（天津?qū)Ｓ茫?020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 6.2 等差數(shù)列精練.docx

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6.2　等差數(shù)列 挖命題 【考情探究】 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點(diǎn) 1.等差數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算 1.理解等差數(shù)列的概念 2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式 3.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系 2016天津,18 等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 等比數(shù)列的性質(zhì)、用放縮法證明不等式 ★★★ 2014天津,11 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 等比中項(xiàng) 2012天津,18 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 數(shù)列求和、數(shù)學(xué)歸納法 2.等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 1.能利用等差數(shù)列的性質(zhì)解決相應(yīng)的問題 2.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題 2011天津文,11 等差數(shù)列的性質(zhì) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用 ★★★ 分析解讀　　從天津高考的情況來看,本節(jié)一直是高考的熱點(diǎn),主要考查等差數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、等差中項(xiàng)等相關(guān)內(nèi)容.本節(jié)內(nèi)容在高考中的分值約為5分,屬于中低檔題,以選擇題、填空題的形式出現(xiàn). 破考點(diǎn) 【考點(diǎn)集訓(xùn)】 考點(diǎn)一　等差數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算 1.已知等差數(shù)列{an}滿足a1=1,an+2-an=6,則a11等于(　　) A.31　　　　B.32　　　　C.61　　　　D.62 答案　A　 2.(2013課標(biāo)Ⅰ,7,5分)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=(　　) A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6 答案　C　 3.已知等差數(shù)列{an}一共有9項(xiàng),前4項(xiàng)和為3,最后3項(xiàng)和為4,則中間一項(xiàng)的值為(　　) A.1720　　　　B.5960　　　　C.1　　　　D.6766 答案　D　 考點(diǎn)二　等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 4.在等差數(shù)列{an}中,a1+3a8+a15=120,則a2+a14的值為(　　) A.6　　　　B.12　　　　C.24　　　　D.48 答案　D　 5.在等差數(shù)列{an}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和,則使Sn取得最大值時(shí)n的值為(　　) A.21　　　　B.20　　　　C.19　　　　D.18 答案　B　 煉技法 【方法集訓(xùn)】 方法1　等差數(shù)列的基本運(yùn)算技巧 1.數(shù)列{an}為遞增的等差數(shù)列,a1=f(x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中f(x)=x2-4x+2,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(　　) A.an=n-2　　　　B.an=2n-4　　　　C.an=3n-6　　　　D.an=4n-8 答案　B　 2.在等差數(shù)列{an}中,2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,則S13+2a7=(　　) A.17　　　　B.26　　　　C.30　　　　D.56 答案　C　 3.(2018上海,6,4分)記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a3=0,a6+a7=14,則S7=　　　　. 答案　14 方法2　等差數(shù)列的判定方法 4.(2014陜西,14,5分)已知f(x)=x1+x,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,則f2014(x)的表達(dá)式為　　　　　　　　　　　　　　　. 答案　f2014(x)=x1+2014x 5.已知數(shù)列{an}滿足a1=12,且an+1=2an2+an. (1)求證:數(shù)列1an是等差數(shù)列; (2)若bn=anan+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解析　(1)證明:∵an+1=2an2+an,∴1an+1=2+an2an, ∴1an+1-1an=12, ∴數(shù)列1an是以2為首項(xiàng),12為公差的等差數(shù)列. (2)由(1)知an=2n+3,∴bn=4(n+3)(n+4)=41n+3-1n+4, ∴Sn=414-15+15-16+…+1n+3-1n+4 =414-1n+4=nn+4. 方法3　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題的求解方法 6.(2014江西,13,5分)在等差數(shù)列{an}中,a1=7,公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)Sn取得最大值,則d的取值范圍為　　　　　　　. 答案　-1,-78 7.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3+a8+a13=C,a4+a14=2C,其中C<0,則Sn在n等于　　　　時(shí)取到最大值. 答案　7 過專題 【五年高考】 A組　自主命題天津卷題組 考點(diǎn)一　等差數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算 1.(2014天津,11,5分)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1的值為　　　　. 答案　-12 2.(2016天津,18,13分)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d.對任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中項(xiàng). (1)設(shè)cn=bn+12-bn2,n∈N*,求證:數(shù)列{cn}是等差數(shù)列; (2)設(shè)a1=d,Tn=∑k=12n(-1)kbk2,n∈N*,求證:∑k=1n1Tk<12d2. 證明　(1)由題意得bn2=anan+1,有cn=bn+12-bn2=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2, 所以{cn}是等差數(shù)列. (2)Tn=(-b12+b22)+(-b32+b42)+…+(-b2n-12+b2n2) =2d(a2+a4+…+a2n)=2dn(a2+a2n)2=2d2n(n+1). 所以∑k=1n1Tk=12d2∑k=1n1k(k+1)=12d2∑k=1n1k-1k+1=12d21-1n+1<12d2. 