（浙江專版）2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.1 指數(shù)函數(shù)學(xué)案 新人教A版必修1.doc

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2.1　 2．1.1　指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算 預(yù)習(xí)課本P48～53，思考并完成以下問題 (1)n次方根是怎樣定義的？ (2)根式的定義是什么？它有哪些性質(zhì)？ (3)有理數(shù)指數(shù)冪的含義是什么？怎樣理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪？ (4)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化遵循哪些規(guī)律？ (5)如何利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡？ 1．n次方根 定義 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N* 個數(shù) n是奇數(shù) a＞0 x＞0 x僅有一個值，記為 a＜0 x＜0 n是偶數(shù) a＞0 x有兩個值，且互為相反數(shù)，記為 a＜0 x不存在 [點(diǎn)睛]　根式的概念中要求n＞1，且n∈N*. 2．根式 (1)定義：式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)． (2)性質(zhì)：(n＞1，且n∈N*) ①()n＝a.　②＝ [點(diǎn)睛]　 ()n中當(dāng)n為奇數(shù)時，a∈R；n為偶數(shù)時，a≥0，而中a∈R. 3．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義 分?jǐn)?shù)指冪 正分?jǐn)?shù) 指數(shù)冪 規(guī)定：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 負(fù)分?jǐn)?shù) 指數(shù)冪 規(guī)定：a＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 0的分?jǐn)?shù) 指數(shù)冪 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義 [點(diǎn)睛]　分?jǐn)?shù)指數(shù)冪a不可以理解為個a相乘． 4．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 5．無理數(shù)指數(shù)冪 一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a＞0，α是無理數(shù))是一個確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪． 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)任意實(shí)數(shù)的奇次方根只有一個．(　　) (2)正數(shù)的偶次方根有兩個且互為相反數(shù)．(　　) (3) ＝4－π.(　　) (4)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪a可以理解為個a相乘．(　　) (5)0的任何指數(shù)冪都等于0.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)　(5) 2.可化為(　　) A．a(chǎn)　　　 B．a(chǎn)　　　C．a(chǎn)　　　 D．.－a 答案：A 3．化簡25的結(jié)果是(　　) A．5 B．15 C．25 D．.125 答案：D 4．計算：π0＋2－2＝________. 答案： 根式的化簡與求值 [例1]　化簡： (1)(x＜π，n∈N*)； (2). [解]　(1)∵x＜π，∴x－π＜0. 當(dāng)n為偶數(shù)時， ＝|x－π|＝π－x； 當(dāng)n為奇數(shù)時， ＝x－π. 綜上可知，＝ (2)∵a≤，∴1－2a≥0， ∴＝＝＝. 根式化簡應(yīng)遵循的3個原則 (1)被開方數(shù)中不能含有能開得盡方的因數(shù)或因式． (2)被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要化成假分?jǐn)?shù)． (3)被開方數(shù)中不能含有分母；使用＝(a≥0，b≥0)化簡時，被開方數(shù)如果不是乘積形式必須先化成乘積的形式．　　　　 [活學(xué)活用] 1．若xy≠0，則使＝－2xy成立的條件可能是(　　) A．x＞0，y＞0　　　　　　　 B．x＞0，y＜0 C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0 解析：選B　∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0. 又∵xy≠0，∴xy＜0，故選B. 2．若＝，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 解析： ＝|2a－1|， ＝1－2a. 因?yàn)閨2a－1|＝1－2a， 故2a－1≤0，所以a≤. 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化 答案： [例2]　用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式(式中字母都是正數(shù))： (1)；(2)a3；(3) . [解]　(1)＝＝a. (2)a3＝a3a＝a3＋＝a. (3) ＝＝b＝b(－a－2) ＝－ba 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律 (1)根指數(shù) 化為 分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù) 化為 分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子． (2)在具體計算時，通常會把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題．　　　　 [活學(xué)活用] 3．下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是(　　) A．－＝(－x) (x＞0) B.＝y(tǒng)(y＜0) C．x－＝ (x＞0) D．x－＝－(x≠0) 解析：選C?。剑瓁 (x＞0)； ＝[(y)2]＝－y (y＜0)； x－＝(x－3)＝ (x＞0)； x＝＝(x≠0)． 4．將下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行互化： ①a；② (a＞0)；③(a＞0)． 解：①a＝. ② ＝aa＝a. 指數(shù)冪的運(yùn)算 ③原式＝a3aa＝a＝a. [例3]　計算下列各式： (1)0＋2－2－－0.010.5； (2)0.064－0＋[(－2)3] ＋16－0.75； (3) (a>0，b>0)． [解]　(1)原式＝1＋－＝1＋－＝. (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝. (3)原式＝aabb＝a0b0＝. 利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值的方法 (1)進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，同時兼顧運(yùn)算的順序． (2)在明確根指數(shù)的奇偶(或具體次數(shù))時，若能明確被開方數(shù)的符號，則可以對根式進(jìn)行化簡運(yùn)算． (3)對于含有字母的化簡求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示．　　　　 [活學(xué)活用] 5．計算： (1)0.027－＋256＋(2)－3－1＋π0； (2)(a－2b－3)(－4a－1b)(12a－4b－2c)； (3)243. 解：(1)原式＝(0.33) －＋(44) ＋(2)－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝64. (2)原式＝－4a－2－1b－3＋1(12a－4b－2c) ＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1 ＝－ac－1＝－. (3)原式＝2a(4ab)(3b) ＝ab3b＝ab. 條件求值問題 [例4]　已知a＋a＝，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2. [解]　(1)將a＋a＝兩邊平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3. (2)將a＋a－1＝3兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝9，∴a2＋a－2＝7. [一題多變] 1．[變結(jié)論]在本例條件下，則a2－a－2＝________. 解析：令y＝a2－a－2，兩邊平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝3，即a2－a－2＝3. 答案：3 2．[變條件]若本例變?yōu)椋阂阎猘，b分別為x2－12x＋9＝0的兩根，且a＜b，求 值． 解：＝＝. ① ∵a＋b＝12，ab＝9， ② ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－49＝108. ∵a＜b，∴a－b＝－6. ③ 將②③代入①，得＝＝－. 條件求值的步驟 層級一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1．下列各式既符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，值又相等的是(　　) A．(－1)和(－1)　　　　 B．0－2和0 C．2和4 D． 4和－3 解析：選C　選項(xiàng)A中，(－1) 和(－1) 均符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，但(－1) ＝－1，(－1)＝＝1，故A不滿足題意；選項(xiàng)B中，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義，故B不滿足題意；選項(xiàng)D中，4和－3雖符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，但值不相等，故D不滿足題意；選項(xiàng)C中，2＝，4＝＝2＝，滿足題意．故選C. 2．已知：n∈N，n＞1，那么等于(　　) A．5 B．－5 C．－5或5 D．不能確定 解析：選A?。剑?. 3．計算－的結(jié)果為(　　) A.　　 　 B.　　 　C．－　　 　 D．－ 解析：選A　－＝－＝－1＝. 4．化簡[]的結(jié)果為(　　) A．5 B. C．－ D．.－5 解析：選B　[]＝[(－5) ] ＝5＝. 5．計算(2a－3b－)(－3a－1b)(4a－4b－)得(　　) A．－b2 B.b2 C．－b D.b 解析：選A　原式＝＝－b2. 6．若x≠0，則|x|－＋＝________. 解析：∵x≠0，∴原式＝|x|－|x|＋＝1. 答案：1 7．若＋＝0，則(x2 017)y＝________. 解析：因?yàn)?＋ ＝0， 所以 ＋ ＝|x＋1|＋|y＋3|＝0， 所以x＝－1，y＝－3. ∴(x2 017)y＝[(－1)2 017]－3＝(－1)－3＝－1. 答案：－1 8. － ＋ 的值為________． 解析：原式＝ － ＋ ＝－＋＝. 答案： 9．計算下列各式(式中字母都是正數(shù))： (1)) ； (2)(mn－)8. 解：(1)原式＝[2(－6)(－3)]a＋－b＋－ ＝4ab0＝4a. (2)原式＝(m)8(n)8＝m2n－3＝. 10．已知＋＝－a－b，求＋的值． 解：因?yàn)椋剑璦－B. 所以＝－a，＝－b， 所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0， 所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0. 層級二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．