2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.2 四種命題 1.1.3 四種命題間的相互關(guān)系學(xué)案 新人教A版選修1 -1.doc

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1.1.2　四種命題 1.1.3　四種命題間的相互關(guān)系 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解四種命題的概念，能寫出某命題的逆命題、否命題和逆否命題．(重點)2.知道四種命題之間的相互關(guān)系以及真假性之間的聯(lián)系．(易混點)3.會利用命題的等價性解決問題．(難點) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．四種命題的概念及表示形式 名稱 定義 表示形式 互逆 命題 對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這樣的兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題叫做原命題，另一個叫做原命題的逆命題. 原命題為“若p，則q”；逆命題為“若q，則p” 互否 命題 對于兩個命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這樣的兩個命題叫做互否命題．如果把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的否命題 原命題為“若p，則q”；否命題為“若p，則q” 互為 逆否 命題 對于兩個命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這樣的兩個命題叫做互為逆否命題．如果把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的逆否命題 原命題為“若p，則q”；逆否命題為“若q，則p” 2.四種命題間的相互關(guān)系 (1)四種命題之間的關(guān)系 (2)四種命題間的真假關(guān)系 原命題 逆命題 否命題 逆否命題 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 由上表可知四種命題的真假性之間有如下關(guān)系： ①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； ②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系． 思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？ (2)在原命題，逆命題、否命題和逆否命題四個命題中．真命題的個數(shù)會是奇數(shù)嗎？ [提示]　(1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一個不等于0”． (2)真命題的個數(shù)只能是0,2,4，不會是奇數(shù)． [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)命題“若p，則q”的否命題為“若p，則q”． (　　) (2)同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題． (　　) (3)命題“若A∩B＝A，則A∪B＝B”的逆否命題是“若A∪B≠B，則A∩B≠A”． (　　) [答案]　(1)　(2)√　(3)√ 2．命題“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的相反數(shù)是正數(shù)”的逆命題是(　　) A．“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的相反數(shù)不是正數(shù)” B．“若一個數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)” C．“若一個數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的相反數(shù)不是正數(shù)” D．“若一個數(shù)的相反數(shù)不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)” B　[根據(jù)逆命題的定義知，選B.] 3．命題“若m＝10，則m2＝100”與其逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，真命題是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：97792008】 A．原命題、否命題　　　 B．原命題、逆命題 C．原命題、逆否命題 D．逆命題、否命題 C　[原命題正確，則逆否命題正確，逆命題不正確，從而否命題不正確．故選C.] [合 作 探 究攻 重 難] 四種命題 　把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題和逆否命題． (1)相似三角形對應(yīng)的角相等； (2)當(dāng)x>3時，x2－4x＋3>0； (3)正方形的對角線互相平分． [解]　(1)原命題：若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三個角對應(yīng)相等； 逆命題：若兩個三角形的三個角對應(yīng)相等，則這兩個三角形相似； 否命題：若兩個三角形不相似，則這兩個三角形的三個角對應(yīng)不相等； 逆否命題：若兩個三角形的三個角對應(yīng)不相等，則這兩個三角形不相似． (2)原命題：若x>3，則x2－4x＋3>0； 逆命題：若x2－4x＋3>0，則x>3； 否命題：若x≤3，則x2－4x＋3≤0； 逆否命題：若x2－4x＋3≤0，則x≤3. (3)原命題：若一個四邊形是正方形，則它的對角線互相平分； 逆命題：若一個四邊形對角線互相平分，則它是正方形； 否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的對角線不互相平分； 逆否命題：若一個四邊形對角線不互相平分，則它不是正方形． [規(guī)律方法]　1.寫出一個命題的逆命題，否命題，逆否命題的方法 (1)寫命題的四種形式時，首先要找出命題的條件和結(jié)論，然后寫出命題的條件的否定和結(jié)論的否定，再根據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)寫出所求命題． (2)在寫命題時，為了使句子更通順，可以適當(dāng)?shù)靥砑右恍┰~語，但不能改變條件和結(jié)論． 2．