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第十一章 計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及分布列
第1課時(shí) 分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理
近幾年高考中兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理在理科加試部分考查，預(yù)測(cè)以后高考將會(huì)結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)進(jìn)行命題，考查對(duì)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的靈活運(yùn)用，以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)、應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)、解決實(shí)際問(wèn)題的能力，難度將不太大.
① 理解兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理.
② 能根據(jù)具體問(wèn)題的特征，選擇分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
1. （選修23P9習(xí)題4改編）一件工作可以用兩種方法完成，有18人會(huì)用第一種方法完成，有10人會(huì)用第二種方法完成.從中選出1人來(lái)完成這件工作，不同選法的總數(shù)是 ?。?
答案：28
解析：由分類計(jì)數(shù)原理知不同選法的總數(shù)共有18＋10＝28（種）.
2. （選修23P9習(xí)題8改編）從1到10的正整數(shù)中，任意抽取兩個(gè)數(shù)相加所得和為奇數(shù)的不同情形的種數(shù)是 Ｗ.
答案：25
解析：當(dāng)且僅當(dāng)偶數(shù)加上奇數(shù)后和為奇數(shù)，從而不同情形有55＝25（種）.
3. （改編題）一只袋中有大小一樣的紅色球3個(gè)，白色球3個(gè)，黑色球2個(gè).從袋中隨機(jī)取出（一次性）2個(gè)球，則這2個(gè)球?yàn)橥虻姆N數(shù)為 ?。?
答案：7
解析：2個(gè)球?yàn)榧t色共3種，2個(gè)球?yàn)榘咨?種，2個(gè)球?yàn)楹谏?種，由分類計(jì)數(shù)原理得共7種.
4. （選修23P10習(xí)題12改編）以正方形的4個(gè)頂點(diǎn)中某一頂點(diǎn)為起點(diǎn)、另一個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，可以作出不相等的向量個(gè)數(shù)為 Ｗ.
答案：8
解析：起點(diǎn)有4個(gè)，每一個(gè)起點(diǎn)都可選另外三個(gè)頂點(diǎn)中的某一個(gè)為終點(diǎn)，但正方形相對(duì)邊且方向相同的向量為同一向量，故共有不相等的向量個(gè)數(shù)為43－4＝8.
5. （選修23P10習(xí)題16改編）現(xiàn)用4種不同顏色對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有 種.
答案：
解析：設(shè)兩種不同顏色為a，b，則所有可能為（a，a，a），（a，a，b），（a，b，a），（a，b，b），（b，a，a），（b，a，b），（b，b，a），（b，b，b），共8種.其中滿足條件的有（a，b，a），（b，a，b），共2種，∴ 所求概率為.
2. （必修3P100例1改編）一個(gè)不透明的盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)除序號(hào)外都相同的球，同時(shí)取出兩個(gè)球，則兩個(gè)球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率為 Ｗ.
答案：
解析：從5個(gè)球中同時(shí)取出2個(gè)球的基本事件有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10個(gè).記“兩個(gè)球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)”為事件A，則事件A中含有4個(gè)基本事件：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）.所以P（A）＝＝.
3. （必修3P103練習(xí)2改編）小明的自行車用的是密碼鎖，密碼鎖的四位數(shù)密碼由4個(gè)數(shù)字2，4，6，8按一定順序排列構(gòu)成，小明不小心忘記了密碼中4個(gè)數(shù)字的順序，隨機(jī)地輸入由2，4，6，8組成的一個(gè)四位數(shù)，能打開(kāi)鎖的概率是 ?。?
答案：
解析：四位數(shù)密碼共有24種等可能的結(jié)果，恰好能打開(kāi)鎖的密碼只有1種，故所求事件的概率為.
4. （必修3P101例3改編）連續(xù)2次拋擲一枚骰子（六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6），記“兩次向上的數(shù)字之和等于m”為事件A，則P（A）最大時(shí)，m＝ ?。?