計算(n∈N*)的結(jié)果為(　　) A.　　　　　　　　　　 B．22n＋5 C．2n2－2n＋6 D.2n－7 解析：選D　原式＝＝＝27－2n＝2n－7. 2. 0－(1－0.5－2)的值為(　　) A．－ B.　 　　C.　 　　D. 解析：選D　原式＝1－(1－22)2＝1－(－3)＝.故選D. 3．設(shè)a＞0，將表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，其結(jié)果是(　　) A．a(chǎn) B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．.a 解析：選C?。剑剑剑絘2a－＝a2－＝a. 4．設(shè)x，y是正數(shù)，且xy＝y(tǒng)x，y＝9x，則x的值為(　　) A. B. C．1 D. 解析：選B　∵x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x. ∴x8＝9.∴x＝＝. 5．如果a＝3，b＝384，那么an－3＝________. 解析：an－3＝3n－3＝3[(128)]n－3＝32n－3. 答案：32n－3 6．設(shè)α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的兩個根，則2α2β＝________，(2α)β＝________. 解析：由根與系數(shù)的關(guān)系得α＋β＝－2，αβ＝. 則2α2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2. 答案：　2 7．化簡求值： (1) 0.5＋0.1－2＋－－3π0＋； (2)8－(0.5)－3＋－6； (3)－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0. 解：(1)原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100. (2)8－(0.5)－3＋－6＝(23)－(2－1)－3＋(3－)－6＝22－23＋33－3＝4－8＋27＝4. (3)原式＝(－1)－－＋－－＋1 ＝－＋(500) －10(＋2)＋1 ＝＋10－10－20＋1＝－. 8．已知a＝3，求＋＋＋的值． 解：＋＋＋ ＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋ ＝＋＝＝－1. 2．1.2　指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 第一課時　指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 預(yù)習(xí)課本P54～58，思考并完成以下問題 (1)指數(shù)函數(shù)的概念是什么？ 　 (2)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象，可歸納出指數(shù)函數(shù)具有哪些性質(zhì)？ (3)指數(shù)函數(shù)的圖象過哪個定點(diǎn)？如何求指數(shù)型函數(shù)的定義域和值域問題？ 　 1．指數(shù)函數(shù)的定義 函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽. [點(diǎn)睛]　指數(shù)函數(shù)解析式的3個特征 (1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)． (2)自變量x的位置在指數(shù)上，且x的系數(shù)是1. (3)ax的系數(shù)是1. 2．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) a＞1 0＜a＜1 圖　象 a＞1 0＜a＜1 性　　質(zhì) 定義域 R 值域 (0，＋∞) 過定點(diǎn) 過點(diǎn)(0,1)即x＝0時，y＝1 單調(diào)性 是R上的增函數(shù) 是R上的減函數(shù) [點(diǎn)睛]　底數(shù)a與1的大小關(guān)系決定了指數(shù)函數(shù)圖象的“升”與“降”．當(dāng)a＞1時，指數(shù)函數(shù)的圖象是“上升”的；當(dāng)0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)的圖象是“下降”的． 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)y＝x2是指數(shù)函數(shù)． (　　) (2)指數(shù)函數(shù)y＝ax中，a可以為負(fù)數(shù)． (　　) (3)指數(shù)函數(shù)的圖象一定在x軸的上方． (　　) 答案：(1)　(2)　(3)√ 2．函數(shù)y＝(－1)x在R上是(　　) A．增函數(shù)　　　　　　　　 B．奇函數(shù) C．偶函數(shù) D．.減函數(shù) 答案：D 3．函數(shù)y＝2－x的圖象是(　　) 答案：B 4．函數(shù)f(x)＝2x＋3的值域?yàn)開_______．答案：(3∞) 指數(shù)函數(shù)的概念 [例1]　(1)下列函數(shù)： ①y＝23x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3. 其中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是(　　) A．0　　　　 B．1　　　 　 C．2　　　　 D．3 (2)函數(shù)y＝(a－2)2ax是指數(shù)函數(shù)，則(　　) A．a(chǎn)＝1或a＝3　　　　　　　　 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)＝3 D． a>0且a≠1 [解析]　(1)①中，3x的系數(shù)是2，故①不是指數(shù)函數(shù)； ②中，y＝3x＋1的指數(shù)是x＋1，不是自變量x，故②不是指數(shù)函數(shù)； ③中，y＝3x,3x的系數(shù)是1，冪的指數(shù)是自變量x，且只有3x一項(xiàng)，故③是指數(shù)函數(shù)； ④中，y＝x3中底數(shù)為自變量，指數(shù)為常數(shù)，故④不是指數(shù)函數(shù)．