2018-2019學(xué)年高中物理 第三章 萬有引力定律 3 萬有引力定律的應(yīng)用學(xué)案 教科版必修2.doc

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3　萬有引力定律的應(yīng)用 [學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.了解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用.2.了解“稱量地球質(zhì)量”“計(jì)算太陽質(zhì)量”的基本思路，會(huì)用萬有引力定律計(jì)算天體的質(zhì)量.3.理解運(yùn)用萬有引力定律處理天體運(yùn)動(dòng)問題的思路和方法． 一、預(yù)言彗星回歸和未知星體 1．預(yù)言彗星回歸 (1)哈雷根據(jù)牛頓的引力理論對(duì)彗星軌道進(jìn)行計(jì)算，預(yù)言彗星將于1758年再次出現(xiàn)． (2)克雷洛預(yù)言由于受木星和土星的影響，彗星推遲于1759年經(jīng)過近日點(diǎn)，且得到證實(shí)． 2．預(yù)言未知星體 根據(jù)天王星的運(yùn)動(dòng)軌道與由萬有引力定律計(jì)算出來的軌道存在的明顯偏差，英國的亞當(dāng)斯和法國的勒維耶預(yù)言了天王星軌道外的一顆行星的存在，并計(jì)算出了這顆未知行星的質(zhì)量、軌道和位置．伽勒于1846年9月23日在預(yù)定區(qū)域發(fā)現(xiàn)了海王星，繼而1930年湯姆博夫又發(fā)現(xiàn)了冥王星． 二、計(jì)算天體的質(zhì)量 1．稱量地球的質(zhì)量 (1)思路：地球表面的物體，若不考慮地球自轉(zhuǎn)，物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力． (2)關(guān)系式：mg＝G. (3)結(jié)果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可計(jì)算出地球的質(zhì)量． 2．太陽質(zhì)量的計(jì)算 (1)思路：質(zhì)量為m的行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，行星與太陽間的萬有引力充當(dāng)向心力． (2)關(guān)系式：＝mr. (3)結(jié)論：M＝，只要知道行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r就可以計(jì)算出太陽的質(zhì)量． (4)推廣：若已知衛(wèi)星繞行星運(yùn)動(dòng)的周期T和衛(wèi)星與行星之間的距離r，可計(jì)算行星的質(zhì)量M. 1．判斷下列說法的正誤． (1)海王星是依據(jù)萬有引力定律計(jì)算的軌道而發(fā)現(xiàn)的．(√) (2)牛頓根據(jù)萬有引力定律計(jì)算出了海王星的軌道．() (3)海王星的發(fā)現(xiàn)表明了萬有引力理論在太陽系內(nèi)的正確性．(√) (4)地球表面的物體的重力必然等于地球?qū)λ娜f有引力．() (5)若只知道某行星的自轉(zhuǎn)周期和行星繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，則可以求出太陽的質(zhì)量．() (6)已知地球繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)的周期和軌道半徑，可以求出地球的質(zhì)量．() 2．已知引力常量G＝6.6710－11 Nm2/kg2，重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半徑R＝6.4106 m，則可知地球的質(zhì)量約為(　　) A．21018 kg B．21020 kg C．61022 kg D．61024 kg 答案　D 一、天體質(zhì)量和密度的計(jì)算 1．卡文迪許在實(shí)驗(yàn)室測(cè)出了引力常量G的值，他稱自己是“可以稱量地球質(zhì)量的人”． (1)他“稱量”的依據(jù)是什么？ (2)若還已知地球表面重力加速度g，地球半徑R，求地球的質(zhì)量和密度． 答案　(1)若忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，在地球表面上物體受到的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力． (2)由mg＝G得，M＝ ρ＝＝＝. 2．如果知道地球繞太陽的公轉(zhuǎn)周期T和它與太陽的距離r，能求出太陽的質(zhì)量嗎？若要求太陽的密度，還需要哪些量？ 答案　由＝m地r知M太＝，可以求出太陽的質(zhì)量．由密度公式ρ＝可知，若要求太陽的密度還需要知道太陽的半徑． 天體質(zhì)量和密度的計(jì)算方法 重力加速度法 環(huán)繞法 情景 已知天體(如地球)的半徑R和天體(如地球)表面的重力加速度g 行星或衛(wèi)星繞中心 天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng) 思路 物體在表面的重力近似等于天體(如地球)與物體間的萬有引力：mg＝G 行星或衛(wèi)星受到的萬有引力充當(dāng)向心力： G＝m()2r(G＝m或G＝mω2r) 天體質(zhì)量 天體(如地球)質(zhì)量：M＝ 中心天體質(zhì)量：M＝(M＝或M＝) 天體密度 ρ＝＝ ρ＝＝(以T為例) 說明 利用mg＝求M是忽略了天體自轉(zhuǎn)，且g為天體表面的重力加速度 由F引＝F向求M，求得的是中心天體的質(zhì)量，而不是做圓周運(yùn)動(dòng)的行星或衛(wèi)星的質(zhì)量 例1　假設(shè)在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星．