答案：7
解析：m可能取到的值有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，對(duì)應(yīng)的基本事件個(gè)數(shù)依次為1，2，3，4，5，6，5，4，3，2，1，∴兩次向上的數(shù)字之和等于7對(duì)應(yīng)的事件發(fā)生的概率最大.
5. （必修3P103練習(xí)4改編）已知一個(gè)不透明的袋中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，第一次摸出一個(gè)球，然后放回，第二次再摸出一個(gè)球，則兩次摸到的都是黑球的概率為 ?。?
答案：
解析：把它們編號(hào)，白為1，2，3，黑為4，5.用（x，y）記錄摸球結(jié)果，x表示第一次摸到球號(hào)數(shù)，y表示第二次摸到球號(hào)數(shù).所有可能的結(jié)果為（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25種，兩次摸到的都是黑球的情況為（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），共4種，故所求概率P＝.
1. 概率的取值范圍是0≤P（A）≤1.當(dāng)A是必然發(fā)生的事件時(shí)，P（A）＝1；當(dāng)A是不可能發(fā)生的事件時(shí)，P（A）＝0；當(dāng)A是隨機(jī)事件時(shí)，0
2a.
∵ 總事件數(shù)共36個(gè)，滿足b>2a的事件有（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），共6個(gè)，
∴ P（B）＝＝.
若先后拋擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，求：
（1） 點(diǎn)P（m，n）在直線x＋y＝4上的概率；
（2） 點(diǎn)P（m，n）落在區(qū)域|x－2|＋|y－2|≤2內(nèi)的概率.
解：（1） 由題意可知，（m，n）的取值情況有（1，1），（1，2），（1，3），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），共36種.而滿足點(diǎn)P（m，n）在直線x＋y＝4上的取值情況有（1，3），（2，2），（3，1），共3種，故所求概率為＝ .
（2） 由題意可得，基本事件n＝36.當(dāng)m＝1時(shí)，1≤n≤3，故符合條件的基本事件有3個(gè)；當(dāng)m＝2 時(shí)，1≤n≤4，故符合條件的基本事件有4個(gè)；當(dāng)m＝3時(shí)，1≤n≤3，故符合條件的基本事件有3個(gè)；當(dāng)m＝4時(shí)，n＝2，故符合條件的基本事件有1個(gè).故符合條件的基本事件共11個(gè)，所以所求概率為.
3 用概率解決生活中的決策問(wèn)題)
3) 某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)方法：從裝有2個(gè)紅球A1，A2和1個(gè)白球B的甲箱與裝有2個(gè)紅球a1，a2和2個(gè)白球b1，b2的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng).
（1） 用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的摸出結(jié)果；
（2） 有人認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球總數(shù)比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.
解：（1） 所有可能的摸出結(jié)果是（A1，a1），（A1，a2），（A1，b1），（A1，b2），（A2，a1），（A2，a2）， （A2，b1），（A2，b2），（B，a1），（B，a2），（B，b1），（B，b2）.
（2） 不正確，理由如下：
由（1）知，所有可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果為{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4種，所以中獎(jiǎng)的概率為＝，不中獎(jiǎng)的概率為1－＝>，故這種說(shuō)法不正確.
變式訓(xùn)練
某兒童樂(lè)園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：
① 若xy≤3，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)；② 若xy≥8，則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)；③ 其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.
假設(shè)轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻.小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng).
（1） 求小亮獲得玩具的概率；
（2） 請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說(shuō)明理由.
解：用數(shù)對(duì)（x，y）表示兒童參加活動(dòng)兩次記錄的數(shù)，則基本事件空間Ω與點(diǎn)集S＝{（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一對(duì)應(yīng)，因?yàn)镾中元素個(gè)數(shù)是44＝16，所以基本事件總數(shù)n＝16.
（1） 記“xy≤3”為事件A.
則事件A包含的基本事件共有5個(gè)，即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）.所以P（A）＝，即小亮獲得玩具的概率為.
（2） 記“xy≥8”為事件B，“3P（A2），
所以甲應(yīng)選擇路徑L1；
P（B1）＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P（B2）＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P（B2）>P（B1），
所以乙應(yīng)選擇路徑L2.