所以只有③是指數(shù)函數(shù)． (2)由指數(shù)函數(shù)定義知所以解得a＝3. [答案]　(1)B　(2)C 判斷一個函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法 (1)需判斷其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)這一結(jié)構(gòu)特征． (2)看是否具備指數(shù)函數(shù)解析式具有的三個特征．只要有一個特征不具備，則該函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)．　　　　 [活學(xué)活用] 1．若函數(shù)y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，則a＝________. 解析：由y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)， 可得解得∴a＝2. 指數(shù)型函數(shù)的定義域和值域 答案：2 [例2]　求下列函數(shù)的定義域和值域： (1)y＝2；(2)y＝－|x|；(3)y＝ . [解]　(1)x應(yīng)滿足x－4≠0，∴x≠4，∴定義域?yàn)閧x|x≠4，x∈R}．∵≠0，∴2≠1，∴y＝2的值域?yàn)閧y|y＞0，且y≠1}． (2)定義域?yàn)镽. ∵|x|≥0，∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1，∴此函數(shù)的值域?yàn)閇1，＋∞)． (3)由題意知1－x≥0，∴x≤1＝0，∴x≥0，∴定義域?yàn)閧x|x≥0，x∈R}．∵x≥0∴x≤1. 又∵x＞0，∴0＜x≤1.∴0≤1－x＜1，∴0≤y＜1，∴此函數(shù)的值域?yàn)閇0,1)． 指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域的求法 (1)求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時，首先觀察函數(shù)是y＝ax型還是y＝af(x)型，前者的定義域是R，后者的定義域與f(x)的定義域一致，而求y＝型函數(shù)的定義域時，往往轉(zhuǎn)化為解指數(shù)不等式(組)． (2)求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時，在運(yùn)用前面介紹的求函數(shù)值域的方法的前提下，要注意指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0，＋∞)，切記準(zhǔn)確運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．　　　　 [活學(xué)活用] 2．求下列函數(shù)的定義域、值域： (1)y＝3；(2)y＝. 解：(1)由5x－1≥0，得x≥， 所以所求函數(shù)的定義域?yàn)?由≥0，得y≥1， 所以所求函數(shù)的值域?yàn)閇1，＋∞)． (2)定義域?yàn)镽. ∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴x2－2x－3≤－4＝16.又∵＞0， ∴函數(shù)y＝的值域?yàn)?0,16]. 指數(shù)型函數(shù)圖象 題點(diǎn)一：指數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題 1．函數(shù)y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)________． 解析：因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(0,1)，所以在函數(shù)y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此時y＝1＋3＝4，即函數(shù)y＝ax－3＋3的圖象過定點(diǎn)(3,4)． 答案：(3,4) 題點(diǎn)二：指數(shù)型函數(shù)圖象中數(shù)據(jù)判斷 2．函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)＞1，b＜0 B．a(chǎn)＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D． 0＜a＜1，b＜0 解析：選D　從曲線的變化趨勢，可以得到函數(shù)f(x)為減函數(shù)，從而有0＜a＜1；從曲線位置看，是由函數(shù)y＝ax(0＜a＜1)的圖象向左平移|－b|個單位長度得到，所以－b＞0，即b＜0. 題點(diǎn)三：作指數(shù)型函數(shù)的圖象 3．畫出下列函數(shù)的圖象，并說明它們是由函數(shù)f(x)＝2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的． (1)y＝2x＋1；(2)y＝－2x. 解：如圖． (1)y＝2x＋1的圖象是由y＝2x的圖象向上平移1個單位長度得到的； (2)y＝－2x的圖象與y＝2x的圖象關(guān)于x軸對稱． 指數(shù)函數(shù)圖象問題的處理技巧 (1)抓住圖象上的特殊點(diǎn)，如指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)． (2)利用圖象變換，如函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移)． (3)利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性．奇偶性確定函數(shù)的對稱情況，單調(diào)性決定函數(shù)圖象的走勢．　　　　 層級一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1．下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為(　　) ①y＝x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x； ④y＝ 2x－1. A．0個　　　　　　　　　　 B．1個 C．3個 D．4個 解析：選B　由指數(shù)函數(shù)的定義可判定，只有②正確． 