Mathematica實驗六線性方程組.ppt

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實驗六線性方程組 實驗?zāi)康?理解齊次線性方程組解的幾何意義 了解線性方程組的一些應(yīng)用實驗1求解方程組 并畫出的圖形 實驗六線性方程組 Needs Graphics Colors arrow a b color Graphics color Line 0 0 a b Line a b 0 9 a b 0 04 b a Line a b 9 a b 04 b a A 1 3 4 12 RowReduce A x 1 3 NullSpace A y 3 1 Show arrow x Red arrow y Green AspectRatio Automatic Axes True 實驗六線性方程組 練習(xí)1求解線性方程 并畫出與X的圖形 觀察圖形并給出你的結(jié)論 實驗六線性方程組 實驗2求出通過平面上三點(diǎn) 0 7 1 6 和 2 9 的二次多項式ax2 bx c 并畫出其圖形根據(jù)條件有0 a 0 b c 71 a 1 b c 64 a 2 b c 9 實驗六線性方程組 Clear x A 0 0 1 1 1 1 4 2 1 y 7 6 9 p LinearSolve A y Clear a b c r s t a b c r s t f x p x 2 x 1 Plot f x x 0 2 Plot f x x 0 2 GridLines Automatic PlotRange All 實驗六線性方程組 練習(xí)2求出通過平面上四點(diǎn) 2 6 1 4 2 3 3 2 的3次多項式ax3 bx2 cx d 并畫出其圖形 實驗六線性方程組 實驗3求出通過平面上三點(diǎn) 0 0 1 1 1 3 以及滿足f 1 20 f 1 9的4次多項式f x 并畫出其圖形分析 確定一個4次多項式需要知道它的5個系數(shù) 通過3個插值條件和兩個導(dǎo)數(shù)條件可以建立5個線性方程 實驗六線性方程組 設(shè)f x ax4 bx3 cx2 dx e 則有e 0a b c d e 1a b c d e 3 4a 3b 2c d 204a 3b 2c d 9 實驗六線性方程組 Automatic PlotRange All 最小二乘法 實驗5給定數(shù)據(jù)點(diǎn) 0 7 4 0 3 3 4 7 5 6 4 0 7 1 1 3 6 4 1 1 4 4 3 0 0 3 2 5 1 1 1 3 試找一個圓 這些數(shù)據(jù)點(diǎn)盡可能落在該圓上xs 0 7 3 3 5 6 7 1 6 4 4 4 0 3 1 1 ys 4 0 4 7 4 0 1 3 1 1 3 0 2 5 1 3 pts Transpose xs ys Show Graphics Red AbsolutePointSize 5 Map Point pts Violet Circle 3 1 3 5 Axes Automatic AspectRatio Automatic Transpose A 求矩陣A的轉(zhuǎn)置陣Map f expr 映射將f分別作用到expr第一層的每一個元上得到的列表Map f a b c d e f a f b f c f d f e Point coords1 coords2 representsacollectionofpoints Graphics Point Table t Sin t t 0 2p 2p 10 violet 最小二乘法 設(shè)圓的中心在 c1 c2 半徑為r 則圓的方程為 x c1 2 y c2 2 r2即2xc1 2yc2 r2 c12 c22 x2 y2令c3 r2 c12 c22則得到一個關(guān)于三個未知數(shù)c1 c2 c3的線性方程組2xc1 2yc2 c3 x2 y2 最小二乘法 將實驗5中的數(shù)據(jù)點(diǎn)待入方程 得到以下方程組這是一個關(guān)于3個未知數(shù) 8個方程的方程組 最小二乘法 最小二乘法原理是一種在多學(xué)科領(lǐng)域中獲得廣泛應(yīng)用的數(shù)據(jù)處理方法 最小二乘常用于求解一個超定的 或近似求解一個不完全精確的線性方程組 它僅對剩余的平方和進(jìn)行最小化 而不是直接求解方程本身在統(tǒng)計學(xué)中 如果誤差的隨機(jī)分布滿足適當(dāng)?shù)募僭O(shè) 則通過最小二乘法就能得到參數(shù)的最大似然 maximum