若它貼近該天體的表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T1，已知引力常量為G. (1)則該天體的密度是多少？ (2)若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測(cè)得衛(wèi)星在該處做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T2，則該天體的密度又是多少？ 答案　(1)　(2) 解析　設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體的質(zhì)量為M. (1)衛(wèi)星貼近天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)有G＝mR，M＝ 根據(jù)幾何知識(shí)可知天體的體積為V＝πR3 故該天體的密度為ρ＝＝＝. (2)衛(wèi)星距天體表面的高度為h時(shí)，有 G＝m(R＋h) M＝ ρ＝＝＝. 【考點(diǎn)】天體密度的計(jì)算 【題點(diǎn)】已知周期、半徑求密度 求解天體質(zhì)量和密度時(shí)的兩種常見錯(cuò)誤 1．根據(jù)軌道半徑r和運(yùn)行周期T，求得M＝是中心天體的質(zhì)量，而不是行星(或衛(wèi)星)的質(zhì)量． 2．混淆或亂用天體半徑與軌道半徑，為了正確并清楚地運(yùn)用，應(yīng)一開始就養(yǎng)成良好的習(xí)慣，比如通常情況下天體半徑用R表示，軌道半徑用r表示，這樣就可以避免如ρ＝誤約分；只有衛(wèi)星在天體表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，如近地衛(wèi)星，軌道半徑r才可以認(rèn)為等于天體半徑R. 針對(duì)訓(xùn)練1　過去幾千年來，人類對(duì)行星的認(rèn)識(shí)與研究?jī)H限于太陽系內(nèi)，行星“51 peg b”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕．“51 peg b”繞其中心恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運(yùn)動(dòng)半徑的.該中心恒星與太陽的質(zhì)量的比值約為(　　) A. B．1 C．5 D．10 答案　B 解析　由G＝mr得M∝ 已知＝，＝，則＝()3()2≈1，B項(xiàng)正確． 【考點(diǎn)】計(jì)算天體的質(zhì)量 【題點(diǎn)】已知周期、半徑求質(zhì)量 例2　有一星球的密度與地球相同，但它表面處的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求： (1)星球半徑與地球半徑之比； (2)星球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比． 答案　(1)4∶1　(2)64∶1 解析　(1)由＝mg得M＝，所以ρ＝＝＝，R＝，＝＝＝4. (2)由(1)可知該星球半徑是地球半徑的4倍．根據(jù)M＝得＝＝64. 【考點(diǎn)】計(jì)算天體的質(zhì)量 【題點(diǎn)】已知重力加速度求質(zhì)量 二、天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算 1．基本思路：一般行星(或衛(wèi)星)的運(yùn)動(dòng)可看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需向心力由中心天體對(duì)它的萬有引力提供，即F引＝F向． 2．常用關(guān)系： (1)G＝ma＝m＝mω2r＝mr. (2)忽略自轉(zhuǎn)時(shí)，mg＝G(物體在天體表面時(shí)受到的萬有引力等于物體重力)，整理可得：gR2＝GM，該公式通常被稱為“黃金代換式”． 3．天體運(yùn)動(dòng)的物理量與軌道半徑的關(guān)系 (1)由G＝m得v＝，r越大，v越?。? (2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越?。? (3)由G＝m2r得T＝2π，r越大，T越大． (4)由G＝ma得a＝，r越大，a越?。? 例3　2009年2月，俄羅斯的“宇宙－2251”衛(wèi)星和美國的“銥－33”衛(wèi)星在西伯利亞上空約805 km處發(fā)生碰撞，這是歷史上首次發(fā)生的完整在軌衛(wèi)星碰撞事件．碰撞過程中產(chǎn)生的大量碎片可能會(huì)影響太空環(huán)境．假定有甲、乙兩塊碎片繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道都是圓，甲的運(yùn)行速率比乙的大，則下列說法中正確的是(　　) A．甲的運(yùn)行周期一定比乙的長(zhǎng) B．甲距地面的高度一定比乙的高 C．甲的向心力一定比乙的小 D．甲的向心加速度一定比乙的大 答案　D 解析　甲的運(yùn)行速率大，由G＝m，得v＝，由此可知，甲碎片的軌道半徑小，故B錯(cuò)；由G＝mr，得T＝，可知甲的周期小，故A錯(cuò)；由于未知兩碎片的質(zhì)量，無法判斷向心力的大小，故C錯(cuò)；由＝ma得a＝，可知甲的向心加速度比乙的大，故D對(duì)． 【考點(diǎn)】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 【題點(diǎn)】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 針對(duì)訓(xùn)練2　如圖1所示，a、b是兩顆繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，它們距地面的高度分別是R和2R(R為地球半徑)．