2．函數(shù)y＝的定義域是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，0] C．[0，＋∞) D. (0，＋∞) 解析：選C　由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0. 3．當(dāng)a＞0，且a≠1時，函數(shù)f(x)＝ax＋1－1的圖象一定過點(diǎn)(　　) A．(0,1) B．(0，－1) C．(－1,0) D. (1,0) 解析：選C　當(dāng)x＝－1時，顯然f(x)＝0，因此圖象必過點(diǎn)(－1,0)． 4．函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝－x＋a的圖象大致是(　　) 解析：選A　當(dāng)a＞1時，函數(shù)f(x)＝ax單調(diào)遞增，當(dāng)x＝0時，g(0)＝a＞1，此時兩函數(shù)的圖象大致為選項(xiàng)A. 5．指數(shù)函數(shù)y＝ax與y＝bx的圖象如圖，則(　　) A．a(chǎn)＜0，b＜0 B．a(chǎn)＜0，b＞0 C．0＜a＜1，b＞1 D.0＜a＜1,0＜b＜1 解析：選C　由圖象知，函數(shù)y＝ax在R上單調(diào)遞減，故0＜a＜1；函數(shù)y＝bx在R上單調(diào)遞增，故b＞1. 6．若函數(shù)f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指數(shù)函數(shù)，則a＝______. 解析：由指數(shù)函數(shù)的定義得解得a＝1. 答案：1 7．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)，經(jīng)過點(diǎn)(－1,5)，(0,4)，則f(－2)的值為______． 解析：由已知得解得 所以f(x)＝x＋3，所以f(－2)＝－2＋3＝4＋3＝7. 答案：7 8．若函數(shù)f(x)＝則函數(shù)f(x)的值域是________． 解析：由x＜0，得0＜2x＜1；由x＞0，∴－x＜0,0＜2－x＜1，∴－1＜－2－x＜0.∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1,0)∪(0,1)． 答案：(－1,0)∪(0,1) 9．求下列函數(shù)的定義域和值域： (1)y＝2－1.(2)y＝2x2－2. 解：(1)要使y＝2－1有意義，需x≠0，則2＞0且2≠1，故2－1＞－1且2－1≠0，故函數(shù)y＝2－1的定義域?yàn)閧x|x≠0}，函數(shù)的值域?yàn)?－1,0)∪(0，＋∞)． (2)函數(shù)y＝的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，由于2x2≥0，則2x2－2≥－2，故0＜2x2－2≤9，所以函數(shù)y＝的值域?yàn)?0,9]． 10．已知函數(shù)f(x)＝ax－1(x≥0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，其中a＞0且a≠1. (1)求a的值． (2)求函數(shù)y＝f(x)(x≥0)的值域． 解：(1)函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以a2－1＝，則a＝. (2)由(1)知函數(shù)為f(x)＝x－1(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0＜x－1≤－1＝2，所以函數(shù)的值域?yàn)?0,2]． 層級二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．函數(shù)y＝的值域是(　　) A．[0，＋∞)　　　　　　　　 B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4) 解析：選C　要使函數(shù)式有意義，則16－4x≥0.又因?yàn)?x＞0，∴0≤16－4x＜16，即函數(shù)y＝ 的值域?yàn)閇0,4)． 2．函數(shù)y＝2－1的定義域、值域分別是(　　) A．R，(0，＋∞) B．{x|x≠0}，{y|y＞－1} C．{x|x≠0}，{y|y＞－1，且y≠1} D．{x|x≠0}，{y|y＞－1，且y≠0} 解析：選C　要使y＝2－1有意義，只需有意義，即x≠0.若令u＝＝1－，則可知u≠1，∴y≠21－1＝1.又∵y＝2－1＞0－1＝－1，∴函數(shù)y＝2－1的定義域?yàn)閧x|x≠0}，值域?yàn)閧y|y＞－1，且y≠1}． 3．函數(shù)f(x)＝πx與g(x)＝x的圖象關(guān)于(　　) A．原點(diǎn)對稱 B．x軸對稱 C．y軸對稱 D．.直線y＝－x對稱 解析：選C　設(shè)點(diǎn)(x，y)為函數(shù)f(x)＝πx的圖象上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)(－x，y)為g(x)＝π－x＝x的圖象上的點(diǎn)．因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(－x，y)關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)f(x)＝πx與g(x)＝x的圖象關(guān)于y軸對稱，選C. 4．已知1＞n＞m＞0，則指數(shù)函數(shù)①y＝mx，②y＝nx的圖象為(　　) 解析：選C　由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx與y＝nx都是減函數(shù)，故排除A、B，作直線x＝1與兩個曲線相交，交點(diǎn)在下面的是函數(shù)y＝mx的圖象，故選C. 5．已知函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)，且f＝，則f(x)＝________. 解析：設(shè)f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)， 由f ＝得，a＝5－2＝5，∴a＝5，∴f(x)＝5x. 答案：5x 6．方程|2x－1|＝a有唯一實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是________． 