1. （2016新課標(biāo)Ⅱ文）某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40 s.若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15 s才出現(xiàn)綠燈的概率為 .
答案：
解析：因?yàn)榧t燈持續(xù)時(shí)間為40 s.所以這名行人至少需要等待15 s才出現(xiàn)綠燈的概率為＝.
2. （2016天津卷文）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椤 。?
答案：
解析：甲不輸?shù)母怕蕿椋?
3. （2017蘇州市考前模擬）在區(qū)間[－1，1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，cos 的值介于0到之間的概率為 ?。?
答案：
解析：在區(qū)間[－1，1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，即x∈[－1，1]時(shí)，要使cos 的值介于0到之間，需使－≤≤－或≤≤.
∴ －1≤x≤－或≤x≤1，區(qū)間長(zhǎng)度為.由幾何概型知cos 的值介于0到之間的概率為＝.
4. （2017南京、鹽城一模）在數(shù)字1，2，3，4中隨機(jī)選兩個(gè)數(shù)字，則選中的數(shù)字中至少有一個(gè)是偶數(shù)的概率為 ?。?
答案：
解析：在數(shù)字1，2，3，4中隨機(jī)選兩個(gè)數(shù)字，基本事件總數(shù)為6，選中的數(shù)字中至少有一個(gè)是偶數(shù)的對(duì)立事件是選中的兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)，所以選中的數(shù)字中至少有一個(gè)是偶數(shù)的概率P＝1－＝.
5. （2017常州期末）男隊(duì)有號(hào)碼為1，2，3的三名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，女隊(duì)有號(hào)碼為1，2，3，4的四名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，現(xiàn)兩隊(duì)各出一名運(yùn)動(dòng)員比賽一場(chǎng)，則出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼不同的概率為 ?。?
答案：
解析：男隊(duì)有號(hào)碼為1，2，3的三名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，女隊(duì)有號(hào)碼為1，2，3，4的四名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，現(xiàn)兩隊(duì)各出一名運(yùn)動(dòng)員比賽一場(chǎng)，基本事件總數(shù)為34＝12（個(gè)），出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼不同的對(duì)立事件是出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼相同，所以出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼不同的概率P＝1－＝.
1. （2017揚(yáng)州市考前調(diào)研）在區(qū)間（0，5）內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)m， 則滿足3＜m＜4的概率為 ?。?
答案：
解析：根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，得滿足3＜m＜4的概率為.
2. 設(shè)函數(shù)f（x）＝log2x，在區(qū)間（0，5）上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則f（x）<2的概率為 ?。?
答案：
解析：因?yàn)閘og2x＜2，解得0＜x＜4，所以P（f（x）<2）＝.
3. 甲、乙兩盒中各有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球和1個(gè)白球，現(xiàn)從兩盒中隨機(jī)各取一個(gè)球，則至少有一個(gè)紅球的概率為 Ｗ.
答案：
解析：從兩盒中各取一個(gè)球的基本事件數(shù)為9，沒(méi)有紅球的基本事件數(shù)為1，則至少有一個(gè)紅球的概率＝1－沒(méi)有紅球的概率＝1－＝.
4. （2017蘇州期末）若一架飛機(jī)向目標(biāo)投彈，擊毀目標(biāo)的概率為0.2，目標(biāo)未受損的概率為0.4，則目標(biāo)受損但未完全被擊毀的概率為 ?。?
答案： 0.4
解析：根據(jù)互斥事件的概率公式，得目標(biāo)受損但未完全被擊毀的概率為1－0.2－0.4＝0.4.
1. 對(duì)于幾何概型的應(yīng)用題，關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為概型中的長(zhǎng)度、角度、面積、體積等常見(jiàn)幾何概型問(wèn)題，構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的測(cè)度來(lái)求隨機(jī)事件的概率.
2. 分清古典概型與幾何概型的關(guān)鍵就是古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件是有限個(gè)，而幾何概型則是無(wú)限個(gè).
