2019高考數學二輪復習 第一篇 微型專題 微專題17 直線方程與圓的方程練習 理.docx

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17　直線方程與圓的方程 1.已知三點A(1,-2),B(a,-1),C(-b, 0)共線,則1+2aa+2+bb(a>0,b>0)的最小值為(　　). A.11　　　　B.10　　　　C.6　　　　D.4 解析?　由題意知,kAB=kBC,所以2a+b=1,所以1+2aa+2+bb=3+1a+2b=3+1a+2b(2a+b)=3+4+4ab+ba≥7+24abba=11,當且僅當a=14,b=12時等號成立,故選A. 答案?　A 2.圓(x-2)2+y2=4關于直線y=33x對稱的圓的方程是(　　). A.(x-3)2+(y-1)2=4 B.(x-2)2+(y-2)2=4 C.x2+(y-2)2=4 D.(x-1)2+(y-3)2=4 解析?　設所求圓的圓心為(a,b),則b2=33a+22,ba-2=-3,所以a=1,b=3,所以所求圓的方程為(x-1)2+(y-3)2=4,故選D. 答案?　D 3.若圓x2+y2+4x-2y-a2=0截直線x+y+5=0所得弦的長度為2,則實數a=(　　). A.2 B.-2 C.4 D.4 解析?　圓的標準方程為(x+2)2+(y-1)2=5+a2,則圓心坐標為(-2,1),半徑r=a2+5. 所以圓心到直線x+y+5=0的距離為|-2+1+5|2=22. 由1+(22)2=5+a2,得a=2,故選A. 答案?　A 4.已知AB為圓C:x2+y2-2y=0的直徑,點P為直線y=x-1上任意一點,則|PA|2+|PB|2的最小值為　　　　. 解析?　圓心C(0,1),設∠PCA=α,|PC|=m,則|PA|2=m2+1-2mcos α,|PB|2=m2+1-2mcos(π-α)=m2+1+2mcos α,∴|PA|2+|PB|2=2m2+2. 又點C到直線y=x-1的距離d=|0-1-1|2=2,即m的最小值為2,∴|PA|2+|PB|2的最小值為2(2)2+2=6. 答案?　6 能力1 ?　會用直線方程判斷兩條直線的位置關系 【例1】　已知直線l1:(3+m)x+4y=5-3m與l2:2x+(m+5)y=8,則“l(fā)1∥l2”是“m<-1”的(　　). A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析?　若l1∥l2,則(3+m)(5+m)=42,解得m=-1或m=-7,經檢驗,當m=-1時,l1與l2重合,∴m=-7,故“l(fā)1∥l2”是“m<-1”的充分不必要條件,故選A. 答案?　A 　　(1)當含參數的直線方程為一般式時,若要表示出直線的斜率,不僅要考慮到斜率存在的一般情況,也要考慮到斜率不存在的特殊情況,同時還要注意x,y的系數不能同時為零這一隱含條件. (2)在判斷兩條直線的平行、垂直時,也可直接利用直線方程的系數間的關系得出結論. 設a∈R,則“a=1”是“直線ax+y-1=0與直線x+ay+1=0平行”的(　　). A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析?　若兩條直線平行,則a1=1a≠-11,解得a2=1,且a≠-1,所以a=1,即“a=1”是“直線ax+y-1=0與直線x+ay+1=0平行”的充要條件,故選C. 答案?　C 能力2 ?　會結合平面幾何知識求圓的方程 【例2】　若圓心在y軸上且通過點(3,1)的圓與x軸相切,則該圓的方程是(　　). A.x2+y2+10y=0　　　B.x2+y2-10y=0 C.x2+y2+10x=0 D.x2+y2-10x=0 解析?　設圓心為(0,b),半徑為r,則r=|b|,故圓的方程為x2+(y-b)2=b2. ∵點(3,1)在圓上,∴9+(1-b)2=b2,解得b=5. ∴圓的方程為x2+y2-10y=0,故選B. 答案?　B 　　確定圓心位置的方法:(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上;(2)圓心在任一弦的中垂線上;(3)兩圓內切或外切時,切點與兩圓圓心三點共線. 點P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點連線的中點的軌跡方程是(　　). A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 解析?　設圓上任一點為Q(x0,y0),PQ的中點為M(x,y),則x=4+x02,y=-2+y02,解得x0=2x-4,y0=2y+2. 因為點Q在圓x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化簡得(x-2)2+(y+1)2=1,故選A. 答案?　A 能力3 ?　會用幾何法求直線與圓中的弦長問題 【例3】　若直線l:y=kx+1被圓C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,則直線l的方程是(　　). A.x=0　 B.y=1 C.x+y-1=0 D.x-y+1=0 解析?　