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專題十四 函數(shù)與不等式
【母題原題1】【2018浙江，15】已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當λ=2時，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是___________．
【答案】 (1). (1,4) (2).
【解析】分析:根據(jù)分段函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個不等式組，分別求解，最后求并集.先討論一次函數(shù)零點的取法，再對應(yīng)確定二次函數(shù)零點的取法，即得參數(shù)的取值范圍.
詳解：由題意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是
點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
【母題原題2】【2017浙江，17】已知，函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值是5，則a的取值范圍是__________
【答案】
【解析】，分類討論：
①當時， ，
函數(shù)的最大值，舍去；
②當時， ，此時命題成立；
③當時， ，則：
或，解得： 或
綜上可得，實數(shù)的取值范圍是．
【名師點睛】本題利用基本不等式，由，得，通過對解析式中絕對值符號的處理，進行有效的分類討論：①；②；③，問題的難點在于對分界點的確認及討論上，屬于難題．解題時，應(yīng)仔細對各種情況逐一進行討論．
【母題原題3】【2016浙江，理18】已知，函數(shù)F（x）=min{2|x?1|，x2?2ax+4a?2}，
其中min{p，q}=
（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范圍；
（Ⅱ）（?。┣驠（x）的最小值m（a）；
（ⅱ）求F（x）在區(qū)間[0,6]上的最大值M（a）.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）．
試題解析：（Ⅰ）由于，故
當時，，
當時，．
所以，使得等式成立的的取值范圍為．
（Ⅱ）（?。┰O(shè)函數(shù)，，
則，，
所以，由的定義知，即
（ⅱ）當時，
，
當時，．
所以，．
【考點】函數(shù)的單調(diào)性與最值，分段函數(shù)，不等式．
【思路點睛】（Ⅰ）根據(jù)的取值范圍化簡，即可得使得等式成立的的取值范圍；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函數(shù)和的最小值，再根據(jù)的定義可得；（Ⅱ）根據(jù)的取值范圍求出的最大值，進而可得．
【命題意圖】高考對本部分內(nèi)容的以考查能力為主，重點考查分段函數(shù)、絕對值的概念、基本函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法，考查數(shù)學式子變形的能力、運算求解能力、等價轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.
【命題規(guī)律】函數(shù)是高考命題熱點之一，往往以常見函數(shù)為基本考察對象，以絕對值或分段函數(shù)的呈現(xiàn)方式，與不等式相結(jié)合，考查函數(shù)的基本性質(zhì)，如單調(diào)性與最值、函數(shù)與方程（零點）、不等式的解法等.由于導數(shù)的加入，除將函數(shù)與導數(shù)相結(jié)合考查外，仍有對函數(shù)獨立的考查題目，難度基本穩(wěn)定在中等或以下.
【答題模板】求解函數(shù)不等式問題，一般考慮：
第一步：化簡函數(shù)，明確函數(shù)的構(gòu)成特點.當呈現(xiàn)方式含絕對值式時，要利用絕對值的概念化簡函數(shù)；
第二步：根據(jù)函數(shù)特征，聯(lián)想函數(shù)的性質(zhì)，確定求解方法.根據(jù)函數(shù)的構(gòu)成特點，結(jié)合題目要求，聯(lián)想函數(shù)的單調(diào)性、零點的概念、不等式的解法、不等式恒成立問題的解法等；
第三步：運算求解.
【方法總結(jié)】
1.確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法
(1)利用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點.
(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.
2.已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)取值范圍常用的方法
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
3.確定函數(shù)最值的方法：
（1）單調(diào)性法：考查函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值點，便可求出函數(shù)相應(yīng)的最值.
（2）圖象法：對于由基本初等函數(shù)圖象變化而來的函數(shù)，通過觀察函數(shù)圖象的最高點或最低點確定函數(shù)的最值.
（3）分段函數(shù)的最值：將每段函數(shù)的最值求出，比較大小確定函數(shù)的最值.
