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課時分層作業(yè)(十六) 數(shù)學歸納法
(建議用時:40分鐘)
[基礎達標練]
一、選擇題
1.用數(shù)學歸納法證明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步驗證( )
A.n=1 B.n=2
C.n=3 D.n=4
C [由題知,n的最小值為3,所以第一步驗證n=3是否成立.]
2.設Sk=+++…+,則Sk+1為( )
A.Sk+ B.Sk++
C.Sk+- D.Sk+-
C [因式子右邊各分數(shù)的分母是連續(xù)正整數(shù),則由Sk=++…+,①
得Sk+1=++…+++.②
由②-①,得Sk+1-Sk=+-
=-.
故Sk+1=Sk+-.]
3.利用數(shù)學歸納法證明不等式1+++…+<n(n≥2,n∈N*)的過程中,由n=k變到n=k+1時,左邊增加了( )
【導學號:31062168】
A.1項 B.k項
C.2k-1項 D.2k項
D [當n=k時,不等式左邊的最后一項為,而當n=k+1時,最后一項為=,并且不等式左邊和分母的變化規(guī)律是每一項比前一項加1,故增加了2k項.]
4.對于不等式≤n+1(n∈N+),某學生的證明過程如下:
(1)當n=1時,≤1+1,不等式成立.
(2)假設n=k(k∈N*)時,不等式成立,即
2的自然數(shù)n都成立
B.該命題對于所有的正偶數(shù)都成立
C.該命題何時成立與k取值無關
D.以上答案都不對
B [由n=k時命題成立可以推出n=k+2時命題也成立.且n=2,故對所有的正偶數(shù)都成立.]
二、填空題
6.用數(shù)學歸納法證明“2n+1≥n2+n+2(n∈N*)”時,第一步的驗證為________.
[解析] 當n=1時,左≥右,不等式成立,
∵n∈N*,
∴第一步的驗證為n=1的情形.
[答案] 當n=1時,左邊=4,右邊=4,左≥右,不等式成立
7.用數(shù)學歸納法證明(1+1)(2+2)(3+3)…(n+n)=2n-1(n2+n)時,從n=k到n=k+1左邊需要添加的因式是________.
【導學號:31062170】
[解析] 當n=k時,左端為:(1+1)(2+2)…(k+k),
當n=k+1時,
左端為:(1+1)(2+2)…(k+k)(k+1+k+1),
由k到k+1需添加的因式為:(2k+2).
[答案] 2k+2
8.數(shù)列{an}中,已知a1=2,an+1=(n∈N*),依次計算出a2,a3,a4后,歸納、猜測得出an的表達式為________.
[解析] a1=2,a2=,a3=,a4=,猜測an=.
[答案] an=
三、解答題
9.(1)用數(shù)學歸納法證明:
12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1(n∈N*).
(2)求證:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N*).
[解] (1)①當n=1時,左邊=12=1,
右邊=(-1)0=1,
左邊=右邊,等式成立.
②假設n=k(k∈N*)時,等式成立,即
12-22+32-42+…+(-1)k-1k2
=(-1)k-1.
則當n=k+1時,
12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2
=(-1)k-1+(-1)k(k+1)2
=(-1)k(k+1)
=(-1)k.
∴當n=k+1時,等式也成立,
根據(jù)①、②可知,對于任何n∈N*等式成立.
(2)①n=1時,左邊=12-22=-3,右邊=-3,等式成立.
②假設n=k時,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)2.
當n=k+1時,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],所以n=k+1時,等式也成立.
由①②得,等式對任何n∈N*都成立.
10.已知{fn(x)}滿足f1(x)=(x>0),fn+1(x)=f1(fn(x)).
(1)求f2(x),f3(x),并猜想fn(x)的表達式;
(2)用數(shù)學歸納法證明對fn(x)的猜想.
【導學號:31062171】
[解] (1)f2(x)=f1[f1(x)]==,
f3(x)=f1[f2(x)]==
猜想:fn(x)=,(n∈N*)
(2)下面用數(shù)學歸納法證明 ,fn(x)=(n∈N*)
①當n=1時,f1(x)=,顯然成立;
②假設當n=k(k∈N*)時,猜想成立,即fk(x)=,
則當n=k+1時,fk+1=f1[fk(x)]==,
即對n=k+1時,猜想也成立;
結合①②可知,猜想fn(x)=對一切n∈N*都成立.
[能力提升練]
1.利用數(shù)學歸納法證明+++…+<1(n∈N*,且n≥2)時,第二步由k到k+1時不等式左端的變化是( )
A.增加了這一項
B.增加了和兩項
C.增加了和兩項,同時減少了這一項
D.以上都不對
C [不等式左端共有n+1項,且分母是首項為n,公差為1,末項為2n的等差數(shù)列,當n=k時,左端為+++…+;當n=k+1時,左端為+++…+++,對比兩式,可得結論.]
2.某命題與自然數(shù)有關,如果當n=k(k∈N*)時該命題成立,則可推得n=k+1時該命題也成立,現(xiàn)已知當n=5時該命題不成立,則可推得( )
【導學號:31062172】
A.當n=6時,該命題不成立
B.當n=6時,該命題成立
C.當n=4時,該命題不成立
D.當n=4時,該命題成立
C [若n=4時,該命題成立,由條件可推得n=5命題成立.
它的逆否命題為:若n=5不成立,則n=4時該命題也不成立.]
3.記凸k邊形的內角和為f(k),則凸k+1邊形的內角和f(k+1)=f(k)+________.
[解析] 由凸k邊形變?yōu)橥筴+1邊形時,增加了一個三角形圖形,
故f(k+1)=f(k)+π.
[答案] π
4.對任意n∈N*,34n+2+a2n+1都能被14整除,則最小的自然數(shù)a=________.
【導學號:31062173】
[解析] 當n=1時,36+a3能被14整除的數(shù)為a=3或5;當a=3且n=2時,310+35不能被14整除,故a=5.
[答案] 5
5.是否存在a,b,c使等式2+2+2+…+2=對一切n∈N*都成立,若不存在,說明理由;若存在,用數(shù)學歸納法證明你的結論.
[解] 取n=1,2,3可得,解得:a=,b=,c=.
下面用數(shù)學歸納法證明2+2+2+…+2==.
即證12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1),
①n=1時,左邊=1,右邊=1,∴等式成立;
②假設n=k時等式成立,即12+22+…+k2=k(k+1)(2k+1)成立,
則當n=k+1時,等式左邊=12+22+…+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]=(k+1)(2k2+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3),∴當n=k+1時等式成立;
由數(shù)學歸納法,綜合①②當n∈N*等式成立,
故存在a=,b=,c=使已知等式成立.
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