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2.4 正態(tài)分布
課時目標(biāo)1.了解正態(tài)曲線的特點、意義.2.會用正態(tài)分布解決一些實際問題.3.理解3σ原則．
1．正態(tài)分布：在生產(chǎn)、科研和日常生活中，經(jīng)常會遇到這樣一類隨機現(xiàn)象，它們是由一些相互獨立的偶然因素所引起的，而每一個這種偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，表示這類隨機現(xiàn)象的隨機變量的概率分布一般近似服從正態(tài)分布．__________________的隨機變量叫做正態(tài)隨機變量，簡稱正態(tài)變量．
2．正態(tài)曲線：正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達式為f(x)＝________________，x∈R，其中μ、σ是參數(shù)，且σ>0，μ∈R，參數(shù)μ和σ分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差．期望為μ、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布通常記作N(μ，σ2)．________________________________的圖象叫做正態(tài)曲線．
3．3σ原則
正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率
P(μ－σ
0)都是實數(shù)
B．f(x)＝e－
C．f(x)＝e
D．f(x)＝e
3．正態(tài)曲線關(guān)于y軸對稱，當(dāng)且僅當(dāng)它所對應(yīng)的正態(tài)總體均值為( )
A．1 B．－1 C．0 D．不確定
4．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，則P(X>2)等于( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
5．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(4，σ2)，則P(ξ>4)等于( )
A. B. C. D.
二、填空題
6. 如圖所示是三個正態(tài)分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲線，則三個隨機變量X，Y，Z對應(yīng)曲線分別是圖中的______、______、______.
7．在某項測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)，已知ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為________．
8．工人生產(chǎn)的零件的半徑ξ在正常情況下服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．在正常情況下，取出1 000個這樣的零件，半徑不屬于(μ－3σ，μ＋3σ)這個范圍的零件約有________個．
三、解答題
9．如圖是一個正態(tài)曲線．試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機變量的期望和方差．
10．在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績ξ服從一個正態(tài)分布，即ξ～N(90,100)．
(1)試求考試成績ξ位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少？
(2)若這次考試共有2 000名考生，試估計考試成績在(80,100)間的考生大約有多少人？
能力提升
11．若隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(X≤μ)＝________.
12．某年級的一次信息技術(shù)測驗成績近似服從正態(tài)分布N(70,102)，如果規(guī)定低于60分為不及格，求：
(1)成績不及格的人數(shù)占多少？
(2)成績在80～90分之間的學(xué)生占多少？
1．要求正態(tài)分布的概率密度函數(shù)式，關(guān)鍵是理解正態(tài)分布密度曲線的概念及解析式中各字母參數(shù)的意義．
2．解正態(tài)分布的概率計算問題，一定要靈活把握3σ原則，將所求問題向P(μ－σ<ξ<μ＋σ)，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)進行轉(zhuǎn)化，然后利用特定值求出相應(yīng)概率．同時要充分利用曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1這一特殊性質(zhì)．
2．4 正態(tài)分布
答案
知識梳理
1．服從正態(tài)分布
2.e－ 正態(tài)變量的概率密度函數(shù)
3．0.683 0.954 0.997
作業(yè)設(shè)計
1．B [f(x)可以改寫成f(x)＝e－，對照可知μ＝10，σ＝2.]
2．B
3．C [均值即為其對稱軸，∴μ＝0.]
4．A [∵X～N(0，σ2)，∴μ＝0，
又P(－2≤X≤0)＝0.4，
∴P(X>2)＝(1－0.42)＝0.1.]
5．D [由正態(tài)分布圖象可知，μ＝4是該圖象的對稱軸，
∴P(ξ<4)＝P(ξ>4)＝.]
6．①?、凇、?
解析 在密度曲線中，σ越大，曲線越“矮胖”；σ越小，曲線越“瘦高”．
7．0.8
解析 正態(tài)曲線關(guān)于x＝1對稱，
∴ξ在(1,2)內(nèi)取值的概率也為0.4.
8．3
解析 半徑屬于(μ－3σ，μ＋3σ)的零件個數(shù)約有0.9971 000＝997，
∴不屬于這個范圍的零件個數(shù)約有3個．
9．解 從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝20對稱，最大值是，
所以μ＝20，
＝，解得σ＝.
于是概率密度函數(shù)的解析式是
f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
總體隨機變量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
10．解 ∵ξ～N(90,100)，
∴μ＝90，σ＝＝10.
(1)由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)取值的概率是0.954，而該正態(tài)分布中，μ－2σ＝90－210＝70，μ＋2σ＝90＋210＝110，于是考試成績ξ位于區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率就是0.954.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.
由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)取值的概率是0.683，所以考試成績ξ位于區(qū)間(80,100)內(nèi)的概率是0.683.一共有2 000名考生，所以考試成績在(80,100)內(nèi)的考生大約有2 0000.683＝1 366(人)．
11.
解析 由于隨機變量X～N(μ，σ2)，其概率密度函數(shù)關(guān)于x＝μ對稱，故P(x≤μ)＝.
12．解 (1)設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機變量X，
X～N(70,102)，則μ＝70，σ＝10.
所以成績在60～80之間的學(xué)生所占的比為P(70－10
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第2章
概率
2.4
正態(tài)分布學(xué)案
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