（4）導數(shù)法：對于一般的可導函數(shù)，可以利用導數(shù)求出函數(shù)的極值，并與端點值進行大小比較，從而確定函數(shù)的最值.
4.分段函數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學的分類討論思想，求解分段函數(shù)問題時應(yīng)注意以下三點：
(1)明確分段函數(shù)的分段區(qū)間．
(2)依據(jù)自變量的取值范圍，選好討論的切入點，并建立等量或不等量關(guān)系．
(3)在通過上述方法求得結(jié)果后，應(yīng)注意檢驗所求值(范圍)是否落在相應(yīng)分段區(qū)間內(nèi)．
5.含絕對值不等式的應(yīng)用中的數(shù)學思想
(1)利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；
(2)利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．
1．【2018屆浙江省杭州市第二中學6月熱身】設(shè)函數(shù)f(x)=min{x-2,x2,x+2}，其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者.下列說法錯誤的（ ）
A. 函數(shù)f(x)為偶函數(shù) B. 若x∈[1,+∞)時，有f(x-2)≤f(x)
C. 若x∈R時，f(f(x))≤f(x) D. 若x∈[-4,4]時，f(x-2)≥f(x)
【答案】D
【解析】分析：fx的圖像可由三個函數(shù)y=x-2,y=x2,y=x+2的圖像得到（三圖壘起，取最下者），然后依據(jù)圖像逐個檢驗即可．
詳解：在同一坐標系中畫出y=x-2,y=x2,y=x+2的圖像（如圖所示），
故fx的圖像為圖中粗線所示．
fx的圖像關(guān)于y軸對稱，故fx為偶函數(shù)，故A正確．
當1≤x≤2時，-1≤x-2≤0，fx-2=f2-x≤2-x=fx；
當2
0，函數(shù)y=fx-a有四個不同的零點，從小到大依次為x1,x2,x3,x4則x1x2+x3+x4的取值范圍為（ ）
A. (4,4+e) B. [4,4+e) C. 4，+∞ D. -∞,4
【答案】A
【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析，將函數(shù)的大致圖像畫出來，可以判斷出函數(shù)有四個零點時對應(yīng)參數(shù)a的范圍，并且可以斷定有兩個正根，兩個負根，以及兩個負根和為定值，從而確定出其積的取值范圍，兩個正根可以解方程，之后用兩根和來斷定，最后根據(jù)題的條件，確定出其取值范圍.
所以x1x2+x3+x4∈(4,4+e)，故選A.
點睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)零點的問題，涉及到的知識點由函數(shù)圖像的對稱性，對勾函數(shù)圖像的走向，函數(shù)零點個數(shù)向向函數(shù)圖像交點個數(shù)靠攏，總之要想最對改題目，必須將基礎(chǔ)知識抓牢.
3．【2018屆福建省莆田市第二次檢測】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(x)=x-x2,0≤x<2,2-xex,x≥2,若函數(shù)F(x)=f(x)-m有六個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A. (-1e3,14) B. (-1e3,0)∪(0,14) C. (-1e3,0] D. (-1e3,0)
【答案】D
【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖像畫出來，注意分段函數(shù)要明確相應(yīng)的式子，當0≤x<2時，很容易畫出拋物線段，當x≥2時，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)解析式，確定出函數(shù)值的符號，從而畫出函數(shù)的圖像，利用偶函數(shù)的圖像的對稱性，得到函數(shù)fx的圖像與直線y=m在y軸右側(cè)有三個交點，觀察圖像可得結(jié)果.
詳解：畫出函數(shù)的圖像，當0≤x<2時，很容易畫出拋物線段，利用導數(shù)研究函數(shù)y=2-xex(x≥2)的圖像的走向，從而確定出其在[2,3)上單調(diào)減，在[3,+∞)上單調(diào)增，但是其一直落在x軸下方，因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)F(x)=f(x)-m有六個零點，等價于有三個正的零點，相當于函數(shù)fx的圖像與直線y=m在y軸右側(cè)有三個交點，觀察圖像可知m的取值范圍是(-1e3,0)，故選D.
點睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)零點的個數(shù)問題，在求解的過程中，將零點的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與直線的交點個數(shù)問題，結(jié)合偶函數(shù)的圖像的對稱性，得到在y軸右側(cè)有三個交點，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)圖像的走向，從而觀察圖像求得結(jié)果.
4．【2018屆天津市濱海新區(qū)七所重點學校聯(lián)考】已知函數(shù)fx=xx-a+2x，若存在a∈2?，??3，使得關(guān)于x的函數(shù)y=fx-tfa有三個不同的零點，則實數(shù)t的取值范圍是（ ）
A. 98?，??54 B. 1?，??2524 C. 1?，??98 D. 1?，??54
【答案】B
【解析】a∈2,3,fx=x2+2-ax,x≥a-x2+2+ax,x3函數(shù)gx=b-f3-x，其中b∈R，若函數(shù)y=fx-gx恰有4個零點，則實數(shù)b的取值范圍是（ ）
A. -114,+∞ B. -3,?-114 C. -∞,?-114 D. -3,0
【答案】B
【解析】y=fx+f3-x-b=0,fx+f3-x=b.構(gòu)造函數(shù)Fx=fx+f3-x=-x2-x-3,x<0-3,0≤x≤3-x2+7x-15,x>3,畫出函數(shù)Fx的圖象如下圖所示,其中A,B的坐標分別為-12,-114,72,-114.故當b∈-3,-114時,與y=b有4個交點,故選B.
7.【2018屆浙江省紹興市5月調(diào)測】設(shè)函數(shù)f(x)=1x-1-a-4x+a+1有兩個零點，則實數(shù)a的值是_________.
【答案】-12,72,4
【解析】分析：將原問題進行換元，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有兩個交點的問題，然后結(jié)合函數(shù)圖像的特征整理計算即可求得最終結(jié)果.
詳解：不防令t=1x-1，則x=1+1t.
原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y1=t-a+a與函數(shù)y2=41+1t-1=4t+3的圖像有2個交點，
函數(shù)y2=4t+3的圖像是確定的，如下所示(三個函數(shù)圖像對應(yīng)滿足題意的三種情況)，
而函數(shù)y1=t-a+a是一動態(tài)V函數(shù)，頂點軌跡y=x，
當動態(tài)V函數(shù)的一支與反比例函數(shù)相切時，即為所求.
聯(lián)立y1=a-t+a=-t+2ay=4t+3可得t2+3-2at+4=0，
則滿足題意時：Δ=3-2a2-16=0，解得：a1=-12,a2=72，
注意到當V函數(shù)的頂點為4,4時滿足題意，此時a=4.
綜上可得：實數(shù)a的值是-12,72,4.
8．【2018屆浙江省溫州市一?！恳阎瘮?shù)f(x)=|x+1x|+|m-x+1m-x|-a有六個不同零點，且所有零點之和為3，則a的取值范圍為__________．
【答案】a>5
【解析】根據(jù)題意，有fx=fm-x，于是函數(shù)fx關(guān)于x=12m對稱，結(jié)合所有的零點的平均數(shù)為12，可得m=1，此時問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)gx=x+1x+1-x+11-x，在12,+∞上與直線y=a有3個公共點，此時gx=1x+11-x+1,121，當120，于是函數(shù)gx單調(diào)遞增，且取值范圍是5,+∞，當x>1時，函數(shù)gx的導函數(shù)gx=2-1x2-11-x2，考慮到gx是1,+∞上的單調(diào)遞增函數(shù)，且limx→1+gx=-∞,limx→+∞gx=2，于是gx在1,+∞上有唯一零點，記為x0，進而函數(shù)gx在1,x0上單調(diào)遞減，在x0,+∞上單調(diào)遞增，在x=x0處取得極小值n，如圖：
接下來問題的關(guān)鍵是判斷n與5的大小關(guān)系，注意到，n≤f32=32+23+12+2=143<5，函數(shù)gx=x+1x+1-x+11-x，在12,+∞上與直線y=a有3個公共點，a的取值范圍是5,+∞,故答案為a>5 .