下列說法中正確的是(　　) 圖1 A．a(chǎn)、b的線速度大小之比是∶1 B．a(chǎn)、b的周期之比是1∶2 C．a(chǎn)、b的角速度大小之比是3∶4 D．a(chǎn)、b的向心加速度大小之比是9∶2 答案　C 解析　兩衛(wèi)星均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)萬＝F向． 由＝m得，＝＝＝，故A錯(cuò)誤． 由＝mr2得，＝＝，故B錯(cuò)誤． 由＝mrω2得，＝＝，故C正確． 由＝ma得，＝＝，故D錯(cuò)誤． 【考點(diǎn)】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 【題點(diǎn)】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 1．(天體質(zhì)量的計(jì)算)土星最大的衛(wèi)星叫“泰坦”(如圖2所示)，每16天繞土星一周，其公轉(zhuǎn)圓軌道半徑約為1.2106 km，已知引力常量G＝6.6710－11 Nm2/kg2，則土星的質(zhì)量約為(　　) 圖2 A．51017 kg B．51026 kg C．71033 kg D．41036 kg 答案　B 解析　“泰坦”圍繞土星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，G＝mr，其中T＝16243 600 s≈1.4106 s，代入數(shù)據(jù)解得M≈51026 kg. 【考點(diǎn)】計(jì)算天體的質(zhì)量 【題點(diǎn)】天體質(zhì)量的綜合問題 2．(天體密度的計(jì)算)一艘宇宙飛船繞一個(gè)不知名的行星表面飛行，要測(cè)定該行星的密度，僅僅需要(引力常量G已知)(　　) A．測(cè)定飛船的運(yùn)行周期 B．測(cè)定飛船的環(huán)繞半徑 C．測(cè)定行星的體積 D．測(cè)定飛船的運(yùn)行速度 答案　A 解析　取飛船為研究對(duì)象，由G＝mR及M＝πR3ρ，知ρ＝，故選A. 【考點(diǎn)】天體密度的計(jì)算 【題點(diǎn)】已知周期、半徑求密度 3．(衛(wèi)星各運(yùn)動(dòng)參量與軌道半徑的關(guān)系)我國高分系列衛(wèi)星的高分辨對(duì)地觀察能力不斷提高.2018年5月9日發(fā)射的“高分五號(hào)”軌道高度約為705 km，之前已運(yùn)行的“高分四號(hào)”軌道高度約為36 000 km，它們都繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)．與“高分四號(hào)”相比，下列物理量中“高分五號(hào)”較小的是(　　) A．周期 B．角速度 C．線速度 D．向心加速度 答案　A 解析　“高分五號(hào)”的軌道半徑小于“高分四號(hào)”的軌道半徑，即r五ω四，故B錯(cuò)； v＝∝，v五>v四，故C錯(cuò)； a＝∝，a五>a四，故D錯(cuò)． 【考點(diǎn)】天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析 【題點(diǎn)】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律 4．(天體運(yùn)動(dòng)各參量的比較)如圖3所示，甲、乙兩顆衛(wèi)星以相同的軌道半徑分別繞質(zhì)量為M和2M的行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是(　　) 圖3 A．甲的向心加速度比乙的小 B．甲的運(yùn)行周期比乙的小 C．甲的角速度比乙的大 D．甲的線速度比乙的大 答案　A 解析　甲、乙兩衛(wèi)星分別繞質(zhì)量為M和2M的行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．由牛頓第二定律有G＝ma＝mr＝mω2r＝m，可得a＝，T＝2π，ω＝，v＝.由已知條件可得a甲＜a乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，故正確選項(xiàng)為A. 【考點(diǎn)】天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析 【題點(diǎn)】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律 5．(天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算)如圖4所示，A、B為地球周圍的兩顆衛(wèi)星，它們離地面的高度分別為h1、h2，已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，求： 圖4 (1)A的線速度大小v1； (2)A、B的角速度大小之比ω1∶ω2. 答案　(1)　(2) 解析　(1)設(shè)地球質(zhì)量為M，A衛(wèi)星質(zhì)量為m1， 由萬有引力提供向心力，對(duì)A有：＝m1① 在地球表面對(duì)質(zhì)量為m′的物體有：m′g＝G② 由①②得v1＝ (2)由G＝mω2(R＋h)得，ω＝ 所以A、B的角速度大小之比＝. 【考點(diǎn)】天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析 【題點(diǎn)】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律 一、選擇題 考點(diǎn)一　天體質(zhì)量和密度的計(jì)算 1．