解析：作出y＝|2x－1|的圖象，如圖，要使直線y＝a與圖象的交點(diǎn)只有一個，∴a≥1或a＝0. 答案：[1，＋∞)∪{0} 7．已知函數(shù)f(x)＝|x|－1. (1)作出f(x)的簡圖； (2)若關(guān)于x的方程f(x)＝3m有兩個解，求m的取值范圍． 解：(1)f(x)＝如圖所示． (2)作出直線y＝3m，當(dāng)－1＜3m＜0時，即－＜m＜0時，函數(shù)y＝f(x)與y＝3m有兩個交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f(x)＝3m有兩個解． 8．已知－1≤x≤2，求函數(shù)f(x)＝3＋23x＋1－9x的最大值和最小值． 解：設(shè)t＝3x，∵－1≤x≤2，∴≤t≤9，則f(x)＝g(t)＝－(t－3)2＋12，故當(dāng)t＝3，即x＝1時，f(x)取得最大值12；當(dāng)t＝9，即x＝2時，f(x)取得最小值－24. 第二課時　指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用(習(xí)題課) 利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小 [例1]　比較下列各組數(shù)的大?。? (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.50.3和0.81.2. [解]　(1)∵函數(shù)y＝1.5x在R上是增函數(shù)，2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2. (2)∵函數(shù)y＝0.6x在R上是減函數(shù)，－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5. (3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知1.50.3＞1.50＝1，而0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.2. 比較指數(shù)式大小的三種類型及處理方法 [活學(xué)活用] 1．比較下列各題中兩個值的大小． (1)0.8－0.1,1.250.2； (2)1.70.3,0.93.1. 解：(1)∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是減函數(shù)．∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，即0.8－0.1＜1.250.2. 解簡單的指數(shù)不等式 (2)∵1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1. [例2]　求解下列不等式： (1)已知3x≥－0.5，求實(shí)數(shù)x的取值范圍． (2)若a－5x＞ax＋7(a＞0且a≠1)，求x的取值范圍． [解]　(1)因?yàn)椋?.5＝30.5，所以由3x≥－0.5可得：3x≥30.5，因?yàn)閥＝3x為增函數(shù)，故x≥0.5. (2)①當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y＝ax是減函數(shù)，則由a－5x＞ax＋7可得－5x＜x＋7，解得x＞－. ②當(dāng)a＞1時，函數(shù)y＝ax是增函數(shù)，則由a－5x＞ax＋7可得－5x＞x＋7，解得x＜－.綜上， 當(dāng)0＜a＜1時，x＞－；當(dāng)a＞1時，x＜－. 指數(shù)型不等式的解法 (1)指數(shù)型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法： 當(dāng)a＞1時，f(x)＞g(x)； 當(dāng)0＜a＜1時，f(x)＜g(x)． (2)如果不等式的形式不是同底指數(shù)式的形式，要首先進(jìn)行變形將不等式兩邊的底數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一，此時常用到以下結(jié)論：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝x(a＞0，且a≠1)等．　　　　 [活學(xué)活用] 2．解不等式：≤2. 解：∵＝(2－1)＝2，∴原不等式等價于2≤21.∵y＝2x是R上的增函數(shù)，∴2－x2≤1，∴x2≥1，即x≥1或x≤－1.∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}. 指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性 　 　[例3]　判斷f(x)＝x2－2x的單調(diào)性，并求其值域． [解]　令u＝x2－2x，則原函數(shù)變?yōu)閥＝u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上遞減，在[1，＋∞)上遞增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上遞減， ∴y＝在(－∞，1]上遞增，在[1，＋∞)上遞減． ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝u，u∈[－1，＋∞)， ∴0＜u≤－1＝3， ∴原函數(shù)的值域?yàn)?0,3]． [一題多變] 1．[變條件]本例中“x∈R”變?yōu)椤皒∈[－1,2]”．判斷f(x)的單調(diào)性，并求其值域． 解：由本例解析知，又x∈[－1,2]， ∴f(x)＝x2－2x(x∈[－1,2])在[－1,1]上是增函數(shù)，在(1,2]上是減函數(shù)． ∵u＝x2－2x(x∈[－1,2])的最小值、最大值分別為umin＝－1，umax＝3，∴f(x)的最大值、最小值分別為f(1)＝－1＝3，f(－1)＝3＝.∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)? 2．[變設(shè)問]在本例條件下，解不等式f(x)＜f(1)． 解：∵f(x)＜f(1)，即x2－2x＜－1，∴x2－2x＞－1，∴(x－1)2＞0，∴x≠1， ∴不等式的解集為{x|x≠1}． 