依題意,直線l:y=kx+1過定點P(0,1),圓C:x2+y2-2x-3=0化為標準方程為(x-1)2+y2=4,故圓心為C(1,0),半徑r=2,則易知定點P(0,1)在圓內,由圓的性質可知當PC⊥l時,此時直線l:y=kx+1被圓C:x2+y2-2x-3=0截得的弦長最短.因為kPC=1-00-1=-1,所以直線l的斜率k=1,即直線l的方程是x-y+1=0,故選D. 答案?　D 　　有關弦長問題的兩種求法: 如圖所示, 設直線l被圓C截得的弦為AB,圓的半徑為r,圓心到直線的距離為d,則有關系式:|AB|=2r2-d2 若斜率為k的直線與圓相交于A(xA,yA),B(xB,yB)兩點,則|AB|=1+k2(xA+xB)2-4xAxB=1+1k2(yA+yB)2-4yAyB,其中k≠0.特別地,當k=0時,|AB|=|xA-xB|;當斜率不存在時,|AB|=|yA-yB| 過點(2,0)引直線l與圓x2+y2=2相交于A,B兩點,O為坐標原點,當△AOB面積取最大值時,直線l的斜率為　　　　. 解析?　由題意可知直線l的斜率存在,設直線l的斜率為k,則直線方程為y=k(x-2),即kx-y-2k=0,當△AOB面積取最大值時,OA⊥OB,此時圓心O到直線l的距離d=1,由點到直線的距離公式得d=|2k|1+k2=1,∴k=33. 答案?　33 能力4 ?　會用數形結合解決直線和圓中的最值問題 【例4】　已知P是直線l:3x-4y+11=0上的動點,PA,PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線,A,B為切點,C是圓心,則四邊形PACB面積的最小值是(　　). A.2　　　B.22　　　C.3　　　D.23 解析?　圓的標準方程為(x-1)2+(y-1)2=1,圓心為C(1,1),半徑r=1.根據對稱性可知,四邊形PACB的面積為2S△APC=212|PA|r=|PA|=|PC|2-r2,要使四邊形PACB的面積最小,則只需|PC|最小,當|PC|最小時,圓心到直線l:3x-4y+11=0的距離d=|3-4+11|32+(-4)2=105=2,所以四邊形PACB面積的最小值為|PC|min2-r2=4-1=3,故選C. 答案?　C 　　解決有關圓的最值問題一般要“數”與“形”結合,根據圓的知識探求最值時的位置關系.解析幾何中數形結合思想主要表現在以下兩方面: (1)構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題. (2)研究圖形的形狀、位置關系、性質等. 已知兩點A(0,-3),B(4,0),若點P是圓C:x2+y2-2y=0上的動點,則△ABP面積的最小值為(　　). A.6 B.112 C.8 D.212 解析?　如圖,過圓心C向直線AB作垂線交圓C于點P,此時△ABP的面積最小. 直線AB的方程為x4+y-3=1, 　　即3x-4y-12=0,圓心C(0,1)到直線AB的距離d=|30-41-12|32+(-4)2=165,|AB|=5, 所以△ABP面積的最小值為125165-1=112,故選B. 答案?　B 一、選擇題 　　　　　　　　　　　　　　　 1.直線l經過點A(1,2),在x軸上的截距的取值范圍是(-3,3),則其斜率k的取值范圍是(　　). A.-115 D.k<-1或k>12 解析?　設直線l的斜率為k,則直線方程為y-2=k(x-1),令y=0,得直線l在x軸上的截距為1-2k. 由-3<1-2k<3,得k<-1或k>12,故選D. 答案?　D 2.已知圓C:(x-a)2+y2=1與拋物線y2=-4x的準線相切,則a的值是(　　). A.0 B.2 C.0或1 D.0或2 解析?　圓心坐標為(a,0),準線方程為x=1,所以|a-1|=1,解得a=0或a=2,故選D. 答案?　D 3.已知直線3x+4y+3=0與直線6x+my-14=0平行,則它們之間的距離是(　　). A.2 B.8 C.175 D.1710 解析?　直線方程6x+my-14=0可化為3x+m2y-7=0,所以兩條平行直線之間的距離d=|3-(-7)|5=2,故選A. 答案?　A 4.過點A(1,-1),B(-1,1)且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是(　　). A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 解析?　AB的垂直平分線為y=x,直線y=x與x+y-2=0的交點是(1,1),即圓的圓心坐標為(1,1),故半徑r=(1-1)2+[1-(-1)]2=2,故選C. 答案?　C 5.若過點(3,1)作圓(x-1)2+y2=r2的切線有且只有一條,則該切線的方程為(　　). A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0 解析?　由過點(3,1)作圓(x-1)2+y2=r2的切線有且只有一條,得點(3,1)在圓上,代入可得r2=5,圓的方程為(x-1)2+y2=5,則得過點(3,1)的切線方程為(x-1)(3-1)+y(1-0)=5,即2x+y-7=0,故選B. 答案?　B 6.已知過原點的直線l與圓C:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點D的坐標為(2,2),則弦長|AB|為(　　). A.2 B.3 C.4 D.5 解析?　