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距離R和月球繞地球運(yùn)行的周期T，僅利用這三個(gè)數(shù)據(jù)，可以估算出的物理量有(　　) A．月球的質(zhì)量 B．地球的質(zhì)量 C．地球的半徑 D．地球的密度 答案　B 解析　由天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律知G＝mR可得，地球質(zhì)量M＝，由于不知地球的半徑，無法求地球的密度，故選項(xiàng)B正確． 【考點(diǎn)】計(jì)算天體的質(zhì)量 【題點(diǎn)】已知周期、半徑求質(zhì)量 2．若地球繞太陽的公轉(zhuǎn)周期及公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為T和R，月球繞地球的公轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為t和r，則太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由萬有引力提供向心力得＝m，即M∝，所以＝. 【考點(diǎn)】計(jì)算天體的質(zhì)量 【題點(diǎn)】已知周期、半徑求質(zhì)量 3．如圖1所示是美國的“卡西尼”號(hào)探測(cè)器經(jīng)過長(zhǎng)達(dá)7年的“艱苦”旅行，進(jìn)入繞土星飛行的軌道．若“卡西尼”號(hào)探測(cè)器在半徑為R的土星上空離土星表面高h(yuǎn)的圓形軌道上繞土星飛行，環(huán)繞n周飛行時(shí)間為t，已知引力常量為G，則下列關(guān)于土星質(zhì)量M和平均密度ρ的表達(dá)式正確的是(　　) 圖1 A．M＝，ρ＝ B．M＝，ρ＝ C．M＝，ρ＝ D．M＝，ρ＝ 答案　D 解析　設(shè)“卡西尼”號(hào)的質(zhì)量為m，它圍繞土星的中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力由萬有引力提供，G＝m(R＋h)()2，其中T＝，解得M＝.又土星體積V＝πR3，所以ρ＝＝. 【考點(diǎn)】天體密度的計(jì)算 【題點(diǎn)】已知周期、半徑求密度 4．2015年7月，美國宇航局通過開普勒太空望遠(yuǎn)鏡發(fā)現(xiàn)了迄今“最接近另一個(gè)地球”的系外行星開普勒－452b，開普勒－452b圍繞一顆類似太陽的恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，公轉(zhuǎn)周期約為385天(約3.3107 s)，軌道半徑約為1.51011 m，已知引力常量G＝6.6710－11 Nm2/kg2，利用以上數(shù)據(jù)可以估算出類似太陽的恒星的質(zhì)量約為(　　) A．1.81030 kg B．1.81027 kg C．1.81024 kg D．1.81021 kg 答案　A 解析　根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力，有G＝mr，則中心天體的質(zhì)量M＝≈ kg≈1.81030 kg，故A正確． 【考點(diǎn)】計(jì)算天體的質(zhì)量 【題點(diǎn)】已知周期、半徑求質(zhì)量 5．2018年2月，我國500 m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉(zhuǎn)周期T＝5.19 ms.假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知引力常量為6.6710－11 Nm2/kg2.以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為(　　) A．5109 kg/m3 B．51012 kg/m3 C．51015 kg/m3 D．51018 kg/m3 答案　C 解析　脈沖星自轉(zhuǎn)，邊緣物體m恰對(duì)星體無壓力時(shí)萬有引力提供向心力，則有G＝mr， 又知M＝ρπr3 整理得密度ρ＝＝ kg/m3≈51015 kg/m3. 【考點(diǎn)】天體密度的計(jì)算 【題點(diǎn)】已知周期、半徑求密度 6．已知地球半徑為R，地球質(zhì)量為m，太陽與地球中心間距為r，地球表面的重力加速度為g，地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期為T，則太陽的質(zhì)量為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　對(duì)地球繞太陽的圓周運(yùn)動(dòng)有＝mr 對(duì)地球表面的物體有m′g＝ 聯(lián)立兩式可得太陽質(zhì)量M＝，B正確． 【考點(diǎn)】天體密度的計(jì)算 【題點(diǎn)】已知周期、半徑求密度 考點(diǎn)二　天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 7．(多選)如圖2所示，飛船從軌道1變軌至軌道2.若飛船在兩軌道上都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，不考慮質(zhì)量變化，相對(duì)于在軌道1上，飛船在軌道2上的(　　) 圖2 A．速度大 B．向心加速度大 C．運(yùn)行周期長(zhǎng) D．角速度小 答案　CD 解析　飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，即F引＝F， 所以G＝ma＝＝＝mrω2， 即a＝，v＝，T＝，ω＝. 因?yàn)閞1v2，a1>a2，T1ω2，選項(xiàng)C、D正確． 