2020版高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)（第2課時）拋物線的幾何性質(zhì)的應用學案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx

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第2課時　拋物線的幾何性質(zhì)的應用 學習目標　1.掌握拋物線的幾何特性.2.學會解決直線與拋物線相關(guān)的綜合問題． 知識點　直線與拋物線的位置關(guān)系 1．直線與拋物線的位置關(guān)系與公共點個數(shù) 位置關(guān)系 公共點個數(shù) 相交 有兩個或一個公共點 相切 有且只有一個公共點 相離 無公共點 2.直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點個數(shù)決定于關(guān)于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的個數(shù)．當k≠0時，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點；當Δ＝0時，直線與拋物線有一個公共點；當Δ<0時，直線與拋物線沒有公共點．當k＝0時，直線與 拋物線的對稱軸平行或重合，此時直線與拋物線有一個公共點． 1．若直線與拋物線有且只有一個公共點，則直線與拋物線必相切．(　　) 2．直線與拋物線相交弦的弦長公式是|AB|＝|x1－x2|＝x1＋x2＋p.(　　) 3．過拋物線的焦點與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a>0)的通徑長為2a.(　√　) 題型一　直線與拋物線的位置關(guān)系 例1　已知直線l：y＝k(x＋1)與拋物線C：y2＝4x，問：k為何值時，直線l與拋物線C有兩個交點，一個交點，無交點？ 解　由方程組 消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0， Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)． (1)若直線與拋物線有兩個交點， 則k2≠0且Δ>0， 即k2≠0且16(1－k2)>0， 解得k∈(－1,0)∪(0,1)． 所以當k∈(－1,0)∪(0,1)時， 直線l和拋物線C有兩個交點． (2)若直線與拋物線有一個交點， 則k2＝0或當k2≠0時，Δ＝0， 解得k＝0或k＝1. 所以當k＝0或k＝1時，直線l和拋物線C有一個交點． (3)若直線與拋物線無交點， 則k2≠0且Δ<0. 解得k>1或k<－1. 所以當k>1或k<－1時， 直線l和拋物線C無交點． 反思感悟　直線與拋物線交點的個數(shù)，等價于直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到的方程組解的個數(shù)．注意直線斜率不存在和得到的方程二次項系數(shù)為0的情況． 跟蹤訓練1　平面內(nèi)一動點M(x，y)到定點F(0,1)和到定直線y＝－1的距離相等，設M的軌跡是曲線C. (1)求曲線C的方程； (2)在曲線C上找一點P，使得點P到直線y＝x－2的距離最短，求出P點的坐標； (3)設直線l：y＝x＋m，問當實數(shù)m為何值時，直線l與曲線C有交點？ 解　(1)x2＝4y. (2)設點P，點P到直線y＝x－2的距離為 ＝＝， 當x0＝2時，取得最小值，此時P(2,1)． (3)由得x2－4x－4m＝0， Δ＝42－4(－4m)≥0，m≥－1. 所以當m≥－1時，直線l和曲線C有交點． 題型二　與弦長中點弦有關(guān)的問題 例2　已知A，B為拋物線E上不同的兩點，若拋物線E的焦點為(1,0)，線段AB恰被M(2,1)所平分． (1)求拋物線E的方程； (2)求直線AB的方程． 解　(1)由于拋物線的焦點為(1,0)，所以＝1，p＝2， 所以拋物線的方程為y2＝4x. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y＝4x1，① y＝4x2，② 且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 由②－①得，(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)， 所以＝2. 所以所求直線AB的方程為y－1＝2(x－2)， 即2x－y－3＝0. 反思感悟　中點弦問題有兩種解法： (1)點差法：將兩個交點的坐標代入拋物線的方程，作差，由k＝求斜率，再由點斜式求解． (2)傳統(tǒng)法：設直線方程，并與拋物線的方程聯(lián)立，消去x(或y)得關(guān)于y(或x)的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系，得兩根之和即為中點縱(或橫)坐標的2倍，從而求斜率． 跟蹤訓練2　已知拋物線y2＝6x，過點P(4,1)引一條弦P1P2使它恰好被點P平分，求這條弦所在的直線方程及|P1P2|. 解　方法一　由題意易知直線方程的斜率存在，設所求方程為y－1＝k(x－4)．由 得ky2－6y－24k＋6＝0. 當k＝0時，y＝1，顯然不成立． 