．(重點) [自 主 預 習探 新 知] 1．極值點與極值 (1)極小值點與極小值 若函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，就把點a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值． (2)極大值點與極大值 若函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，就把點b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值． (3)極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值． 思考：導數(shù)為0的點一定是極值點嗎？ [提示]不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0, 但x＝0不是f(x)＝x3的極值點．所以，當f′(x0)＝0時，要判斷x＝x0是否為f(x)的極值點，還要看f′(x)在x0兩側(cè)的符號是否相反． 2．求可導函數(shù)y＝f(x)的極值的方法 解方程f′(x)＝0.當f′(x0)＝0時： (1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值； (2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是極小值． [基礎自測] 1．思考辨析 (1)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)一定存在極值點．(　　) (2)函數(shù)的極大值一定大于極小值．(　　) (3)在可導函數(shù)的極值點處，切線與x軸平行或重合．(　　) (4)函數(shù)f(x)＝有極值．(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)√　(4) 2．函數(shù)f(x)的定義域為R，導函數(shù)f′(x)的圖象如圖138所示，則函數(shù)f(x)(　　) 圖138 A．無極大值點，有四個極小值點 B．有三個極大值點，兩個極小值點 C．有兩個極大值點，兩個極小值點 D．有四個極大值點，無極小值點 C　[設y＝f′(x)的圖象與x軸的交點從左到右橫坐標依次為x1，x2，x3，x4，則f(x)在x＝x1，x＝x3處取得極大值，在x＝x2，x＝x4處取得極小值．] 3．函數(shù)f(x)＝－的極值點為(　　) 【導學號：31062047】 A．0　　　 B．－1 C．0或1 D．1 D　[∵f′(x)＝x3－x2＝x2(x－1) 由f′(x)＝0得x＝0或x＝1. 又當x＞1時f′(x)＞0， 0＜x＜1時f′(x)＜0， ∴1是f(x)的極小值點． 又x＜0時f′(x)＜0， 故x＝0不是函數(shù)的極值點．] 4．若可導函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，則f′(1)＝________，1是函數(shù)f(x)的________值． [解析]　由題意可知，當x＜1時，f′(x)＞0，當x＞1時，f′(x)＜0， ∴f′(1)＝0,1是函數(shù)f(x)的極大值． [答案]　0　極大 [合 作 探 究攻 重 難] 求函數(shù)的極值點和極值 角度1　不含參數(shù)的函數(shù)求極值 　求下列函數(shù)的極值 (1)y＝x3－3x2－9x＋5； (2)y＝x3(x－5)2. [解]　(1)∵y′＝3x2－6x－9， 令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 當x變化時，y′，y的變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) y′ ＋ 0 － 0 ＋ y 極大值 極小值 ∴當x＝－1時，函數(shù)y＝f(x)有極大值，且f(－1)＝10； 當x＝3時，函數(shù)y＝f(x)有極小值，且f(3)＝－22. (2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5) ＝5x2(x－3)(x－5)，令y′＝0， 即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.當x變化時，y′與y的變化情況如下表： x (－∞，0) 0 (0,3) 3 (3,5) 5 (5，＋∞) y′ ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋ y 無極值 極大值108 極小值0 ∴x＝0不是y的極值點； x＝3是y的極大值點，y極大值＝f(3)＝108； x＝5是y的極小值點，y極小值＝f(5)＝0. 角度2　含參數(shù)的函數(shù)求極值 　已知函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，當a∈R且a≠時，求函數(shù)的極值. 【導學號：31062048】 [思路探究]　 ―→ [解]　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex. 令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2. 由a≠知，－2a≠a－2. 以下分兩種情況討論： 若a＞，則－2a＜a－2.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大值 極小值 ∴f(x)在(－∞，－2a) ，(a－2，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，在(－2a，a－2)內(nèi)是減函數(shù)． ∴函數(shù)f(x)在x＝－2a處取得極大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a； 函數(shù)f(x)在x＝a－2處取得極小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2. 若a＜，則－2a＞a－2，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大值 極小值 ∴f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，在(a－2，－2a)內(nèi)是減函數(shù)． ∴函數(shù)f(x)在x＝a－2處取得極大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2； 函數(shù)f(x)在x＝－2a處取得極小值f(－2a)， 且f(－2a)＝3ae－2a. [規(guī)律方法]　求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟為： (1)求函數(shù)的定義域； (2)求函數(shù)的導數(shù)f′(x)； (3)令f′(x)＝0，求出全部的根x0； (4)列表：方程的根x0將整個定義域分成若干個區(qū)間，把x，f′(x)，f(x)在每個區(qū)間內(nèi)的變化情況列在一個表格內(nèi)； (5)判斷得結(jié)論：若導數(shù)在x0附近左正右負，則在x0處取得極大值；若左負右正，則取得極小值. [跟蹤訓練] 1．