思路分析　(1)根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì),建立方程關(guān)系,根據(jù)條件求出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式,結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可. (2)求出Tn=∑k=12n(-1)kbk2的表達(dá)式,利用裂項(xiàng)相消法求解,結(jié)合放縮法進(jìn)行不等式的證明即可. 評析本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用以及數(shù)列與不等式的綜合,根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)分別求出對應(yīng)的通項(xiàng)公式以及利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng)是,有一定的難度. 3.(2012天津,18,13分)已知{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,{bn}是等比數(shù)列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式; (2)記Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn,n∈N*,證明Tn+12=-2an+10bn(n∈N*). 解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q. 由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.由條件,得方程組2+3d+2q3=27,8+6d-2q3=10,解得d=3,q=2. 所以an=3n-1,bn=2n,n∈N*. (2)證法一: 由(1)得Tn=2an+22an-1+23an-2+…+2na1,① 2Tn=22an+23an-1+…+2na2+2n+1a1.② 由②-①,得Tn=-2(3n-1)+322+323+…+32n+2n+2 =12(1-2n-1)1-2+2n+2-6n+2=102n-6n-10. 而-2an+10bn-12=-2(3n-1)+102n-12=102n-6n-10,故Tn+12=-2an+10bn,n∈N*. 證法二:數(shù)學(xué)歸納法 (i)當(dāng)n=1時(shí),T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16,故等式成立; (ii)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即Tk+12=-2ak+10bk,則當(dāng)n=k+1時(shí)有: Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1 =ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+…+a1bk)=ak+1b1+qTk =ak+1b1+q(-2ak+10bk-12) =2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24 =-2ak+1+10bk+1-12, 即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1.因此n=k+1時(shí)等式也成立. 由(1)和(2),可知對任意n∈N*,Tn+12=-2an+10bn成立. 考點(diǎn)二　等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 　(2011天津文,11,5分)已知{an}是等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,n∈N*.若a3=16,S20=20,則S10的值為　　　　. 答案　110 B組　統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組 考點(diǎn)一　等差數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算 1.(2018課標(biāo)Ⅰ,4,5分)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=(　　) A.-12　　　　B.-10　　　　C.10　　　　D.12 答案　B　 2.(2017課標(biāo)Ⅲ,9,5分)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}前6項(xiàng)的和為(　　) A.-24　　　　B.-3　　　　C.3　　　　D.8 答案　A　 3.(2016課標(biāo)Ⅰ,3,5分)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則a100=(　　) A.100　　　　B.99　　　　C.98　　　　D.97 答案　C　 4.(2015課標(biāo)Ⅰ,7,5分)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若S8=4S4,則a10=(　　) A.172　　　　B.192　　　　C.10　　　　D.12 答案　B　 5.(2015重慶,2,5分)在等差數(shù)列{an}中,若a2=4,a4=2,則a6=(　　) A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.6 答案　B　 6.(2014福建,3,5分)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6等于(　　) A.8　　　　B.10　　　　C.12　　　　D.14 答案　C　 7.(2017課標(biāo)Ⅱ,15,5分)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3=3,S4=10,則∑k=1n1Sk=　　　　. 答案　2nn+1 8.(2016江蘇,8,5分)已知{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和.若a1+a22=-3,S5=10,則a9的值是　　　　. 答案　20 9.(2015安徽,13,5分)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1+12(n≥2),則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和等于　　　　. 答案　27 考點(diǎn)二　等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 1.(2017課標(biāo)Ⅰ,4,5分)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.8 答案　C　 2.(2015課標(biāo)Ⅱ,5,5分)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1+a3+a5=3,則S5=(　　) A.5　　　　B.7　　　　C.9　　　　D.11 答案　A　 3.(2014遼寧,9,5分)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.若數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列,則(　　) A.d>0　　　　B.d<0　　　　C.a1d>0　　　　D.a1d<0 答案　D　 4.(2015廣東,10,5分)在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=　　　　. 答案　10 C組　教師專用題組 1.(2013課標(biāo)Ⅰ,7,5分)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=(　　) A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6 答案　C　 2.