當k≠0時，Δ＝62－4k(－24k＋6)>0.① 設弦的兩端點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， ∴y1＋y2＝，y1y2＝. ∵P1P2的中點為(4,1)， ∴＝2，∴k＝3，適合①式． ∴所求直線方程為y－1＝3(x－4)， 即3x－y－11＝0， ∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22， ∴|P1P2|＝ ＝＝. 方法二　設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． 則y＝6x1，y＝6x2， ∴y－y＝6(x1－x2)，又y1＋y2＝2， ∴＝＝3， ∴所求直線的斜率k＝3， 所求直線方程為y－1＝3(x－4)， 即3x－y－11＝0. 由得y2－2y－22＝0， ∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22， ∴|P1P2|＝ ＝＝. 題型三　拋物線性質(zhì)的綜合應用 命題角度1　拋物線中的定點(定值)問題 例3　已知點A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB. (1)求兩點的橫坐標之積和縱坐標之積； (2)求證：直線AB過定點． (1)解　設點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則有kOA＝，kOB＝. 因為OA⊥OB，所以kOAkOB＝－1， 所以x1x2＋y1y2＝0. 因為y＝2px1，y＝2px2， 所以＋y1y2＝0. 因為y1≠0，y2≠0， 所以y1y2＝－4p2， 所以x1x2＝4p2. (2)證明　因為y＝2px1，y＝2px2， 所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)， 所以＝， 所以kAB＝， 故直線AB的方程為y－y1＝(x－x1)， 所以y＝＋y1－， 即y＝＋. 因為y＝2px1，y1y2＝－4p2， 所以y＝＋， 所以y＝(x－2p)， 即直線AB過定點(2p,0)． 反思感悟　在直線和拋物線的綜合題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點問題，解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等，解決這類問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化． 跟蹤訓練3　如圖，過拋物線y2＝x上一點A(4,2)作傾斜角互補的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點，求證：直線BC的斜率是定值． 證明　方法一　設AB的斜率為k，則AC的斜率為－k. 把直線AB的方程y－2＝k(x－4)與y2＝x聯(lián)立得 y－2＝k(y2－4)，即ky2－y－4k＋2＝0. ∵y＝2是此方程的一個解， ∴2yB＝，∴yB＝， ∴xB＝y(tǒng)＝， ∴B. ∵kAC＝－k， ∴以－k代替k代入B點坐標得C. ∴kBC＝＝－，為定值． 方法二　設B(y，y1)，C(y，y2)，則kBC＝＝. ∵kAB＝＝，kAC＝＝， 由題意得kAB＝－kAC， ∴＝－，則y1＋y2＝－4， 則kBC＝－，為定值． 命題角度2　對稱問題 例4　在拋物線y2＝4x上恒有兩點A，B關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，求k的取值范圍． 解　因為A，B兩點關(guān)于直線y＝kx＋3對稱， 所以可設直線AB的方程為x＝－ky＋m. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 把直線AB的方程代入拋物線方程，得y2＋4ky－4m＝0， 設AB的中點坐標為M(x0，y0)， 則y0＝＝－2k，x0＝2k2＋m. 因為點M(x0，y0)在直線y＝kx＋3上， 所以－2k＝k(2k2＋m)＋3，即m＝－. 因為直線AB與拋物線y2＝4x交于A，B兩點， 所以Δ＝16k2＋16m>0， 把m＝－代入， 化簡，得<0， 所以<0. 因為k2－k＋3＝2＋>0，所以<0， 解得－10，得a>0或a<－32. 又∵x1＋x2＝，x1x2＝4， ∴|AB|＝＝3， 即5＝45， ∴a＝4或a＝－36. ∴所求拋物線的方程為y2＝4x或y2＝－36x. 求拋物線的方程常用待定系數(shù)法和定義法；直線和拋物線的弦長問題、中點弦問題及垂直、對稱等可利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系解決；拋物線的綜合問題要深刻分析條件和結(jié)論，靈活選擇解題策略，對題目進行轉(zhuǎn)化． 一、選擇題 1．與直線2x－y＋4＝0平行的拋物線y＝x2的切線方程為(　　) A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 答案　D 解析　設直線方程為2x－y＋m＝0， 由 得x2－2x－m＝0， Δ＝4＋4m＝0，∴m＝－1， ∴直線方程為2x－y－1＝0. 2．