圓C:x2+y2-6x+5=0,整理得其標準方程為(x-3)2+y2=4, ∴圓C的圓心坐標為(3,0),半徑為2. ∵線段AB的中點為D(2,2), ∴|CD|=1+2=3, ∴|AB|=2|AD|=24-3=2,故選A. 答案?　A 7.已知圓O1的方程為x2+(y+1)2=6,圓O2的圓心坐標為(2,1).若兩圓相交于A,B兩點,且|AB|=4,則圓O2的方程為(　　). A.(x-2)2+(y-1)2=6 B.(x-2)2+(y-1)2=22 C.(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22 D.(x-2)2+(y-1)2=36或(x-2)2+(y-1)2=32 解析?　設圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0),因為圓O1的方程為x2+(y+1)2=6, 所以直線AB的方程為4x+4y+r2-10=0, 所以圓心O1到直線AB的距離d=|r2-14|42. 由d2+22=6,得(r2-14)232=2, 所以r2-14=8,r2=6或r2=22. 故圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22,故選C. 答案?　C 8.已知圓C的方程為(x-1)2+y2=r2(r>0),若p:1≤r≤3;q:圓C上至多有3個點到直線x-3y+3=0的距離為1,則p是q的(　　). A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析?　圓心C(1,0)到直線x-3y+3=0的距離d=|1-30+3|1+3=2,當r=1時,圓上恰有一個點到直線的距離為1;當10),半徑為r, 所以(a-2)2=r2,a2+(0+1)2=r2,a2+(0-1)2=r2,解得a=34,r2=2516. 故圓E的標準方程為x-342+y2=2516,故選C. 答案?　C 10.已知直線l:x+y-1=0被圓O:x2+y2=r2(r>0)所截得的弦長為14,交點為M,N,且直線l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0過定點P,若PM⊥PN,則|MN|的取值范圍為(　　). A.[2-2,2+3] B.[2-2,2+2] C.[6-2,6+3] D.[6-2,6+2] 解析?　由題意知,2r2-12=14,解得r=2. 因為直線l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0, 所以點P的坐標為(1,1). 設MN的中點為Q(x,y),則OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2,即4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,化簡可得x-122+y-122=32,所以點Q的軌跡是以12,12為圓心,62為半徑的圓,所以|PQ|的取值范圍為6-22,6+22.又|MN|=2|PQ|,所以|MN|的取值范圍為[6-2,6+2],故選D. 答案?　D 二、填空題 11.已知點A(-2,0),P為圓C:(x+4)2+y2=16上任意一點,若在x軸上存在點B滿足2|PA|=|PB|,則點B的坐標為　　　　. 解析?　設B(a,0),P(x,y),則2(x+2)2+y2=(x-a)2+(y-0)2,整理得到3x2+3y2+(16+2a)x+16-a2=0.又P(x,y)在圓C:(x+4)2+y2=16上,則x2+y2+8x=0,從而16-a2=0,31=16+2a8,解得a=4.故點B的坐標為(4,0). 答案?　(4,0) 12.已知圓C1:x2+y2=1與圓C2:(x-2)2+(y-4)2=1,過動點P(a,b)分別作圓C1、圓C2的切線PM、PN(M、N分別為切點),若PM=PN,則(a-5)2+(b+1)2的最小值是　　　　. 解析?　在Rt△PMC1與Rt△PNC2中,PM=PN,MC1=NC2=1,所以Rt△PMC1與Rt△PNC2全等,所以PC1=PC2,則點P在線段C1C2的垂直平分線上,根據C1(0,0),C2(2,4)可求得其垂直平分線的方程為x+2y-5=0.因為(a-5)2+(b+1)2表示P(a,b),Q(5,-1)兩點間的距離,所以最小值就是點Q到x+2y-5=0的距離,利用點到直線的距離公式可求出最小值為255. 答案?　255 三、解答題 13.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個焦點為(3,0),A為橢圓C的右頂點,以A為圓心的圓A與直線y=bax相交于P,Q兩點,且APAQ=0,OP=3OQ,求橢圓C的標準方程和圓A的方程. 解析?　設T為線段PQ的中點,連接AT, 則AT⊥PQ. ∵APAQ=0,即AP⊥AQ, ∴|AT|=12|PQ|. 又OP=3OQ,則|OT|=|PQ|, ∴|AT||OT|=12,即ba=12. 由c=3,得a2=4,b2=1, 故橢圓C的標準方程為x24+y2=1. 又|AT|2+|OT|2=a2=4,則|AT|2+4|AT|2=4,|AT|=255,r=|AP|=2105, 故圓A的方程為(x-2)2+y2=85.