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第六單元 不等式、推理與證明
小題必刷卷(九) 不等式與推理證明
題組一 真題集訓
1.[2014四川卷] 若a>b>0,c
bc B.adbd D.ac0},則A∩B= ( )
A.-3,-32 B.-3,32 C.1,32 D.32,3
3.[2017山東卷] 設函數(shù)y=4-x2的定義域為A,函數(shù)y=ln(1-x)的定義域為B,則A∩B=( )
A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1)
4.[2015福建卷] 若變量x,y滿足約束條件x+2y≥0,x-y≤0,x-2y+2≥0,則z=2x-y的最小值等于 ( )
A.-52 B.-2 C.-32 D.2
5.[2017全國卷Ⅱ] 甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績.看后甲對大家說:我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則 ( )
A.乙可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績
C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績
6.[2016山東卷] 若變量x,y滿足x+y≤2,2x-3y≤9,x≥0,則x2+y2的最大值是 ( )
A.4 B.9 C.10 D.12
7.[2017全國卷Ⅰ] 設x,y,z為正數(shù),且2x=3y=5z,則 ( )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
8.[2017山東卷] 若a>b>0,且ab=1,則下列不等式成立的是 ( )
A.a+1b0,則a4+4b4+1ab的最小值為 .
14.[2016全國卷Ⅰ] 某高科技企業(yè)生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料.生產一件產品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5個工時;生產一件產品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3個工時.生產一件產品A的利潤為2100元,生產一件產品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg,乙材料90 kg,則在不超過600個工時的條件下,生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為 元.
題組二 模擬強化
15.[2017撫州臨川一中二模] 已知集合A={x|y=2x-x2},集合B={y|y=lg(x2+1),y∈Z},則A∩B中元素的個數(shù)為 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
16.[2017資陽二模] 已知0b>1,下列不等式成立的是 ( )
A.ca>cb B.aa-c>bb-c
C.bac>abc D.logac>logbc
17.[2017武漢武昌區(qū)調研] 一名法官在審理一起珍寶盜竊案時,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下:甲說:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙說:“我沒有作案,是丙偷的”;丙說:“甲、乙兩人中有一人是小偷”;丁說:“乙說的是事實”.經過調查核實,四人中有兩人說的是真話,另外兩人說的是假話,且這四人中只有一人是罪犯,由此可以判斷罪犯是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
18.[2017泉州一模] 已知x>1,y>1,且log2x,14,log2y成等比數(shù)列,則xy有 ( )
A.最小值2 B.最小值2
C.最大值2 D.最大值2
19.[2018哈爾濱六中模擬] 設x,y滿足約束條件x-4y≤-3,3x+5y≤25,x≥1,則z=log13(2x+y)的最大值為( )
A.-1-2log32 B.-log37
C.-4 D.-1
20.[2017孝義三模] 如果x,y滿足2x-y+1≤0,x-y+1≥0,2x+y+5≥0,則z=x+2y-3x+1的取值范圍是 ( )
A.-∞,-85∪[3,+∞) B.-1,17
C.-1,0∪3,+∞ D.-∞,-1∪7,+∞
21.[2017山西三區(qū)八校二模] 為了豎一塊廣告牌,要制造三角形支架,如圖X9-1,要求∠ACB=60,BC的長度大于1,且AC比AB長0.5,為了穩(wěn)固廣告牌,要求AC越短越好,則AC的長最短為 ( )
圖X9-1
A.1+32 B.2
C.1+3 D.2+3
22.[2017咸陽二模] 觀察下列式子:12<2,12+23<92,12+23+34<8,12+23+34+45<252.
根據(jù)以上規(guī)律,第n個不等式是 .
23.[2017泉州模擬] 若a2+b2=c2(a,b,c∈N*),我們把a,b,c叫作勾股數(shù).下列給出幾組勾股數(shù):3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41.以此類推,可猜測第5組勾股數(shù)的三個數(shù)依次是 .
圖X9-2
24.[2017淮北二模] 如圖X9-2,在梯形ABCD中,AB∥CD,對角線AC,BD交于P1,過P1作AB的平行線交BC于點Q1,AQ1交BD于P2,過P2作AB的平行線交BC于點Q2……若AB=a,CD=b,則PnQn= .(用a,b,n表示)
小題必刷卷(九)
1.B [解析] 因為c-1c>0,與a>b>0對應相乘得,-ad>-bc>0,所以ad0得x<1,所以B={x|x<1}.故A∩B={x|-2≤x<1},故選D.
4.A [解析] 可行域如圖所示,當直線y=2x-z過點A-1,12時,z取得最小值,且zmin=-52.
5.D [解析] 由于甲不知道自己的成績,故乙、丙的成績中一個為優(yōu)秀、一個為良好,所以丁看到甲的成績后一定能斷定自己的成績,乙看到丙的成績后可以知道自己的成績.故選D.
