2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)49 軌跡方程庖丁解題 新人教A版必修2.doc

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考點(diǎn)49 軌跡方程 要點(diǎn)闡述 在高考數(shù)學(xué)試題中，求動(dòng)點(diǎn)軌跡是一個(gè)難點(diǎn)，也是一個(gè)重點(diǎn)．求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程常用的方法有：直接法、定義法、參數(shù)法，相關(guān)點(diǎn)法等． 典型例題 【例】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)與兩定點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)連線的斜率之積等于–1．則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為_(kāi)______________． 【答案】x2+y2＝1(x≠1)． 【規(guī)律方法】求軌跡方程的一般步驟 （1）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)． （2）列出點(diǎn)M滿足條件的集合． （3）用坐標(biāo)表示上述條件，列出方程f(x，y)＝0． （4）將上述方程化簡(jiǎn)． （5）證明化簡(jiǎn)后的以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是軌跡上的點(diǎn)． 小試牛刀 1．方程y＝表示的曲線是(　　) A．一條射線 B．一個(gè)圓 C．兩條射線 D．半個(gè)圓 【答案】D 【解析】方程y＝可化為x2＋y2＝9(y≥0)， 所以方程y＝表示圓x2＋y2＝9位于x軸上方的部分，是半個(gè)圓． 【易錯(cuò)易混】要注意到y(tǒng)>0,應(yīng)是個(gè)半圓． 2．方程x2 +y2+2ax–b2 =0表示的圖形是（ ） A．一個(gè)圓 B．只有當(dāng)a=0時(shí)，才能表示一個(gè)圓 C．一個(gè)點(diǎn) D．a(chǎn)，b不同時(shí)為0時(shí)，才能表示一個(gè)圓 【答案】D 【解析】當(dāng)a=b=0時(shí)，原方程變?yōu)閤2+y2=0，表示一個(gè)點(diǎn)．當(dāng)a2+b20時(shí)，方程x2+y2+2ax–b2=0表示一個(gè)圓． 3．在△ABC中，若頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是（－2，0）和（2，0），中線AD的長(zhǎng)度是3，則點(diǎn)A的軌跡方程是（　　） A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4 C．x2＋y2＝9（y≠0） D．x2＋y2＝9（x≠0） 【答案】C 【解析】中點(diǎn)D（0，0），由于|AD|為定長(zhǎng)3，所以A點(diǎn)在以D為圓心，3為半徑的圓上，選C． 【規(guī)律總結(jié)】求軌跡方程時(shí)經(jīng)常遇到“去”或“補(bǔ)”的問(wèn)題，當(dāng)所求方程包括不合題意的點(diǎn)時(shí)，必須去 掉；當(dāng)所求方程不含其他合乎條件的點(diǎn)時(shí)，必須補(bǔ)出來(lái)（如本例）． 以上例題所用方法均是由題意所給出的等量關(guān)系直接列出方程所得，故稱“直接法”． 4．已知兩定點(diǎn)A（–2，0），B（1，0）， 若動(dòng)P滿足|PA|=2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于（ ） A．π B．4π C．8π D．9π 【答案】B 5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)（8，0）的距離等于點(diǎn)M到點(diǎn)（2，0）的距離的2倍，那么點(diǎn)M的軌跡方程是（ ?。? A．x2+y2 =32 B．x2+y2 =16 C．（x–1）2+y2=16 D．x2+（y–1）2=16 【答案】B 【解析】設(shè)M（x，y），則M滿足整理得x2+y2= 16． 6．已知圓C：x2＋(y－1)2＝5，直線l：mx－y＋1－m＝0． （1）求證：對(duì)任意m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)； （2）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程． 考題速遞 1．方程|x|－1＝ 所表示的曲線是(　　) A．一個(gè)圓 B．兩個(gè)圓 C．一個(gè)半圓 D．兩個(gè)半圓 【答案】D 【解析】方程可化為(|x|－1)2＋(y－1)2＝1，又|x|－1≥0，所以x≥1或x≤－1．若x≤－1，方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝1；若x≥1，方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1．方程表示兩個(gè)半圓． 2．動(dòng)點(diǎn)A在圓x2+y2=1上移動(dòng)時(shí),它與定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是 ． 【答案】(2x–3)2+4y2=1 【解析】設(shè)中點(diǎn)M(x,y),則動(dòng)點(diǎn)A(2x–3,2y),∵A在圓x2+y2=1上,∴(2x–3)2+(2y)2=1, 即所求軌跡方程為(2x–3)2+4y2=1． 3．設(shè)方程，若該方程表示一個(gè)圓， m的取值范圍 ，這時(shí)圓心的軌跡方程 ． 【答案】， 【解析】配方得： 4．設(shè)定點(diǎn)M（–3，4），動(dòng)點(diǎn)N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為兩邊作MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程． 【解析】如圖所示，設(shè)P（x，y），N（x0，y0）， 則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為． 因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分， 故， 則有即N（x+3，y–4）． 又點(diǎn)N在圓x2+ y2=4上，故（x+3）2+（y–4）2=4． 因此點(diǎn)P的軌跡為圓（除去兩點(diǎn)）， 其軌跡方程為（x+3）2+（y–4）2=4 （除去，兩點(diǎn)）． 數(shù)學(xué)文化 天津之眼 天津之眼，全稱天津永樂(lè)橋摩天輪，坐落在天津海河畔，是一座跨河建設(shè)、橋輪合一的摩天輪，兼具觀光和交通功能．是世界上唯一建在橋上的摩天輪，是天津的地標(biāo)之一． 摩天輪直徑為110米，輪外裝掛64個(gè)360度透明座艙，每個(gè)座艙可乘坐8個(gè)人，可同時(shí)供512個(gè)人觀光．摩天輪旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間為30分鐘，到達(dá)最高處時(shí)，周邊景色一覽無(wú)余，甚至能看到方圓40公里以內(nèi)的景致，被譽(yù)為“天津之眼”．圖為天津之眼夜景．