2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練41 空間幾何體的表面積和體積 文.doc

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課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(四十一) 空間幾何體的表面積和體積 [基礎(chǔ)鞏固] 一、選擇題 1．如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖，其俯視圖是面積為8的矩形．則該幾何體的表面積是(　　) A．8 B．20＋8 C．16 D．24＋8 [解析]　由題意可知，該幾何體是底面為直角三角形的直三棱柱，其側(cè)棱為4，故其表面積S表＝24＋24＋24＋222＝20＋8. [答案]　B 2．已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為(　　) A. B. C. D. [解析]　VB1－ABC1＝VC1－ABB1＝11＝. [答案]　A 3．(2015全國(guó)卷Ⅰ)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有 (　　) A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 [解析]　米堆的體積為π25＝.將π＝3代入上式，得體積為立方尺．從而這堆米約有≈22(斛)． [答案]　B 4．(2017河北唐山二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積為(　　) A．24－π B．24－3π C．24＋π D．24－2π [解析]　由三視圖可知，該幾何體是棱長(zhǎng)為2的正方體挖去右下方球后得到的幾何體，該球以頂點(diǎn)為球心，2為半徑，則該幾何體的表面積為226－3π22＋4π22＝24－π，故選A. [答案]　A 5．(2017浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A.＋1 B.＋3 C.＋1 D.＋3 [解析]　由幾何體的三視圖可得，該幾何體是由半個(gè)圓錐和一個(gè)三棱錐組成的，故該幾何體的體積V＝π3＋213＝＋1，故選A. [答案]　A 6．(2017全國(guó)卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都是由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為(　　) A．10 B．12 C．14 D．16 [解析]　由三視圖可知該多面體是一個(gè)組合體，下面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為2，直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2個(gè)面是梯形，這些梯形的面積之和為2＝12，故選B. [答案]　B 二、填空題 7．(2017天津卷)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為________． [解析]　由正方體的表面積為18，得正方體的棱長(zhǎng)為.設(shè)該正方體外接球的半徑為R，則2R＝3，R＝，所以這個(gè)球的體積為R3＝＝. [答案]　 8．下圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是________． [解析]　該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體挖去一半球而得，直觀圖如圖所示，(半)球的半徑為1，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2、2、1， ∴該幾何體的表面積為：S＝16＋4π12－π12＝16＋π. [答案]　16＋π 9．(2017山東卷)由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________． [解析]　由三視圖可知，該組合體中的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2,1,1，其體積V1＝211＝2； 兩個(gè)圓柱合起來(lái)就是圓柱的一半，圓柱的底面半徑r＝1，高h(yuǎn)＝1，故其體積V2＝π121＝. 故該幾何體的體積V＝V1＋V2＝2＋. [答案]　2＋ 三、解答題 10．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90，∠ADC＝135，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積． [解]　由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5， S表面＝S圓臺(tái)側(cè)＋S圓臺(tái)下底＋S圓錐側(cè)＝π(2＋5)5＋π25＋π22＝(60＋4)π， V＝V圓臺(tái)－V圓錐＝(π22＋π52＋)4－π222＝π. [能力提升] 11．(2015全國(guó)卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A．36π B．64π C．144π D．256π [解析]　如圖，設(shè)點(diǎn)C到平面OAB的距離為h，球O的半徑為R，因?yàn)椤螦OB＝90，所以S△OAB＝R2，要使VO－ABC＝S△OABh最大，則OA，OB，OC應(yīng)兩兩垂直，且(VO－ABC)max＝R2R＝R3＝36，此時(shí)R＝6，所以球O的表面積為S球＝4πR2＝144π.故選C. [答案]　C 12．(2017重慶診斷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A. B．2 C. D．3 [解析]　該幾何體的直觀圖是如圖所示的不規(guī)則幾何體ABB1DC1C，其體積是底邊邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，高為3的正三棱柱ABC－A1B1C1的體積減去三棱錐A－A1C1D的體積，即3－3＝. [答案]　C 13．(2017河南南陽(yáng)一中四模)球O為正方體ABCD－A1B1C1D1的內(nèi)切球，AB＝2，E，F(xiàn)分別為棱AD，CC1的中點(diǎn)，則直線EF被球O截得的線段長(zhǎng)為________． [解析]　設(shè)EF與球面交于M，N兩點(diǎn)，因?yàn)锳B＝2，E，F(xiàn)分別為棱AD，CC1的中點(diǎn)，所以EF＝，OE＝OF＝，取EF中點(diǎn)O′，則O′F＝，所以O(shè)O′＝＝.由球O為正方體ABCD－A1B1C1D1的內(nèi)切球，可得ON＝1，由勾股定理得O′N＝，故MN＝.所以直線EF被球O截得的線段長(zhǎng)為. [答案]　 14．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2，PA＝PC＝2，若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，則此球的最大半徑是__________． [解析]　由已知得，△PAD，△PDC，△PAB，△PBC都是直角三角形．設(shè)內(nèi)切球的球心為O，半徑為R，連接OA，OB，OC，OD，OP，易知VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PAD＋VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PCD，即222＝22R＋22R＋22R＋22R＋22R，解得R＝2－，所以此球的最大半徑是2－. [答案]　2－ 15．如圖，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC為等邊三角形，AA′⊥平面ABC，AB＝3，AA′＝4，M為AA′的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC′到M的最短路線長(zhǎng)為，設(shè)這條最短路線與CC′的交點(diǎn)為N，求： (1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng)； (2)PC與NC的長(zhǎng)； (3)三棱錐C－MNP的體積． [解]　(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖為一邊長(zhǎng)分別為4和9的矩形，故對(duì)角線長(zhǎng)為＝. (2)將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB′展開，如下圖， 設(shè)PC＝x，則MP2＝MA2＋(AC＋x)2. ∵M(jìn)P＝，MA＝2，AC＝3， ∴x＝2，即PC＝2. 又∵NC∥AM，故＝，即＝. ∴NC＝. (3)S△PCN＝CPCN＝2＝. 在三棱錐M－PCN中，M到面PCN的距離， 即h＝3＝. ∴VC－MNP＝VM－PCN＝hS△PCN＝＝. 16．(2017全國(guó)卷Ⅲ)如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD. (1)證明：AC⊥BD； (2)已知△ADC是正三角形，AB＝BD，若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比． [解]　(1)證明： 取AC的中點(diǎn)O，連接BO、DO，如圖所示． 因?yàn)锳D＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO. 從而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD. (2)連接EO. 由(1)及題設(shè)知，∠ADC＝90，所以DO＝AO. 在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以 BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90. 由題設(shè)知△AEC為直角三角形，所以EO＝AC. 又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD. 故E為BD的中點(diǎn)，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1∶1. [延伸拓展] 　(2017安徽蚌埠一模)如圖所示，用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將表面積為4π的雞蛋(視為球體)放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為(　　) A.＋ B.＋ C. D.＋ [解析]　蛋巢的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以過(guò)四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為1.因?yàn)殡u蛋的表面積為4π，所以球的半徑為1，所以球心到截面的距離d＝＝，而截面到底面的距離即為三角形的高，所以球心到底面的距離為＋. [答案]　D