寫否命題時應(yīng)注意一些否定詞語，列表如下： 原詞語 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是 都是 至多有一個 否定 詞語 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是 至少有兩個 原詞語 至少有一個 至多有n個 任意的 任意兩個 所有的 能 否定 詞語 一個也 沒有 至少有 (n＋1)個 某一個 (確定的) 某兩個 某些 不能 [跟蹤訓(xùn)練] 1．(1)命題“若y＝kx，則x與y成正比例關(guān)系”的否命題是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：97792009】 A．若y≠kx，則x與y成正比例關(guān)系 B．若y≠kx，則x與y成反比例關(guān)系 C．若x與y不成正比例關(guān)系，則y≠kx D．若y≠kx，則x與y不成正比例關(guān)系 D　[條件的否定為y≠kx，結(jié)論的否定為x與y不成比例關(guān)系，故選D.] (2)命題“若ab≠0，則a，b都不為零”的逆否命題是________． 若a，b至少有一個為零，則ab＝0　[“ab≠0”的否定是“ab＝0”，“a，b都不為零”的否定是“a，b中至少有一個為零”，因此逆否命題為“若a，b至少有一個為零，則ab＝0”．] 四種命題的關(guān)系及真假判斷 　(1)對于原命題：“已知a、b、c∈R，若a>b，則ac2>bc2”，以及它的逆命題、否命題、逆否命題，在這4個命題中，真命題的個數(shù)為(　　) A．0個　　B．1個　　　C．2個　　D．4個 (2)判斷命題“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”的逆否命題的真假． [思路探究]　(1)只需判斷原命題和逆命題的真假即可． (2)思路一　→ 思路二　 →→ [解析]　(1)當(dāng)c＝0時，ac2>bc2不成立，故原命題是假命題，從而其逆否命題也是假命題；原命題的逆命題為“若ac2>bc2，則a>b”是真命題，從而否命題也是真命題，故選C. [答案]　C (2)法一：原命題的逆否命題：若x2＋x－a＝0無實根，則a<0. ∵x2＋x－a＝0無實根，∴Δ＝1＋4a<0，解得a<－<0， ∴原命題的逆否命題為真命題． 法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴對于方程x2＋x－a＝0，根的判別式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－a＝0有實根，故原命題為真命題． ∵原命題與其逆否命題等價，∴原命題的逆否命題為真命題． [規(guī)律方法]　判斷命題真假的方法 (1)解決此類問題的關(guān)鍵是牢記四種命題的概念，正確地寫出所涉及的命題，判定為真的命題需要簡單的證明，判定為假的命題要舉出反例加以驗證. (2)原命題與它的逆否命題同真同假，原命題的否命題與它的逆命題同真同假，故二者只判斷一個即可. [跟蹤訓(xùn)練] 2．判斷下列四個命題的真假，并說明理由． (1)“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的否命題； (2)“若x>y，則x2>y2”的逆否命題； (3)“若x≤3，則x2－x－6>0”的否命題； (4)“對頂角相等”的逆命題． [解]　(1)命題“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題為“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”，則逆命題為真命題，因為原命題的逆命題和否命題具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的否命題是真命題． (2)令x＝1，y＝－2，滿足x>y，但x2y，則x2>y2”是假命題，因為原命題與其逆否命題具有相同的真假性，所以“若x>y，則x2>y2”的逆否命題也是假命題． (3)該命題的否命題為“若x>3，則x2－x－6≤0”，令x＝4，滿足x>3，但x2－x－6＝6>0，不滿足x2－x－6≤0，則該否命題是假命題． (4)該命題的逆命題為“相等的角是對頂角”是假命題，如等邊三角形的任意兩個內(nèi)角都相等，但它們不是對頂角． 等價命題的應(yīng)用 [探究問題] 1．當(dāng)一個命題的條件與結(jié)論以否定形式出現(xiàn)時，為了研究方便，我們可以研究哪一個命題？ 提示：一個命題與其逆否命題等價，我們可研究其逆否命題． 2．在證明“若m2＋n2＝2，則m＋n≤2”時，我們也可以證明哪個命題成立． 提示：根據(jù)一個命題與其逆否命題等價，我們也可以證明“若m＋n>2，則m2＋n2≠2”成立． 　(1)命題“對任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________． (2)證明：已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0. 【導(dǎo)學(xué)號：97792010】 [思路探究]　(1)根據(jù)其逆否命題求解．(2)證明其逆否命題成立． [解析]　(1)∵命題“對任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立” 等價于“對任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”， 若a＝0，則－3≤0恒成立，∴a＝0符合題意． 若a≠0，由題意知即 ∴－3≤a<0 綜上知，a的取值范圍是－3≤a≤0. [答案]　[－3,0] (2)證明　原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R，若a＋b<0，則f(a)＋f(b)－3，則a>－6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 B　[原命題是真命題，從而其逆否命題是真命題，其逆命題是“若a>－6，則a>－3”，是假命題，從而其否命題也是假命題，故真命題的個數(shù)是2.] 4．命題“若m＞1，則mx2－2x＋1＝0無實根”的等價命題是________. 【導(dǎo)學(xué)號：97792011】 若mx2－2x＋1＝0有實根，則m≤1　[原命題的等價命題是其逆否命題，由定義可知其逆否命題為：“若mx2－2x＋1＝0有實根，則m≤1”．] 5．已知命題p：“若ac≥0，則二次不等式ax2＋bx＋c>0無解”． (1)寫出命題p的否命題； (2)判斷命題p的否命題的真假． [解] (1)命題p的否命題為：“若ac<0，則二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”． (2)命題p的否命題是真命題． 判斷如下： 因為ac<0， 所以－ac>0?Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有實根?ax2＋bx＋c>0有解， 所以該命題是真命題．