likelihood 估計 超定 待定方程組 通常研究的線性代數(shù)方程組為若A是方陣 m n 且非奇異 則方程組有唯一解若A的列數(shù)大于行數(shù) mn 則稱為超定方程組所給條件數(shù)大于未知數(shù)個數(shù) 若某些方程是矛盾的 則方程組無解 超定方程組 測量員要測量在某個基準(zhǔn)點(diǎn)上3個山頭的高度 從基準(zhǔn)點(diǎn)觀測 測量員測得它們的高度 單位 英尺 分別為x1 1237 x2 1914 x3 2417為進(jìn)一步確認(rèn)初始的測量數(shù)據(jù) 測量員在第一座山上測得 第二座山相對第一座的高度為x2 x1 711第三座山相對第一座的高度為x3 x1 1177在第二座山上測得第三座山相對第二座山的高度為x3 x2 475 超定方程組 由于測量有誤差 所以上述方程組的解不存在但我們可以找到一個x使得Ax在某種意義下與b最接近 這就是數(shù)據(jù)擬和的思想 最小二乘 最小二乘法最早是由高斯提出的 用來確定某些行星和彗星的天體軌跡 這類天體的橢圓軌跡由5個參數(shù)確定 原則上只要對天體的位置作5次觀測就足以確定它的整個軌跡 由于存在測量誤差 由5次觀察所確定的運(yùn)行軌跡極不可靠 進(jìn)行多次觀測 用最小二乘法消除測量誤差 得到有關(guān)軌跡參數(shù)的更精確的值 最小二乘近似將幾十次甚至上百次的觀察所產(chǎn)生的高維空間問題降到了橢圓軌跡模型的五維參數(shù)空間 高斯與最小二乘法 1801年 意大利天文學(xué)家Piazzi 發(fā)現(xiàn)火星和木星間有一顆新星 被命名為 谷神星 現(xiàn)在已知它是火星和木星的小行星帶中的一個 但當(dāng)時天文學(xué)界爭論不休 有人說是行星 有人說是彗星 周期彗星的軌道與行星相比較扁 必須繼續(xù)觀察才能判決 但是Piazzi只能觀察到它9度的軌道 再來 它便隱身到太陽後面去了 因此無法知道它的軌道 也無法判定它是行星或彗星 高斯與最小二乘法 高斯只作了3次觀測就提出了一種計算軌道參數(shù)的方法 而且達(dá)到的精確度使得天文學(xué)家在1801年末和1802年初能夠毫無困難地再確定谷神星的位置 高斯在這一計算方法中用到了他大約在1794年創(chuàng)造的最小二乘法 從特定計算得到最小的方差和中求出最佳估值的方法 在天文學(xué)中這一成就立即得到公認(rèn) 最小二乘問題的法方程 對于最小二乘問題矩陣是m n且m n但這個系統(tǒng)是超定的 若方程組是矛盾的 則精確求解是不可能的 所以要轉(zhuǎn)化為最小二乘問題 最小二乘問題的法方程 作為極小值問題 最小二乘問題可以用類似單變量微積分中導(dǎo)數(shù)為0的方法來處理目標(biāo) 殘差向量r b Ax的歐幾里得范數(shù)的平方取最小值 取最小值的必要條件是x是的臨界點(diǎn) 最小二乘問題的法方程 在最小值點(diǎn)處函數(shù)的梯度向量為0的第i個分量為則有因此的最小值點(diǎn)x一定滿足n n的對稱線性方程組上述方程組稱為最小二乘問題的法方程 可以實現(xiàn)數(shù)據(jù)的降維 最小二乘法 matA Transpose 2xs 2ys Table 1 Length xs vecb xs 2 ys 2 c1 c2 c3 LinearSolve Transpose matA matA Transpose matA vecb r Sqrt c3 c1 2 c2 2 xs 0 7 3 3 5 6 7 1 6 4 4 4 0 3 1 1 ys 4 0 4 7 4 0 1 3 1 1 3 0 2 5 1 3 pts Transpose xs ys 最小二乘法 Show Graphics Red AbsolutePointSize 5 Map Point pts Violet Circle c1 c2 r Axes Automatic AspectRatio Automatic Print center c1 c2 radius r s Sqrt xs c1 2 ys c2 2 e s r d Sqrt e e deviation a b rad Module e e Sqrt xs a 2 ys b 2 rad Sqrt e e deviation c1 c2 r deviation 3 1 3 5 實驗六線性方程組 練習(xí)3給定數(shù)據(jù)點(diǎn) 3 3 1 2 2 0 3 1 3 0 2 6 0 8 0 2 1 4 1 0 3 0 0 7 試用最小二乘法做出一個圓來擬合這些數(shù)據(jù)