函數(shù)y＝af(x)(a＞0，a≠1)的單調(diào)性的處理技巧 (1)關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的單調(diào)性由兩點(diǎn)決定，一是底數(shù)a＞1還是0＜a＜1；二是f(x)的單調(diào)性，它由兩個函數(shù)y＝au，u＝f(x)復(fù)合而成． (2)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過考查f(u)和φ(x)的單調(diào)性，求出y＝f(φ(x))的單調(diào)性．　　　　 指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 [例4]　某林區(qū)2016年木材蓄積量為200萬立方米，由于采取了封山育林、嚴(yán)禁采伐等措施，使木材蓄積量的年平均增長率能達(dá)到5%.若經(jīng)過x年后，該林區(qū)的木材蓄積量為y萬立方米，求y＝f(x)的表達(dá)式，并寫出此函數(shù)的定義域． [解]　現(xiàn)有木材的蓄積量為200萬立方米，經(jīng)過1年后木材的蓄積量為200＋2005%＝200(1＋5%)； 經(jīng)過2年后木材的蓄積量為200(1＋5%)＋200(1＋5%)5%＝200(1＋5%)2萬立方米； … 經(jīng)過x年后木材的蓄積量為200(1＋5%)x萬立方米． 故y＝f(x)＝200(1＋5%)x，x∈N*. 解決指數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的流程 (1)審題：理解題意，弄清楚關(guān)鍵字詞和字母的意義，從題意中提取信息． (2)建模：據(jù)已知條件，列出指數(shù)函數(shù)的關(guān)系式． (3)解模：運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題． (4)回歸：還原為實(shí)際問題，歸納得出結(jié)論．　　　　 [活學(xué)活用] 3．春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長出荷葉覆蓋水面面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，當(dāng)荷葉剛好覆蓋水面面積一半時，荷葉已生長了________天． 解析：假設(shè)第一天荷葉覆蓋水面面積為1，則荷葉覆蓋水面面積y與生長時間的函數(shù)關(guān)系為y＝2x－1，當(dāng)x＝20時，長滿水面，所以生長19天時，荷葉布滿水面一半． 答案：19 層級一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1．下列判斷正確的是(　　) A．2.52.5＞2.53　　　　　　　　 B．0.82＜0.83 C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5 解析：選D　∵y＝0.9x是減函數(shù)，且0.5＞0.3， ∴0.90.3＞0.90.5. 2．若函數(shù)f(x)＝(1－2a)x在實(shí)數(shù)集R上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：選B　由已知，得0＜1－2a＜1，解得0＜a＜，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 3．若2a＋1＜3－2a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B. C．(－∞，1) D. 解析：選B　∵函數(shù)y＝x在R上為減函數(shù)， ∴2a＋1＞3－2a，∴a＞. 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，則(　　) A．f(－2)＞f(－1) B．f(－1)＞f(－2) C．f(1)＞f(2) D. f(－2)＞f(2) 解析：選A　f(2)＝a－2＝4，a＝，f(x)＝－|x|＝2|x|，則f(－2)＞f(－1)． 5．函數(shù)y＝1－x的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D. (0,1) 解析：選A　定義域?yàn)镽. 設(shè)u＝1－x，y＝u， ∵u＝1－x在R上為減函數(shù)， y＝u在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)， ∴y＝1－x在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，故選A. 6．若－1＜x＜0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，則a，b，c的大小關(guān)系是________． 解析：因?yàn)椋?＜x＜0，所以由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：2x＜1,2－x＞1,0.2x＞1，又因?yàn)?.5x＜0.2x，所以b＜a＜c. 答案：b＜a＜c 7．滿足方程4x＋2x－2＝0的x值為________． 解析：設(shè)t＝2x(t＞0)，則原方程化為t2＋t－2＝0， ∴t＝1或t＝－2. ∵t＞0，∴t＝－2舍去． ∴t＝1，即2x＝1，∴x＝0. 答案：0 8．函數(shù)y＝3x的值域?yàn)開_______． 解析：設(shè)u＝x2－2x，則y＝3u， u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， 所以y＝3u≥3－1＝， 所以函數(shù)y＝3的值域是. 答案： 9．已知指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)P(3,8)，且函數(shù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，又g(2x－1)＜g(3x)，求x的取值范圍． 解：設(shè)f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，因?yàn)閒(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，又因?yàn)間(x)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以g(x)＝x，因此g(2x－1)＜g(3x)，即2x－1＜3x，所以2x－1＞3x，解得x＜－1. 