(2013遼寧,4,5分)下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題: p1:數(shù)列{an}是遞增數(shù)列; p2:數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列; p3:數(shù)列ann是遞增數(shù)列; p4:數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列. 其中的真命題為(　　) A.p1,p2　　　　B.p3,p4　　　　C.p2,p3　　　　D.p1,p4 答案　D　 3.(2015陜西,13,5分)中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,其末項(xiàng)為2015,則該數(shù)列的首項(xiàng)為　　　　. 答案　5 【三年模擬】 一、選擇題(每小題5分,共35分) 1.(2019屆天津河西期中,2)在等差數(shù)列{an}中,a1=2,a3+a5=10,則a7=(　　) A.5　　　　B.8　　　　C.10　　　　D.14 答案　B　 2.(2018天津一中5月月考,4)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,m,p,q為正整數(shù),則“p+q=2m”是“ap+aq=2am”的(　　) A.充分不必要條件　　　　B.必要不充分條件　　　　C.充要條件　　　　D.既不充分也不必要條件 答案　A　 3.(2017天津一中5月月考,5)在等差數(shù)列{an}中,a3+a6+a9=54,設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S11=(　　) A.18　　　　B.99　　　　C.198　　　　D.297 答案　C　 4.(2017天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)模擬,5)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,則S11=(　　) A.66　　　　B.55　　　　C.44　　　　D.33 答案　D　 5.(2017天津南開三模,7)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S2=10,S5=55,則過點(diǎn)P(n,an),Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直線的斜率為(　　) A.4　　　　B.14　　　　C.-4　　　　D.-14 答案　A　 6.(2018天津南開二模,7)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a1=2,a2=4,a3=6,數(shù)列{an+an+1+an+2}是公差為2的等差數(shù)列,則S25=(　　) A.233　　　　B.282　　　　C.466　　　　D.650 答案　B　 7.(2019屆天津耀華中學(xué)統(tǒng)練(2),7)在等差數(shù)列{an}中,其前n項(xiàng)和是Sn,若S15>0,S16<0,則在S1a1,S2a2,S3a3,…,S15a15中最大的是(　　) A.S1a1　　　　B.S9a9　　　　C.S8a8　　　　D.S15a15 答案　C　 二、填空題(每小題5分,共10分) 8.(2019屆天津七校聯(lián)考,10)在等差數(shù)列{an}中,S5=25,a2=3,則a5=　　　　. 答案　9 9.(2019屆天津耀華中學(xué)第二次月考,10)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=　　　　. 答案　-10 三、解答題(共35分) 10.(2017天津和平二模,18)已知等差數(shù)列{an}滿足a2=5,a5+a9=30,{an}的前n項(xiàng)和為Sn. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn; (2)令bn=1Sn(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a2=5,a5+a9=30可得a1+d=5,2a1+12d=30,解得a1=3,d=2, ∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1, ∴Sn=n(a1+an)2=n(3+2n+1)2=n(n+2)=n2+2n. (2)由(1)可得bn=1Sn=1n(n+2)=121n-1n+2, ∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=121-13+12-14+13-15+…+1n-1-1n+1+1n-1n+2 =121+12-1n+1-1n+2=34-12n+2-12n+4. 解題分析　本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式和裂項(xiàng)相消法求和,屬于中檔題. 11.(2017天津和平四模,18)已知等差數(shù)列{an}滿足a2=3,a4+a7=20. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn; (2)證明:∑k=1n1Sk<53. 解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, ∵等差數(shù)列{an}滿足a2=3,a4+a7=20, ∴a1+d=3,2a1+9d=20,解得a1=1,d=2, ∴an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1(n∈N*), Sn=na1+n(n-1)2d=n+n(n-1)=n2(n∈N*). (2)證明:∵Sn=n2, ∴∑k=1n1Sk=112+122+132+…+1n2. ∵k2>k2-14>0(k∈N*), ∴1k2<1k2-14,k∈N*, ∴1k2<44k2-1=212k-1-12k+1, ∴∑k=1n1Sk=112+122+132+…+1n2<1+213-15+215-17+…+212k-1-12k+1=1+213-12k+1=53-22k+1<53, ∴∑k=1n1Sk<53. 解題分析　本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,考查數(shù)列不等式的證明,涉及裂項(xiàng)相消法、放縮法等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬中檔題. 12.(2018天津河西三模,18)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列Snn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足a1b1+a2b2+…+anbn=5-(4n+5)12n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解析　(1)由數(shù)列Snn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,得Snn=1+2(n-1)=2n-1,則有Sn=n(2n-1)=2n2-n. 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1, 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=4n-3, a1=1符合an=4n-3, 故an=4n-3,n∈N*. (2)根據(jù)題意,數(shù)列{bn}滿足 a1b1+a2b2+…+anbn=5-(4n+5)12n①, 當(dāng)n=1時(shí),a1b1=5-(4+5)12=12,而a1=1,則b1=2, 易知a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=5-(4n+1)12n-1(n≥2)②, ①-②可得anbn=(4n-3)12n, 又an=4n-3,所以bn=2n(n≥2), 又b1=2符合bn=2n, 則bn=2n(n∈N*), 故數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列, 則Tn=2(1-2n)1-2=2n+1-2,n∈N*.