6.C [解析] 可行域如圖所示,
設z=x2+y2,聯(lián)立x+y=2,2x-3y=9,得x=3,y=-1,由圖可知,當圓x2+y2=z過點(3,-1)時,z取得最大值,即(x2+y2)max=32+-12=10.
7.D [解析] 設2x=3y=5z=t(t>1),則x=log2t,y=log3t,z=log5t,所以2x=2log2t=log2t,3y=3log3t=log33t,5z=5log5t=log55t,又t>1,所以上述三個值中底數(shù)大的反而小,故只需比較2,33,55的大小即可.因為(2)6=8<9=(33)6,所以2<33.因為(33)15=35=243>125=(55)15,所以55<33.因為(2)10=32>25=(55)10,所以55<2,所以55<2<33,所以3y<2x<5z.
8.B [解析] 利用特殊值法檢驗排除,當a=2,b=12時,選項A,C,D對應的不等式不成立,故選B.
9.B [解析] 不等式組表示的區(qū)域D如圖中的陰影部分所示,設目標函數(shù)z=x+2y,根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義可知,目標函數(shù)在點A(2,-1)處取得最小值,且zmin=2-2=0,即x+2y的取值范圍是[0,+∞),故命題p1,p2為真,命題p3,p4為假.
10.A [解析] 根據(jù)題意可知直線l1,l2的斜率存在且不為零,拋物線C的焦點F的坐標為(1,0),設直線l1的方程為y=k(x-1),代入拋物線方程得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2k2+4k2=2+4k2,根據(jù)拋物線定義得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=4+4k2.因為l2⊥l1,所以用-1k代替k,得|DE|=4+4k2,所以|AB|+|DE|=8+41k2+k2≥8+421k2k2=16,當且僅當k=1時,等號成立,故所求的最小值為16.
11.3 [解析] 根據(jù)正弦定理和a=2可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,故得b2+c2-a2=bc,根據(jù)余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12,所以A=π3.根據(jù)b2+c2-a2=bc及基本不等式得bc≥2bc-a2,即bc≤4,所以△ABC面積的最大值為12432=3.
12.3 [解析] yx的幾何意義為點(x,y)與坐標原點連線的斜率.畫出可行域,如圖中陰影部分所示.
由x=1,x+y-4=0,得C(1,3),由題易知可行域上的C點與坐標原點連線的斜率最大,且最大值為3.
13.4 [解析] 由題意得a2>0,b2>0,ab>0,所以a4+4b4+1ab=(a2)2+(2b2)2+1ab≥4a2b2+1ab=4ab+1ab≥24=4,當且僅當a2=2b2=22時,等號成立.
14.216 000 [解析] 設生產產品A、產品B分別為x件、y件,利潤之和為z元,則
1.5x+0.5y≤150,x+0.3y≤90,5x+3y≤600,xN,yN,即3x+y≤300,10x+3y≤900,5x+3y≤600,xN,yN,目標函數(shù)為z=2100x+900y.
作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域為圖中陰影部分內(包括邊界)的整點,即可行域.
由圖可知當直線z=2100x+900y經過點M時,z取得最大值.
解方程組10x+3y=900,5x+3y=600,得M的坐標為(60,100),
所以當x=60,y=100時,zmax=210060+900100=216 000.
15.C [解析] 因為A={x|2x-x2≥0}={x|0≤x≤2},B={y|y≥0且y∈Z},所以A∩B={0,1,2},故選C.
16.D [解析] 由指數(shù)函數(shù)y=cx在R上單調遞減可得ca0,abc>0,且bacabc=abc-1,∵a>b>1,∴ab>1,又∵01,y>1,∴l(xiāng)og2x>0,log2y>0.又∵log2x,14,log2y成等比數(shù)列,∴116=log2xlog2y.由基本不等式可得log2x+log2y≥2log2xlog2y=12,當且僅當log2x=log2y=14時取等號,故log2(xy)≥12,即xy≥2,故選A.
19.D [解析] 約束條件x-4y≤-3,3x+5y≤25,x≥1表示的可行域如圖所示,令t=2x+y,當直線y=-2x+t經過點B(1,1)時,t取得最小值,最小值為21+1=3,此時z=log13(2x+y)取得最大值-1.
20.D [解析] 作出可行域如圖所示, z=x+2y-3x+1=1+2y-2x+1.由圖可知,y-2x+1≤-1或y-2x+1≥3,所以z=x+2y-3x+1的取值范圍是(-∞,-1]∪[7,+∞),故選D.
21.D [解析] 由題意設BC=x(x>1),AC=t(t>0),則AB=AC-0.5=t-0.5.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 60,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化簡并整理得t=x2-0.25x-1(x>1),即t=x-1+0.75x-1+2.因為x>1,所以t=x-1+0.75x-1+2≥2+3當且僅當x=1+32時取等號,所以t的最小值為2+3,故選D.
22.12+23+…+n(n+1)
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