【考點(diǎn)】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 【題點(diǎn)】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 8.a、b、c、d是在地球大氣層外的圓形軌道上運(yùn)行的四顆人造衛(wèi)星．其中a、c的軌道相交于P，b、d在同一個(gè)圓軌道上，b、c軌道在同一平面上．某時(shí)刻四顆衛(wèi)星的運(yùn)行方向及位置如圖3所示，下列說法中正確的是(　　) 圖3 A．a(chǎn)、c的加速度大小相等，且大于b的加速度 B．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度 C．a(chǎn)、c的線速度大小相等，且小于d的線速度 D．a(chǎn)、c存在在P點(diǎn)相撞的危險(xiǎn) 答案　A 解析　由G＝m＝mω2r＝mr＝ma，可知，選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤，A正確；因a、c軌道半徑相同，周期相同，由題圖可知當(dāng)c運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)不相撞，以后就不可能相撞了，選項(xiàng)D錯(cuò)誤． 【考點(diǎn)】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 【題點(diǎn)】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 9．伽利略用他自制的望遠(yuǎn)鏡發(fā)現(xiàn)了圍繞木星的四顆衛(wèi)星，假定四顆衛(wèi)星均繞木星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的轉(zhuǎn)動(dòng)周期如表所示，關(guān)于這四顆衛(wèi)星，下列說法中正確的是(　　) 名稱 周期/天 木衛(wèi)一 1.77 木衛(wèi)二 3.65 木衛(wèi)三 7.16 木衛(wèi)四 16.7 A.木衛(wèi)一角速度最小 B．木衛(wèi)四線速度最大 C．木衛(wèi)四軌道半徑最大 D．木衛(wèi)一受到的木星的萬有引力最大 答案　C 【考點(diǎn)】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 【題點(diǎn)】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 10．(多選)地球半徑為R0，地面重力加速度為g，若衛(wèi)星在距地面R0處做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則(　　) A．衛(wèi)星的線速度為 B．衛(wèi)星的角速度為 C．衛(wèi)星的加速度為 D．衛(wèi)星的加速度為 答案　ABD 解析　由＝ma＝m＝mω2(2R0)及GM＝gR02，可得衛(wèi)星的向心加速度a＝，角速度ω＝，線速度v＝，所以A、B、D正確，C錯(cuò)誤． 【考點(diǎn)】天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析 【題點(diǎn)】應(yīng)用重力等于萬有引力分析天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律 11．兩顆行星A和B各有一顆衛(wèi)星a和b，衛(wèi)星軌道接近各自行星的表面，如果兩行星的質(zhì)量之比為＝p，兩行星的半徑之比為＝q，則兩個(gè)衛(wèi)星的周期之比為(　　) A. B．q C．p D．q 答案　D 解析　衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬有引力提供做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則有：G＝mR()2，得T＝，解得：＝q，故D正確，A、B、C錯(cuò)誤． 【考點(diǎn)】天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析 【題點(diǎn)】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律 二、非選擇題 12．(天體質(zhì)量、密度的計(jì)算)若宇航員登上月球后，在月球表面做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)：將一片羽毛和一個(gè)鐵錘從同一高度由靜止同時(shí)釋放，二者幾乎同時(shí)落地．若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經(jīng)時(shí)間t落到月球表面．已知引力常量為G，月球的半徑為R.求：(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響) (1)月球表面的自由落體加速度大小g月． (2)月球的質(zhì)量M. (3)月球的密度ρ. 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)月球表面附近的物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，則h＝g月t2，月球表面自由落體的加速度大小g月＝. (2)因不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則有G＝mg月，月球的質(zhì)量M＝. (3)月球的密度ρ＝＝＝. 【考點(diǎn)】萬有引力定律和力學(xué)其他問題的綜合應(yīng)用 【題點(diǎn)】萬有引力定律和力學(xué)其他問題的綜合應(yīng)用 13．