3. 求較復(fù)雜的互斥事件的概率，一般有兩種方法：一是直接求解法，即將所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率和，分解后的每個(gè)事件概率的計(jì)算通常為等可能事件的概率計(jì)算，這時(shí)應(yīng)注意事件是否互斥，是否完備；二是間接求解法，先求出此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P（A）＝1－P（）.若解決“至少”“至多”型的題目，用后一種方法就顯得比較方便.解題時(shí)需注意“互斥事件”與“對(duì)立事件”的區(qū)別與聯(lián)系，搞清楚“互斥事件”與“等可能性事件”的差異.[備課札記](méi)
答案：48
解析：按A→B→C→D順序分四步涂色，共有4322＝48（種）.
1. 分類計(jì)數(shù)原理：如果完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，……在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法.
2. 分步計(jì)數(shù)原理：如果完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1m2…mn種不同的方法.
3. 分類和分步的區(qū)別，關(guān)鍵是看事件能否一步完成，事件一步完成了就是分類；必須要連續(xù)若干步才能完成的則是分步.分類要用分類計(jì)數(shù)原理將種數(shù)相加；分步要用分步計(jì)數(shù)原理，將種數(shù)相乘.
[備課札記](méi)
1 分類計(jì)數(shù)原理)
1) 在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？
解：（解法1）按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè).由分類計(jì)數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（個(gè)）.
（解法2）按個(gè)位上的數(shù)字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)，7個(gè)，8個(gè).由分類計(jì)數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（個(gè)）.
變式訓(xùn)練
有A，B，C型高級(jí)電腦各一臺(tái)，甲、乙、丙、丁4個(gè)操作人員的技術(shù)等級(jí)不同，甲、乙會(huì)操作三種型號(hào)的電腦，丙不會(huì)操作C型電腦，而丁只會(huì)操作A型電腦.從這4個(gè)操作人員中選3人分別去操作這三種型號(hào)的電腦，則不同的選派方法有多少種？
解：第1類，選甲、乙、丙3人，由于丙不會(huì)操作C型電腦，分2步安排這3人操作電腦，有22＝4（種）方法；第2類，選甲、乙、丁3人，由于丁只會(huì)操作A型電腦，這時(shí)安排3人操作電腦，有2種方法；第3類，選甲、丙、丁3人，這時(shí)安排3人操作電腦只有1種方法；第4類，選乙、丙、丁3人，同樣也只有1種方法.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有4＋2＋1＋1＝8（種）選派方法.
2 分步計(jì)數(shù)原理)
2) 用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號(hào)為1，2，…，9的9個(gè)小正方形（如圖），使得任意相鄰（有公共邊）的小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號(hào)為1，5，9的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有 種.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案：108
解析：把區(qū)域分為三部分，第一部分1，5，9，有3種涂法；第二部分4，7，8，當(dāng)5，7同色時(shí)，4，8各有2種涂法，共4種涂法，當(dāng)5，7異色時(shí)，7有2種涂法，4，8均只有1種涂法，故第二部分共4＋2＝6（種）涂法；第三部分與第二部分一樣，共6種涂法.由分步計(jì)數(shù)原理，可得涂法共有366＝108（種）.
變式訓(xùn)練
有4位教師在同一年級(jí)的4個(gè)班中各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測(cè)時(shí)要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有 種.
答案：9
解析：分四步完成：第一步：第1位教師有3種選法；第二步：第1位教師監(jiān)考的班的數(shù)學(xué)老師即第2位教師有3種選法；第三步：第3位教師有1種選法；第四步：第4位教師有1種選法.共有3311＝9（種）監(jiān)考的方法.
3 兩個(gè)基本原理的綜合應(yīng)用)
3) 已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A，B為集合M的非空子集.若對(duì)?x∈A，y∈B，x
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2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)
第一部分
基礎(chǔ)與考點(diǎn)過(guò)關(guān)
第十一章
計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及分布列學(xué)案
2019
高考
數(shù)學(xué)
一輪
復(fù)習(xí)
第一
部分
基礎(chǔ)
考點(diǎn)
過(guò)關(guān)
第十一
計(jì)數(shù)
原理
隨機(jī)變量
分布
列學(xué)案
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