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第2練 命題與充要條件
[明晰考情] 1.命題角度：命題和充要條件的判斷在高考中經(jīng)常考查，一般以選擇題的形式出現(xiàn)，常以不等式、向量、三角函數(shù)、立體幾何中的線(xiàn)面關(guān)系及數(shù)列等為載體進(jìn)行考查.2.題目難度：低檔難度．
考點(diǎn)一 命題及其關(guān)系
要點(diǎn)重組 (1)寫(xiě)一個(gè)命題的逆命題、否命題、逆否命題時(shí)要搞清命題的條件和結(jié)論．
(2)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性．
1．下列命題是真命題的是( )
A．若lgx2＝2，則x＝10
B．若x＝10，則lgx2＝2
C．若loga3＞loga2，則0＜a＜1
D．若0＜a＜1，則loga3＞loga2
答案 B
解析 在選項(xiàng)A中，x＝10，C中，a＞1，D中，loga3＜loga2.
2．已知m，n是兩條不同直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是( )
A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行
B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行
C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線(xiàn)
D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面
答案 D
解析 “若m，n垂直于同一平面，則m∥n”和D中命題互為逆否命題，正確．
3．給出命題：若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象不過(guò)第四象限，在它的逆命題、否命題、逆否命題3個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是( )
A．3B．2C．1D．0
答案 C
解析 原命題是真命題，故它的逆否命題是真命題；它的逆命題為“若函數(shù)y＝f(x)的圖象不過(guò)第四象限，則函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)”，顯然逆命題為假命題，故原命題的否命題也為假命題．因此在它的逆命題、否命題、逆否命題3個(gè)命題中，真命題只有1個(gè)．
4．設(shè)l，m是不同的直線(xiàn)，α，β，γ是不同的平面，則下列命題正確的是( )
A．若l⊥m，m⊥α，則l⊥α或l∥α
B．若l⊥γ，α⊥γ，則l∥α或l?α
C．若l∥α，m∥α，則l∥m或l⊥m
D．若l∥α，α⊥β，則l⊥β或l∥β
答案 B
解析 取正方體ABCD－A1B1C1D1，如圖，對(duì)選項(xiàng)A，AB⊥AA1，AA1⊥平面ABCD，但AB⊥平面ABCD，AB∥平面ABCD均不成立；
選項(xiàng)B顯然正確；
對(duì)選項(xiàng)C，A1B1∥平面ABCD，A1C1∥平面ABCD，
但A1B1與A1C1既不平行，也不垂直；
對(duì)選項(xiàng)D，AB∥平面CDD1C1，平面CDD1C1⊥平面ABCD，但AB⊥平面ABCD，AB∥平面ABCD均不成立．
考點(diǎn)二 充要條件的判定
方法技巧 充要條件判定的三種方法
(1)定義法：定條件，找推式(條件間的推出關(guān)系)，下結(jié)論．
(2)集合法：根據(jù)集合間的包含關(guān)系判定．
(3)等價(jià)轉(zhuǎn)換法：根據(jù)逆否命題的等價(jià)性判定．
5．在△ABC中，“A>”是“sinA>”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 B
解析 因?yàn)锳為△ABC的內(nèi)角，則A∈(0，π)，
又由sinA>，則
”是“sinA>”的必要不充分條件，故選B.
6．設(shè)a>0且a≠1，則“l(fā)ogab>1”是“b>a”的( )
A．必要不充分條件
B．充要條件
C．既不充分也不必要條件
D．充分不必要條件
答案 C
解析 logab>1＝logaa?b>a>1或0a時(shí)，b有可能為1.所以?xún)烧邲](méi)有包含關(guān)系，故選C.
7．已知條件p：x＋y≠－2，條件q：x，y不都是－1，則p是q的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 當(dāng)x＋y≠－2時(shí)，x，y不都是－1，
故p?q.
當(dāng)x，y不都是－1時(shí)，如x＝－3，y＝1，此時(shí)x＋y＝－2.
故q?p.
所以p是q的充分不必要條件．
8．設(shè)p：實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足則p是q的( )
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 如圖，①(x－1)2＋(y－1)2≤2表示圓心為(1,1)，半徑為的圓內(nèi)區(qū)域所有點(diǎn)(包括邊界)；②表示△ABC內(nèi)部區(qū)域所有點(diǎn)(包括邊界)．實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足②則必然滿(mǎn)足①，反之不成立．則p是q的必要不充分條件．故選A.