(天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律)我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用“長(zhǎng)征二號(hào)丁”運(yùn)載火箭，將“高分一號(hào)”衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道，這是我國重大科技專項(xiàng)高分辨率對(duì)地觀測(cè)系統(tǒng)的首發(fā)星．設(shè)“高分一號(hào)”軌道的離地高度為h，地球半徑為R，地面重力加速度為g，求“高分一號(hào)”在時(shí)間t內(nèi)，繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)多少圈？(忽略地球的自轉(zhuǎn)) 答案　 解析　在地球表面的物體m′g＝ “高分一號(hào)”在軌道上，由萬有引力提供向心力得＝m(R＋h) 所以T＝2π＝2π 故n＝＝. 【考點(diǎn)】天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析 【題點(diǎn)】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律 一、選擇題 考點(diǎn)一　天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 1．把太陽系各行星的運(yùn)動(dòng)近似看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則離太陽越遠(yuǎn)的行星(　　) A．周期越大 B．線速度越大 C．角速度越大 D．向心加速度越大 答案　A 解析　行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需的向心力由太陽對(duì)行星的引力提供，由G＝m得v＝，可知r越大，線速度越小，B錯(cuò)誤．由G＝mω2r得ω＝，可知r越大，角速度越小，C錯(cuò)誤．由＝k知，r越大，周期越大，A對(duì)．由G＝ma得a＝，可知r越大，向心加速度越小，D錯(cuò)誤． 【考點(diǎn)】天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析 【題點(diǎn)】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律 2．據(jù)報(bào)道，“嫦娥一號(hào)”和“嫦娥二號(hào)”繞月飛行的圓形工作軌道距月球表面分別約為200 km和100 km，運(yùn)行速率分別為v1和v2.那么，v1和v2的比值為(月球半徑取1 700 km)(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根據(jù)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，有G＝m，那么衛(wèi)星的線速度跟其軌道半徑的平方根成反比，則有＝＝. 【考點(diǎn)】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 【題點(diǎn)】人造衛(wèi)星的線速度與半徑的關(guān)系 3．(多選)火星直徑約為地球直徑的一半，質(zhì)量約為地球質(zhì)量的十分之一，它繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑約為地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑的1.5倍．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說法中正確的是(　　) A．火星表面重力加速度的數(shù)值比地球表面的小 B．火星公轉(zhuǎn)的周期比地球的長(zhǎng) C．火星公轉(zhuǎn)的線速度比地球的大 D．火星公轉(zhuǎn)的向心加速度比地球的大 答案　AB 解析　由G＝m′g得g＝G，計(jì)算得A對(duì)；由G＝m()2r得T＝2π，計(jì)算得B對(duì)；周期長(zhǎng)的線速度小(或由v＝判斷軌道半徑大的線速度小)，C錯(cuò)；公轉(zhuǎn)的向心加速度a＝G，計(jì)算得D錯(cuò)． 【考點(diǎn)】天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析 【題點(diǎn)】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律 4．(多選)土星外層有一個(gè)環(huán)，為了判斷它是土星的一部分還是土星的衛(wèi)星群，可以測(cè)量環(huán)中各層的線速度v與該層到土星中心的距離R之間的關(guān)系，則下列判斷正確的是(　　) A．若v2∝R，則該層是土星的衛(wèi)星群 B．若v∝R，則該層是土星的一部分 C．若v∝，則該層是土星的一部分 D．若v2∝，則該層是土星的衛(wèi)星群 答案　BD 解析　若外層的環(huán)為土星的一部分，則它們各部分轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，B正確，C錯(cuò)誤；若是土星的衛(wèi)星群，則由G＝m，得v2∝，A錯(cuò)誤，D正確． 【考點(diǎn)】天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析 【題點(diǎn)】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律 5．