已知圓C：(x＋2)2＋y2＝r2與拋物線D：y2＝20x的準線交于A，B兩點，且|AB|＝8，則圓C的面積是(　　) A．5πB．9πC．16πD．25π 答案　D 解析　拋物線D：y2＝20x的準線方程為x＝－5. 圓C的圓心(－2,0)到準線的距離d＝3. 又由|AB|＝8， ∴r2＝d2＋2＝25， 故圓C的面積S＝25π，故選D. 3．已知拋物線y＝4x2上一點到直線y＝4x－5的距離最短，則該點坐標為(　　) A．(1,2) B．(0,0) C. D．(1,4) 答案　C 解析　因為y＝4x2與y＝4x－5不相交， 設與y＝4x－5平行的直線方程為y＝4x＋m. 則即4x2－4x－m＝0.① 設此直線與拋物線相切有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1. 將m＝－1代入①式，得x＝，y＝1， 所求點的坐標為. 4．已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經(jīng)過點M(2，y0)．若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|等于(　　) A．2B．2C．4D．2 答案　B 解析　由題意設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則點M到焦點的距離為xM＋＝2＋＝3， ∴p＝2，∴y2＝4x.∴y＝42＝8， ∴|OM|＝＝＝2. 5．已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在拋物線C上，且|AK|＝|AF|，則△AFK的面積為(　　) A．4B．8C．16D．32 考點　拋物線的定義 題點　拋物線定義的其他應用 答案　B 解析　易知F(2,0)，K(－2,0)，過點A作AM垂直準線于點M，則|AM|＝|AF|. ∴|AK|＝|AM|， ∴△AMK為等腰直角三角形． 設A(m2,2m)(m>0)， 則△AFK的面積S＝2m4＝4m. 又由|AK|＝|AM|，得(m2＋2)2＋8m2＝2(m2＋2)2， 解得m＝. ∴△AFK的面積S＝4m＝8. 6．直線y＝kx－2交拋物線y2＝8x于A，B兩點，若AB的中點的橫坐標為2，則k等于(　　) A．2或－2 B．－1 C．2 D．3 答案　C 解析　由題意知 得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝2， 即x1＋x2＝4，∴x1＋x2＝＝4， ∴k＝2或－1， 經(jīng)判別式檢驗知k＝2符合題意． 7．已知直線l：y＝k(x＋2)(k＞0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點，且A，B兩點在拋物線C準線上的射影分別是M，N，若|AM|＝2|BN|，則k的值是(　　) A.B.C．2D. 答案　D 解析　設拋物線C：y2＝8x的準線為m：x＝－2. 直線y＝k(x＋2)(k>0)恒過定點P(－2,0)，如圖， 過點A，B分別作AM⊥m于點M，BN⊥m于點N. 由|AM|＝2|BN|， 得點B為AP的中點，連接OB， 則|OB|＝|AF|， ∴|OB|＝|BF|，∴點B的橫坐標為1， ∴點B的坐標為(1,2)． 把B(1,2)代入直線l：y＝k(x＋2)(k>0)， 解得k＝，故選D. 二、填空題 8．平面上一機器人在行進中始終保持與點F(1,0)的距離和到直線x＝－1的距離相等．若機器人接觸不到過點P(－1,0)且斜率為k的直線，則k的取值范圍是______________． 答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析　由題意知機器人進行的軌跡為以F(1,0)為焦點， x＝－1為準線的拋物線，其方程為y2＝4x. 設過點P(－1,0)且斜率為k的直線方程為y＝k(x＋1)． 代入y2＝4x，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0. ∵機器人接觸不到該直線， ∴Δ＝(2k2－4)2－4k4<0， ∴k2>1，∴k>1或k<－1. 9．拋物線焦點在y軸上，截得直線y＝x＋1的弦長為5，則拋物線的標準方程為________________． 答案　x2＝－20y或x2＝4y 解析　設拋物線方程為x2＝ay(a≠0)， 由得x2－x－a＝0. 設直線與拋物線的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝－a， |AB|＝ ＝＝5， 得a＝－20或4，經(jīng)檢驗，a＝－20或4都符合題意． ∴拋物線方程為x2＝－20y或x2＝4y. 10．已知拋物線y＝2x2上的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線y＝x＋m對稱．若2x1x2＝－1，則2m的值是________． 答案　3 解析　由題意，得k＝＝＝2(x2＋x1)＝－1， ∴x2＋x1＝－. ∵＝＋m， ∴y1＋y2＝x1＋x2＋2m， ∴2x＋2x＝－＋2m， 即2(x1＋x2)2－4x1x2＝－＋2m，∴2m＝3. 11．拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點為F，其準線與雙曲線－＝1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝________. 