9．設(shè)θ∈R，則“<”是“sinθ<”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 ∵<.
∴－<θ－<，即0＜θ＜.
顯然當(dāng)0＜θ＜時(shí)，sinθ＜成立．
但當(dāng)sinθ＜時(shí)，由周期函數(shù)的性質(zhì)知，
0＜θ＜不一定成立．
故“＜”是“sinθ＜”的充分不必要條件．
故選A.
考點(diǎn)三 充要條件的應(yīng)用
方法技巧 充要條件的應(yīng)用主要是參數(shù)的求解，要注意：
(1)將條件之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系．
(2)區(qū)間端點(diǎn)要進(jìn)行檢驗(yàn)．
10．若“0＜x＜1”是“(x－a)[x－(a＋2)]≤0”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，0]∪[1，＋∞) B．(－1,0)
C．[－1,0] D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
答案 C
解析 (x－a)[x－(a＋2)]≤0?a≤x≤a＋2，
∵(0,1)[a，a＋2]，
∴解得－1≤a≤0.
11．已知“命題p：(x－m)2＞3(x－m)”是“命題q：x2＋3x－4＜0”成立的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A．(－∞，－7]∪[1，＋∞) B．(－∞，－7)∪(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，7]
答案 A
解析 設(shè)P＝{x|(x－m)2＞3(x－m)}＝{x|(x－m)(x－m－3)＞0}
＝{x|x＜m或x＞m＋3}，
Q＝{x|x2＋3x－4＜0}＝{x|(x＋4)(x－1)＜0}＝{x|－4＜x＜1}．
因?yàn)閜是q成立的必要不充分條件，即等價(jià)于QP，
所以m＋3≤－4或m≥1，即m≤－7或m≥1.
12．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分條件，則a的最大值為_(kāi)_______．
答案 －1
解析 由x2＞1，得x＜－1或x＞1.
又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分條件，
所以由“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立，
所以a≤－1，即a的最大值為－1.
13．已知集合A＝，B＝{x|－1＜x＜m＋1}，若“x∈B”是“x∈A”的充要條件，則m＝______.
答案 2
解析 由“x∈B”是“x∈A”的充要條件，得A＝B，
∴{x|－1＜x＜3}＝{x|－1＜x＜m＋1}，∴m＝2.
14．已知命題p：實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足m2＋12a2＜7am(a＞0)，命題q：實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍為_(kāi)_______．
答案
解析 由a＞0，m2－7am＋12a2＜0，
得3a＜m＜4a，即命題p：3a＜m＜4a，a＞0.
由＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
可得2－m＞m－1＞0，解得1＜m＜，
即命題q：1＜m＜，因?yàn)閜是q的充分不必要條件，
所以或解得≤a≤，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
1．下列命題中為真命題的是( )
A．命題“若x＞y，則x＞|y|”的逆命題
B．命題“若x＞1，則x2＞1”的否命題
C．命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題
D．命題“若x2＞0，則x＞1”的逆否命題
答案 A
解析 對(duì)于A，其逆命題是：若x＞|y|，則x＞y，是真命題，這是因?yàn)閤＞|y|≥y，必有x＞y；對(duì)于B，否命題是：若x≤1，則x2≤1，是假命題．如x＝－5，x2＝25＞1；對(duì)于C，其否命題是：若x≠1，則x2＋x－2≠0.由于當(dāng)x＝－2時(shí)，x2＋x－2＝0，故它是假命題；對(duì)于D，若x2＞0，則x＞0或x＜0，不一定有x＞1，因此原命題的逆否命題是假命題．
2．“a≤2”是“函數(shù)f(x)＝|x－a|在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 B
解析 f(x)＝|x－a|在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增?a≤－1.