9．【2017屆浙江省臺州市高三上學期期末】已知函數(shù)f(x)=|x+1x-ax-b|(a,b∈R),當x∈[12,2]時，設(shè)f(x)的最大值為M(a,b)，則M(a,b)的最小值為__________．
【答案】14
【解析】設(shè)M=fmax(x)，則M=max{f(12),f(1),f(2)}，由于M≥f(12)=|52-12a-b|=12|a+2b-5|,M≥f(1)=|2-a-b|,M≥f(2)=12|4a+2b-5|，則M≥|2-a-b|,23M≥23f(12)=13|a+2b-5|,13M≥13f(2)=16|4a+2b-5|，所以將以上三式兩邊相加可得2M≥|2-a-b|+13|a+2b-5|+16|4a+2b-5|≤|2-53-56|，即2M≥12?M≥14，應(yīng)填答案14.
10.【2018屆江蘇省揚州樹人學校模擬四】已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-1|,x>0,x2-ax+2,x≤0的最小值為a，則實數(shù)a的取值集合為__________．
【答案】-23-2,2.
∵函數(shù)f(x) 最小值為a≥0，
∴a=2．
②當0<-a?1，即-1≤a<0時，則f(x)=-2x-a+1,01，即a<-1時，則f(x)=-2x-a+1,00．
∵函數(shù)f(x) 最小值為a<0，
∴2-a24=a，解得a=-2-23或a=-2+23>0（舍去）．
綜上可得a=-2-23或a=2，
∴實數(shù)a的取值集合為-23-2,2．
11．【2018屆湖南省岳陽市第一中學一模】已知fx=-x-a2,x≥0,-x2-2x-3+a,x<0,若?x∈R，fx≤f0恒成立，則a的取值范圍為__________．
【答案】-2,0
【解析】分析：由題意若?x∈R,fx≤f0，即函數(shù)fxmax=-a2，根據(jù)分段函數(shù)及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解實數(shù)a的取值范圍.
12．【浙江省溫州市十五校聯(lián)合體2017-2018學年高二下期中聯(lián)考】已知函數(shù)fx=x2-ax-1-1???????a∈R
（1）若fx≥0在x∈R上恒成立，求a的取值范圍；
（2）求fx在[-2,2]上的最大值M(a).
【答案】(1)a≤-2；(2)Ma=0a≥33-a0≤a<33-3aa<0.
【解析】分析：（1）先根據(jù)絕對值定義去掉絕對值，并分離變量得當x>1時，a≤x+1；當x<1時，a≤-x+1，當x=1時，a∈R；再根據(jù)函數(shù)最值得a的取值范圍；（2）先根據(jù)圖像得函數(shù)最大值只能在f(1)，f(2)，f(-2)三處取得，再根據(jù)三者大小關(guān)系以及對應(yīng)對稱軸確定最大值取法，最后用分段函數(shù)書寫.
詳解：（1）即x2-1≥ax-1（*）對x∈R恒成立，
①當x=1時，（*）顯然成立，此時a∈R；當x≠1時，（*）可變形為a≤x2-1x-1，
令?x=x2-1x-1=x+1,x>1,-x+1,x<1.
②當x>1時，?x>2，a≤2③當x<1時，?x>-2，所以?x>-2，故此時a≤-2.
綜合①②③，得所求實數(shù)a的取值范圍是a≤-2.
（2）fx=x2-ax+a-11≤x≤2x2+ax-a-1-2≤x<1得：f(1)=0，f(2)=3-a，f(-2)=3-3a
①當a≥3時，∵a2≥32，-a2≤-32，∴f-20，∴f1
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