答案　6 解析　拋物線的焦點坐標為F，準線方程為y＝－.代入－＝1，得|x|＝.若△ABF為等邊三角形，則tan＝＝＝， 解得p2＝36，p＝6. 三、解答題 12．已知拋物線y2＝－x與直線y＝k(x＋1)相交于A，B兩點． (1)求證：OA⊥OB； (2)當△OAB的面積等于時，求k的值． (1)證明　如圖所示， 由 消去x，得ky2＋y－k＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 y1y2＝－1，y1＋y2＝－. 因為A，B在拋物線y2＝－x上， 所以y＝－x1，y＝－x2， 所以yy＝x1x2. 因為kOAkOB＝＝＝＝－1， 所以OA⊥OB. (2)解　設直線與x軸交于點N，顯然k≠0， 令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)， 因為S△OAB＝S△OAN＋S△OBN ＝|ON||y1|＋|ON||y2| ＝|ON||y1－y2|， 所以S△OAB＝1 ＝. 因為S△OAB＝， 所以＝， 解得k＝. 13．在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A，B兩點． (1)如果直線l過拋物線的焦點，求的值； (2)如果＝－4，證明直線l必過一定點，并求出該定點． 解　(1)由題意知，拋物線的焦點為(1,0)， 設l：x＝ty＋1，代入拋物線方程y2＝4x， 消去x，得y2－4ty－4＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4. 所以＝x1x2＋y1y2 ＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2 ＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2 ＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. (2)設l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝4x， 消去x，得y2－4ty－4b＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b. 因為＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b， 又＝－4，∴b2－4b＝－4， 解得b＝2，故直線l過定點(2,0)． 14．如圖，已知點F為拋物線C：y2＝4x的焦點，點P是其準線l上的動點，直線PF交拋物線C于A，B兩點．若點P的縱坐標為m(m≠0)，點D為準線l與x軸的交點，則△DAB的面積S的取值范圍為________． 答案　(4，＋∞) 解析　由拋物線C：y2＝4x可得焦點F(1,0)．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線PF的方程為y＝k(x－1)(k≠0)．聯(lián)立方程組消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，則x1＋x2＝2＋，x1x2＝1， ∴|AB|＝ ＝＝. 點D(－1,0)到直線AB的距離d＝， ∴S＝d|AB|＝＝4＞4，∴△DAB的面積S的取值范圍為(4，＋∞)． 15．已知F是拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點，點A(4,2)為拋物線內(nèi)一定點，點P為拋物線上一動點，|PA|＋|PF|的最小值為8. (1)求拋物線的方程； (2)是否存在定點M，使過點M的動直線與拋物線交于B，C兩點(異于坐標原點)，且以BC為直徑的圓恰好過坐標原點？若存在，求出定點M的坐標；若不存在，請說明理由． 解　(1)設拋物線的準線為l，過點P作PD⊥l于點D，過A作AE⊥l于點E(圖略)． 由拋物線的定義，知|PF|＝|PD|， 所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PD|≥|AE|，當且僅當A，P，E三點共線時取等號． 由題意知|AE|＝8，即4＋＝8，得p＝8， 所以拋物線的方程為y2＝16x. (2)假設存在點M，當直線BC的斜率存在時，設過點M的直線方程為y＝kx＋b. 顯然k≠0，b≠0，設B(x1，y1)，C(x2，y2)， 由以BC為直徑的圓恰好過坐標原點，得＝0， 即x1x2＋y1y2＝0， 把y＝kx＋b代入y2＝16x，得k2x2＋2(bk－8)x＋b2＝0， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 又y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2， 所以y1y2＝， 所以＋＝0，得b＝－16k. 所以過點M的直線方程為y＝kx－16k＝k(x－16)，必過定點(16,0)． 當直線BC的斜率不存在時，直線x＝16交拋物線于B(16，－16)，C(16,16)或B(16,16)，C(16，－16)，仍然有＝0. 綜上，存在點M(16,0)滿足條件．