(多選)如圖1所示，a、b、c是地球大氣層外圈圓形軌道上運(yùn)動(dòng)的三顆衛(wèi)星，a和b質(zhì)量相等，且小于c的質(zhì)量，則(　　) 圖1 A．b所需向心力最小 B．b、c的周期相同且大于a的周期 C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 D．b、c的線速度大小相等，且小于a的線速度 答案　ABD 解析　因衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的向心力是由它們所受的萬有引力提供，由F向＝知b所受的引力最小，A對(duì)．由＝mrω2＝mr()2得T＝2π，r越大，T越大，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B對(duì)．由＝ma，得a＝，即a∝，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C錯(cuò)．由＝，得v＝，即v∝，所以b、c的線速度大小相等且小于a的線速度，D對(duì)． 【考點(diǎn)】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 【題點(diǎn)】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 6．(多選)如圖2所示，2018年2月2日，我國成功將電磁監(jiān)測(cè)試驗(yàn)衛(wèi)星“張衡一號(hào)”發(fā)射升空，標(biāo)志我國成為世界上少數(shù)擁有在軌運(yùn)行高精度地球物理場(chǎng)探測(cè)衛(wèi)星的國家之一．通過觀測(cè)可以得到衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期，并已知地球的半徑和地球表面處的重力加速度．若將衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)看做是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以計(jì)算出衛(wèi)星的(　　) 圖2 A．密度 B．向心力的大小 C．離地高度 D．線速度的大小 答案　CD 解析　設(shè)衛(wèi)星的周期為T，軌道半徑為r，地球質(zhì)量和半徑分別為M、R，則在地球表面的物體：G＝m′g，GM＝gR2① 對(duì)衛(wèi)星：根據(jù)萬有引力提供向心力，有 G＝m2r② 聯(lián)立①②式可求軌道半徑r，而r＝R＋h，故可求得衛(wèi)星的離地高度． 由v＝rω＝r，從而可求得衛(wèi)星的線速度大?。? 衛(wèi)星的質(zhì)量未知，故衛(wèi)星的密度不能求出，萬有引力即向心力F＝G也不能求出．故選項(xiàng)C、D正確． 【考點(diǎn)】人造衛(wèi)星各物理量的關(guān)系 【題點(diǎn)】人造衛(wèi)星各物理量的關(guān)系 7．(多選)科學(xué)探測(cè)表明，月球上至少存在豐富的氧、硅、鋁、鐵等資源，設(shè)想人類開發(fā)月球，不斷把月球上的礦藏搬運(yùn)到地球上，假定經(jīng)長(zhǎng)期的開采后月球與地球仍可看成均勻球體，月球仍沿開采前的軌道運(yùn)動(dòng)，則與開采前相比(提示：a＋b＝常量，則當(dāng)a＝b時(shí)，ab乘積最大)(　　) A．地球與月球間的萬有引力將變大 B．地球與月球間的萬有引力將變小 C．月球繞地球運(yùn)行的周期將變大 D．月球繞地球運(yùn)行的周期將變小 答案　BD 解析　萬有引力公式F＝中，G和r不變，因地球和月球的總質(zhì)量不變，當(dāng)M增大而m減小時(shí)，兩者的乘積減小，萬有引力減小，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；又＝mr，T＝ ，M增大，則T減小，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確． 【考點(diǎn)】天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析 【題點(diǎn)】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律 8.如圖3所示，甲、乙兩顆衛(wèi)星在同一平面上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，公轉(zhuǎn)方向相同．已知衛(wèi)星甲的公轉(zhuǎn)周期為T，每經(jīng)過最短時(shí)間9T，衛(wèi)星乙都要運(yùn)動(dòng)到與衛(wèi)星甲在地球同一側(cè)且三者共線的位置上，則衛(wèi)星乙的公轉(zhuǎn)周期為(　　) 圖3 A.T B.T C.T D.T 答案　A 解析　由題意得， (－)t＝2π① t＝9T② 聯(lián)立①②得T乙＝T，選項(xiàng)A正確． 【考點(diǎn)】衛(wèi)星的“追趕”問題 【題點(diǎn)】衛(wèi)星的“追趕”問題 考點(diǎn)二　天體質(zhì)量和密度的計(jì)算 9．(多選)2016年10月19日凌晨，“神舟十一號(hào)”飛船與“天宮二號(hào)”成功實(shí)施自動(dòng)交會(huì)對(duì)接．如圖4所示，已知“神舟十一號(hào)”與“天宮二號(hào)”對(duì)接后，組合體在時(shí)間t內(nèi)沿圓周軌道繞地球轉(zhuǎn)過的角度為θ，組合體軌道半徑為r，地球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮地球自轉(zhuǎn)．則(　　) 圖4 A．可求出地球的質(zhì)量 B．可求出地球的平均密度 C．