若函數(shù)f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函數(shù)f(x)的極值． [解]　函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝. (1)當a≤0時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)無極值． (2)當a＞0時，令f′(x)＝0，解得x＝a. 當0＜x＜a時，f′(x)＜0； 當x＞a時，f′(x)＞0. ∴f(x)在x＝a處取得極小值，且f(a)＝a－ln a，無極大值． 綜上可知，當a≤0時，函數(shù)f(x)無極值； 當a＞0時，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無極大值. 由極值求參數(shù)的值或取值范圍 　(1)若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10，則a＝________，b＝________. (2)已知函數(shù)f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m為常數(shù))，在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)有兩個極值點，求實數(shù)m的取值范圍. 【導學號：31062049】 [思路探究]　 (1)由f′(1)＝0及f(1)＝10求a，b，注意檢驗極值的存在條件； (2)f(x)在(1，＋∞)內(nèi)有兩個極值點，等價于f′(x)＝0在(1，＋∞)內(nèi)有兩個不等實根． [解]　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 依題意得即 解得或 但由于當a＝－3，b＝3時，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上單調(diào)遞增，不可能在x＝1處取得極值，所以，不符合題意，應舍去． 而當時，經(jīng)檢驗知符合題意，故a，b的值分別為4，－11. (2)f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6. 因為函數(shù)f(x)在(1，＋∞)內(nèi)有兩個極值點， 所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)內(nèi)與x軸有兩個不同的交點，如圖所示． 所以 解得m>3.故實數(shù)m的取值范圍是(3，＋∞)． [規(guī)律方法]　已知函數(shù)極值的情況，逆向應用確定函數(shù)的解析式時，應注意以下兩點： (1)根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解； (2)因為導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性. [跟蹤訓練] 2．若x＝2是函數(shù)f(x)＝x(x－m)2的極大值點，求函數(shù)f(x)的極大值. 【導學號：31062050】 [解]　∵f′(x)＝(x－m)(3x－m)，且f′(2)＝0 ∴(m－2)(m－6)＝0，即m＝2或m＝6. (1)當m＝2時，f′(x)＝(x－2)(3x－2)， 由f′(x)＞0得x＜或x＞2； 由f′(x)＜0得＜x＜2. ∴x＝2是f(x)的極小值點，不合題意，故m＝2舍去． (2)當m＝6時，f′(x)＝(x－6)(3x－6)， 由f′(x)＞0得x＜2或x＞6； 由f′(x)＜0得2＜x＜6. ∴x＝2是f(x)的極大值，∴f(2)＝2(2－6)2＝32. 即函數(shù)f(x)的極大值為32. 極值問題的綜合應用 [探究問題] 1．如何畫出函數(shù)f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致圖象． 提示：f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)． 由f′(x)＞0得x＜－2或x＞3， ∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(－∞，－2)和(3，＋∞)． 由f′(x)＜0得－2＜x＜3， ∴函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是(－2,3)． 由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16. ∴結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及以上關鍵點畫出函數(shù)f(x)大致圖象如圖所示(答案不唯一)． 2．當a變化時，方程2x3－3x2－36x ＋16＝a有幾解？ 提示：方程2x3－3x2－36x＋16＝a解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝a與y＝2x3－3x2－36x＋16的圖象有幾個交點的問題，結(jié)合探究點1可知： (1)當a＞60或a＜－65時， 方程2x3－3x2－36x＋16＝a有且只有一解； (2)當a＝60或a＝－65時，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有兩解； (3)當－65＜a＜60時，方程2x3－3x2－36x＋16＝a三解． 　已知函數(shù)f(x)＝x3－3x＋a(a為實數(shù))，若方程f(x)＝0有三個不同實根，求實數(shù)a的取值范圍． [思路探究]　求出函數(shù)的極值，要使f(x)＝0有三個不同實根，則應有極大值大于0，極小值小于0，由此可得a的取值范圍． [解]　令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0， 解得x1＝－1，x2＝1. 當x<－1時，f′(x)>0； 當－11時，f′(x)>0. 所以當x＝－1時，f(x)有極大值f(－1)＝2＋a； 當x＝1時，f(x)有極小值f(1)＝－2＋a. 因為方程f(x)＝0有三個不同實根， 所以y＝f(x)的圖象與x軸有三個交點，如圖． 由已知應有 解得－20， ∴當x＝1時，函數(shù)有極小值，極小值為f(1)＝1. (2)∵函數(shù)的定義域為(－∞，1)∪(1，＋∞)，且y′＝，令y′＝0，得x1＝－1，x2＝2， ∴當x變化時，y′，y的變化情況如表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) (1,2) 2 (2，＋∞) y′ ＋ 0 － ＋ 0 ＋ y 單調(diào)遞 增 － 單調(diào)遞 減 單調(diào)遞 增 3 單調(diào)遞 增 故當x＝－1時，y有極大值－.