10．如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a＞0且a≠1)在[－1,1]上的最大值為14，求a的值． 解：函數(shù)y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，x∈[－1,1]．若a＞1，則x＝1時，函數(shù)取最大值a2＋2a－1＝14，解得a＝3.若0＜a＜1，則x＝－1時，函數(shù)取最大值a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝.綜上所述，a＝3或. 層級二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．已知f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)＞0　　　　　　　　 B．a(chǎn)＞1 C．a(chǎn)＜1 D．0＜a＜1 解析：選D　∵－2＞－3，f(－2)＞f(－3)， 又f(x)＝a－x＝x， ∴－2＞－3， ∴＞1，∴0＜a＜1. 2．已知函數(shù)f(x)＝a2－x(a＞0且a≠1)，當(dāng)x＞2時，f(x)＞1，則f(x)在R上(　　) A．是增函數(shù) B．是減函數(shù) C．當(dāng)x＞2時是增函數(shù)，當(dāng)x＜2時是減函數(shù) D．.當(dāng)x＞2時是減函數(shù)，當(dāng)x＜2時是增函數(shù) 解析：選A　令2－x＝t，則t＝2－x是減函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)x＞2時，f(x)＞1，所以當(dāng)t＜0時，at＞1.所以0＜a＜1，所以f(x)在R上是增函數(shù)，故選A. 3．函數(shù)y＝ax在[0,1]上的最大值與最小值的和為3，則函數(shù)y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　) A．6　　　 B．1　　　　 C．3　 　　　D. 解析：選C　函數(shù)y＝ax在[0,1]上是單調(diào)的，最大值與最小值都在端點(diǎn)處取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函數(shù)y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x＝1時，ymax＝3. 4．函數(shù)f(x)＝(a＞0，且a≠1)是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是(　　) A．(0,1) B. C. D. 解析：選B　由單調(diào)性定義，f(x)為減函數(shù)應(yīng)滿足： 即≤a＜1，故選 B. 5．函數(shù)f(x)＝的單調(diào)遞增區(qū)間為________． 解析：由于底數(shù)∈(0,1)，所以函數(shù)f(x)＝的單調(diào)性與y＝1－x2的單調(diào)性相反，f(x)＝的單調(diào)遞增區(qū)間就是y＝1－x2的單調(diào)遞減區(qū)間．由y＝1－x2的圖象(圖略)可知：當(dāng)x≤0時，y＝1－x2是增函數(shù)；當(dāng)x≥0時，y＝1－x2是減函數(shù)．所以函數(shù)f(x)＝的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 6．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，則x的取值范圍是________． 解析：∵a2＋a＋2＝2＋>1， ∴y＝(a2＋a＋2)x為R上的增函數(shù)． ∴x>1－x.即x>. 答案： 7．某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答下面的問題： (1)寫出該城市的人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式； (2)計算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人)． (參考數(shù)據(jù)：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127) 解：(1)1年后該城市人口總數(shù)為： y＝100＋1001.2%＝100(1＋1.2%)； 2年后該城市人口總數(shù)為： y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)1.2% ＝100(1＋1.2%)2； 3年后該城市人口總數(shù)為：y＝100(1＋1.2%)3； … x年后該城市人口總數(shù)為：y＝100(1＋1.2%)x. (2)10年后該城市人口總數(shù)為：y＝100(1＋1.2%)10 ＝1001.01210≈112.7(萬人)． 8．設(shè)函數(shù)f(x)＝－， (1)證明函數(shù)f(x)是奇函數(shù)； (2)證明函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)； (3)求函數(shù)f(x)在[1,2]上的值域． 解：(1)證明：函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱． f(－x)＝－＝－＝＝－＋＝－f(x)， 所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)． (2)證明：設(shè)x1，x2是(－∞，＋∞)內(nèi)任意兩實(shí)數(shù)，且x1＜x2， 則f(x1)－f(x2)＝－－＋＝. 因?yàn)閤1＜x2，所以2x1－2x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)． (3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)， 所以函數(shù)f(x)在[1,2]上也是增函數(shù)， 所以f(x)min＝f(1)＝， f(x)max＝f(2)＝. 所以函數(shù)f(x)在[1,2]上的值域?yàn)?