可求出組合體做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度 D．可求出組合體受到的地球的萬有引力 答案　ABC 解析　組合體在時(shí)間t內(nèi)沿圓周軌道繞地球轉(zhuǎn)過的角度為θ，則角速度ω＝，萬有引力提供組合體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則＝mω2r，所以M＝＝①，A正確．不考慮地球的自轉(zhuǎn)時(shí)，組合體在地球表面的重力等于地球?qū)M合體的萬有引力，則mg＝G，解得R＝，地球的密度ρ＝＝＝()，將①式代入即可求出平均密度，B正確．根據(jù)線速度與角速度的關(guān)系v＝ωr可知v＝，C正確．由于不知道組合體的質(zhì)量，所以不能求出組合體受到的萬有引力，D錯(cuò)誤． 【考點(diǎn)】天體質(zhì)量和密度的計(jì)算 【題點(diǎn)】天體質(zhì)量和密度的計(jì)算 10．“嫦娥三號(hào)”的環(huán)月軌道可近似看成是圓軌道，觀察“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月軌道上的運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過時(shí)間t通過的弧長(zhǎng)為l，該弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓心角為θ(弧度)，如圖5所示．已知引力常量為G，由此可推導(dǎo)出月球的質(zhì)量為(　　) 圖5 A. B. C. D. 答案　A 解析　根據(jù)弧長(zhǎng)及對(duì)應(yīng)的圓心角，可得“嫦娥三號(hào)”的軌道半徑r＝，根據(jù)轉(zhuǎn)過的角度和時(shí)間，可得ω＝，由于月球?qū)Α版隙鹑?hào)”的萬有引力提供“嫦娥三號(hào)”做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，可得G＝mω2r，聯(lián)立可得M＝. 【考點(diǎn)】計(jì)算天體的質(zhì)量 【題點(diǎn)】天體質(zhì)量的綜合問題 二、非選擇題 11．(物體的運(yùn)動(dòng)與萬有引力的結(jié)合)宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時(shí)間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時(shí)間5t小球落回原處．(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空氣阻力不計(jì)) (1)求該星球表面附近的重力加速度g星的大??； (2)已知該星球的半徑與地球半徑之比為＝，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比. 答案　(1)2 m/s2　(2)1∶80 解析　(1)在地球表面以一定的初速度v0豎直上拋一小球，經(jīng)過時(shí)間t小球落回原處， 根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知t＝. 同理，在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，經(jīng)過時(shí)間5t小球落回原處，則5t＝ 根據(jù)以上兩式，解得g星＝g＝2 m/s2 (2)在天體表面時(shí)，物體的重力近似等于萬有引力，即 mg＝，所以M＝ 由此可得，＝＝＝. 【考點(diǎn)】萬有引力定律和力學(xué)其他問題的綜合應(yīng)用 【題點(diǎn)】重力加速度和拋體運(yùn)動(dòng)的綜合問題 12．(天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析)某課外科技小組長(zhǎng)期進(jìn)行天文觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)某行星周圍有眾多小衛(wèi)星，這些小衛(wèi)星靠近行星且分布相當(dāng)均勻，經(jīng)查對(duì)相關(guān)資料，該行星的質(zhì)量為M.現(xiàn)假設(shè)所有衛(wèi)星繞該行星的運(yùn)動(dòng)都是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知引力常量為G. (1)若測(cè)得離行星最近的一顆衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌道半徑為R1，忽略其他小衛(wèi)星對(duì)該衛(wèi)星的影響，求該衛(wèi)星的運(yùn)行速度v1為多大？ (2)在進(jìn)一步的觀測(cè)中，發(fā)現(xiàn)離行星很遠(yuǎn)處還有一顆衛(wèi)星，其運(yùn)動(dòng)軌道半徑為R2，周期為T2，試估算靠近行星周圍眾多小衛(wèi)星的總質(zhì)量m衛(wèi)為多大？ 答案　(1)　(2)－M 解析　(1)設(shè)離行星最近的一顆衛(wèi)星的質(zhì)量為m1， 有G＝m1，解得v1＝. (2)由于靠近行星周圍的眾多衛(wèi)星分布均勻，可以把行星及靠近行星的小衛(wèi)星看做一星體，其質(zhì)量中心在行星的中心，設(shè)離行星很遠(yuǎn)的衛(wèi)星質(zhì)量為m2，則有 G＝m2R2 解得m衛(wèi)＝－M. 【考點(diǎn)】天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析 【題點(diǎn)】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律