∵{a|a≤－1}{a|a≤2}，
∴“a≤2”是“函數(shù)f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增”的必要不充分條件．
3．下列命題：
①若ac2＞bc2，則a＞b；
②若sinα＝sinβ，則α＝β；
③“實(shí)數(shù)a＝0”是“直線(xiàn)x－2ay＝1和直線(xiàn)2x－2ay＝1平行”的充要條件；
④若f(x)＝log2x，則f(|x|)是偶函數(shù)．
其中正確命題的序號(hào)是________．
答案 ①③④
解析 對(duì)于①，ac2＞bc2，c2＞0，∴a＞b正確；
對(duì)于②，sin30＝sin150?30＝150，∴②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，l1∥l2?A1B2＝A2B1，
即－2a＝－4a?a＝0且A1C2≠A2C1，
∴③正確；④顯然正確．
解題秘籍 (1)判斷一個(gè)命題的真假，可以通過(guò)其逆否命題的真假判斷；確定一個(gè)命題是假命題，可以利用反例．
(2)解題時(shí)要注意將條件之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系．
1．命題“若ac2>bc2，則a>b”的否命題是( )
A．若ac2>bc2，則a≤b B．若ac2≤bc2，則a≤b
C．若a≤b，則ac2>bc2 D．若a≤b，則ac2≤bc2
答案 B
2．下列說(shuō)法中，正確的是( )
A．命題“若a＜b，則am2＜bm2”的否命題是假命題
B．命題“若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形面積相等”的逆命題是真命題
C．命題“若兩個(gè)數(shù)的和大于零，則這兩個(gè)數(shù)都大于零”的否命題是真命題
D．命題“若α＜β，則sinα＞sinβ”是真命題
答案 C
解析 命題“若a＜b，則am2＜bm2”的否命題是“若a≥b，則am2≥bm2”，是真命題；命題“若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形面積相等”的逆命題是“若兩個(gè)三角形面積相等，則這兩個(gè)三角形全等”，是假命題；命題“若兩個(gè)數(shù)的和大于零，則這個(gè)兩個(gè)數(shù)都大于零”的否命題是“若兩個(gè)數(shù)的和不大于零，則這兩個(gè)數(shù)不都大于零”，是真命題；命題“若α＜β，則sinα＞sinβ”是假命題，故選C.
3．已知平面α，β和直線(xiàn)l1，l2，且α∩β＝l2，則“l(fā)1∥l2”是“l(fā)1∥α，且l1∥β”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 B
解析 若α∩β＝l2，l1∥l2，
則可能有l(wèi)1?α或l1?β，充分性不成立；
若l1∥α，l1∥β，α∩β＝l2，則l1∥l2成立，必要性成立．
4．設(shè){an}是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n－1＋a2n<0”的( )
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
答案 C
解析 設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1，則a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)<0，即q<－1，
故q<0是q<－1的必要不充分條件．故選C.
5．設(shè)a為實(shí)數(shù)，直線(xiàn)l1：ax＋y＝1，l2：x＋ay＝2a，則“a＝－1”是“l(fā)1∥l2”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 由l1∥l2，得a2－1＝0，解得a＝1，則“a＝－1”是“l(fā)1∥l2”的充分不必要條件，故選A.
6．設(shè)四邊形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)為AC，BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 當(dāng)四邊形ABCD為菱形時(shí)，必有對(duì)角線(xiàn)互相垂直，即AC⊥BD；當(dāng)四邊形ABCD中AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD不一定是菱形，還需要AC與BD互相平分．綜上知，“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要條件．
7．設(shè)命題p：f(x)＝lnx＋2x2＋mx＋1在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，命題q：m≥－5，則p是q的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 f′(x)＝＋4x＋m(x＞0)，
由f′(x)＝＋4x＋m≥0，得m≥－.
因?yàn)椋?x≥2＝4，
所以－≤－4，所以m≥－4，即p：m≥－4.
所以p是q的充分不必要條件，故選A.
8．“a＝”是“直線(xiàn)2ax＋(a－1)y＋2＝0與直線(xiàn)(a＋1)x＋3ay＋3＝0垂直”的______條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
解析 若兩條直線(xiàn)垂直，則2a(a＋1)＋3a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝，所以“a＝”是“直線(xiàn)2ax＋(a－1)y＋2＝0與直線(xiàn)(a＋1)x＋3ay＋3＝0垂直”的充分不必要條件．
9．下列命題：
①已知m，n表示兩條不同的直線(xiàn)，α，β表示兩個(gè)不同的平面，并且m⊥α，n?β，則“α⊥β”是“m∥n”的必要不充分條件；
②不存在x∈(0,1)，使不等式log2x，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，<，即log2x
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